新高考数学一轮复习 函数专项重难点突破专题20 函数中的数列问题(解析版)

专题20函数中的数列问题一、单选题1．已知一次函数SKIPIF1<0的图像经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前项和为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值等于（

）A．24 B．25 C．23 D．26【解析】∵一次函数SKIPIF1<0的图像经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故选：A.2．已知函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线的斜率为3，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D3．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为牛顿数列，若函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．8 B．2 C．-4 D．-6【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以首项SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等数列，可得SKIPIF1<0.故选：D.4．已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．675 D．2023【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数.而SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数.又SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为周期数列且周期为3.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.5．已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【解析】由于SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，因此由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为周期数列且周期为4，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D6．设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．－1 C．2 D．－2【解析】对于数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，变形可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以3为周期的周期函数.所以SKIPIF1<0.故选：D7．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据等差数列的定义知，数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为2的等差数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，根据对勾函数的性质可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0.故选：D.8．设曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴交点的横坐标为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2023项的积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴交点的横坐标为SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的积为SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0的前2023项的积为SKIPIF1<0.故选：D二、多选题9．已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列有关数列SKIPIF1<0的叙述正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确；B选项，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，下证SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，命题成立；假设SKIPIF1<0时，命题成立，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，命题也成立，所以对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，B正确；C选项，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C错误；D选项，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D错误．故选：AB．10．已知公比为SKIPIF1<0的正项等比数列SKIPIF1<0，其首项SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线斜率为1，则（

）A．数列SKIPIF1<0单调递增 B．数列SKIPIF1<0单调递减C．SKIPIF1<0或5时，SKIPIF1<0取值最大 D．SKIPIF1<0【解析】对A：因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是正项数列，故可得SKIPIF1<0，故该数列单调递减，A错误；对B：SKIPIF1<0，由A知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0单调递减，B正确；对C：由A可知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的前4项均为大于SKIPIF1<0的正数，从第SKIPIF1<0项开始均为小于1的正数，故当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，C正确；对D：因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正确；故选：BCD.11．已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列有关数列SKIPIF1<0的叙述不正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为非负数列，又SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为递减数列，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0错误；又SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确．故选SKIPIF1<0．12．定义在SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0的解构成单调递增数列SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若数列SKIPIF1<0为等差数列，则公差为6C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的图象关于点SKIPIF1<0对称，根据题意作出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的图象，如图所示：

对于选项A：因为定义在SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于选项B：由图象可知：若数列SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且仅有一个交点，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以公差为6，故B正确；对于选项C：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且仅有2个交点，结合图象可得SKIPIF1<0，故C错误；对于选项D：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且仅有3个交点，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以首项为7，公差为12的等差数列，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确；故选：ABD.三、填空题13．设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是递增数列，则a的取值范围是__________．【解析】因为SKIPIF1<0是递增数列，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，14．数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．定义：使数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的积为整数的数SKIPIF1<0叫做期盼数，则区间SKIPIF1<0内的所有期盼数的和等于______.【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的整数次幂，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故满足条件的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故区间SKIPIF1<0内的所有期盼数的和为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．15．函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的所有极值点从小到大排列成数列SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的前n项和，给出下列四个结论：①数列SKIPIF1<0为等差数列；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极小值点；④SKIPIF1<0.其中所有正确结论的序号是______．【解析】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得函数的极值点为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从小到大为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不是等差数列，①错误；SKIPIF1<0，②正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为减函数，在区间SKIPIF1<0上为增函数，所以SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极小值点，③正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则根据诱导公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，④正确；故答案为：②③④．16．若函数SKIPIF1<0使得数列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）为严格递增数列，则称函数SKIPIF1<0为“数列SKIPIF1<0的保增函数”．已知函数SKIPIF1<0为“数列SKIPIF1<0的保增函数”，则实数SKIPIF1<0的取值范围为__________．【解析】由题意可得，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0四、解答题17．令SKIPIF1<0，对抛物线SKIPIF1<0，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点SKIPIF1<0处作抛物线的切线交x轴于SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处作抛物线的切线交x轴于SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处作抛物线的切线交x轴于SKIPIF1<0由此能得到一个数列SKIPIF1<0，回答下列问题：(1)求SKIPIF1<0的值(2)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式．【解析】（1）SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，所以切线方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的解析式：SKIPIF1<0．18．已知函数SKIPIF1<0，将满足SKIPIF1<0的所有正数SKIPIF1<0从小到大排成数列SKIPIF1<0证明：数列SKIPIF1<0为等比数列.【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数，从而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是公比SKIPIF1<0的等比数列，且首项SKIPIF1<0.19．已知对于任意SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线斜率为SKIPIF1<0，正项等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项为2．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；由题可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由题可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.20．已知函数SKIPIF1<0的所有正的零点构成递增数列SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为所有正的零点构成的，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为以SKIPIF1<0为首项，1为公差的等差数列，即SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0②，①-②可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.21．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，对一切正整数SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0都在函数SKIPIF1<0的图像上，且过点SKIPIF1<0的切线的斜率为SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式．(2)若SKIPIF1<0，求数列