新高考数学一轮复习 讲与练第3讲 均值不等式及其应用（解析版）

第3讲均值不等式及其应用学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.均值不等式如果a，b都是正数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.数eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq\r(ab)称为a，b的几何平均值.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.考点和典型例题1、利用均值不等式求最值【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．9【答案】B【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.故选：B.【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为正实数，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故选：B.【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．6 B．9 C．SKIPIF1<0 D．18【答案】B【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0的最小值为9；故选：B【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当析SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立.故答案为：SKIPIF1<0【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取得等号，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<02、均值不等式的综合应用【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，SKIPIF1<0为双曲线右支上任一点，则SKIPIF1<0最小值为（

）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【详解】令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，即最小值为23.故选：B【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对SKIPIF1<0x，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，则实数a的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；由题意知，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，故a的最小值为SKIPIF1<0.故选：B.【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为2故选：D.【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理））设SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的取值范围为______________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当仅当SKIPIF1<0时等号成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2-5】（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_______________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】由正实数a，b，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时取等号，故答案为：SKIPIF1<03、均值不等式的实际应用【典例3-1】两直立矮墙成SKIPIF1<0二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为SKIPIF1<0的直角梯形菜园SKIPIF1<0墙足够长SKIPIF1<0，则所用篱笆总长度的最小值为（

）A．16m B．18mC．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，设篱笆长度为y，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，梯形的面积为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以篱笆总长度最小为18m．故选：B【典例3-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即SKIPIF1<0最大），该无人机离地面的高度为（

）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．200米【答案】C【详解】在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，再由余弦定理：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设该无人机离地面的高度为SKIPIF1<0米，则SKIPIF1<0，当且仅当：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等号，此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的高度为SKIPIF1<0米.故选：C【典例3-3】某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32SKIPIF1<0的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5SKIPIF1<0，各试验区之间也空0.5SKIPIF1<0.则每块试验区的面积的最大值为___________SKIPIF1<0.【答案】6【详解】设矩形空地的长为SKIPIF1<0m，则宽为SKIPIF1<0m，依题意可得，试验区的总面积SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：6【典例3-4】蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为SKIPIF1<0，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×SKIPIF1<0，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.【答案】87.75##SKIPIF1<0【详解】不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成