专题05 五类圆锥曲线题型-2025年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项练习（新高考专用）（解析版）

专题05五类圆锥曲线题型2025年高考数学大题秒杀技巧及专项练习（解析版）圆锥曲线问题一般分为五类：类型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题；类型2：圆锥曲线中的中点弦问题；类型3：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题；类型4：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题；类型5：圆锥曲线中的向量问题；下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.类型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题；1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.圆锥曲线中的轨迹方程问题专项训练1．在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)设圆上任意一点处的切线交轨迹于点两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标．若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)以为直径的圆过定点.【详解】（1）设由得①由得所以代入①式得整理得，所以动点的轨迹的方程为.（2）①当切线斜率不存在时，切线方程为（i）当切线方程为时，以为直径的圆的方程为②（ii）当切线方程为时，以为直径的圆的方程为，③由②③联立，可解得交点为.②当过点且与圆相切的切线斜率存在时，设切线方程为，则，故由联立并消去整理得因为所以切线与椭圆恒有两个交点，设，则所以所以，即以为直径的圆过原点综上所述，以为直径的圆过定点.2．已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，点坐标为，当点坐标为时，点坐标为.(1)求双曲线的标准方程；(2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【答案】(1)(2)且，轨迹是去掉顶点的双曲线.【详解】（1）由题设，，令，则，令，则，所以，，故，所以，可得，即且过，则，所以，代入并整理得，则，即，又，所以，，故.（2）由（1）联立双曲线与直线，则，所以，则，整理得，故，，而，令，则，令，则，所以，显然，故点的轨迹方程为，即且（注意：的斜率存在），所以轨迹是去掉顶点的双曲线.3．在平面直角坐标系中，动点到的距离之和为4.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知点，若点是曲线上异于顶点的两个不同的点，且，记的面积为，问是否定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值为1【详解】（1）由题意易知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且动点的轨迹的方程为：.（2）显然直线的斜率存在，设的方程为：联立得：，设，则得：，，由可设的方程为,，联立得：，，，，法1：,故为定值1，法2：的方程为：，即，到的距离为，，后同解法1.4．已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.(1)求动点的轨迹方程；(2)设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点.【详解】（1）设，则直线的斜率是，直线的斜率是，所以，化简整理得：，所以动点的轨迹方程是.（2）设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，显然，直线的方程为，即，直线的方程为，即，又双曲线的渐近线方程为，显然直线与双曲线两支各交于一点，直线与双曲线右支交于两点，则有，且，于是，由消去化简整理得：，设点，则，解得，有，由消去化简整理得：，设点，则，解得，有，，，于是，设直线上任意一点，则，显然，因此，即，整理得，显然直线恒过定点，所以直线经过定点.5．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设点在直线上，为的左右顶点，直线交于点（异于），直线交于点（异于），交于，过作轴的垂线分别交､于，问是否存在常数，使得.【答案】(1)(2)存在常数，使得.【详解】（1）因为、，，所以点的轨迹以为焦点的椭圆，这里，，，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，代入，得，即，得：，设，代入，得，即，得：，，由得，得，得.代入，得，代入，得，因为，所以.所以存在常数，使得.类型2：圆锥曲线中的中点弦问题1、相交弦中点（点差法）直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，2、点差法设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：圆锥曲线中的中点弦问题专项训练6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，其短轴的一个端点到焦点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为的中点，为椭圆上一点，过且平行于的直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；【详解】（1）由题意，得，又，所以，所以，故椭圆的标准方程为；（2），，若直线的斜率不存在，则，，由，得，若直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去，得，，设，，则，，由题意，，所以由题意知，直线的方程为，由消去，得，设，则，所以，由，得，综上，存在实数，使得成立．7．已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，的坐标为【详解】（1）设，，其中．由，得．化简得．

，即．线段PQ中点纵坐标的值为．（2）设y轴上存在定点，由题意，直线MN斜率存在且不为0，设直线，，，，．由，消去x，得．，．，．

，T，M三点共线，．解得．同理，可得．

又，

．解得．

直线MN恒过定点．8．已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.(1)若，，求k的值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题设，作差可得，又，故，所以.（2）由题意，直线斜率一定存在，令直线为，若时且，，此时中垂线与y轴重合，与题设中，垂直平分线与y轴交于矛盾，不合要求；若，由（1）知：，则，则中垂线为，即，又在该直线上，所以，得或，当时不满足要求，故，故，即，联立椭圆得：，整理得，所以，，则，而，由，则，解得，所以.综上，直线l的方程为.9．已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点的距离比点T到y轴的距离大1．设点T的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设直线l：，过F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与y轴垂直的直线依次交直线OA，OB，l于点N，P，Q，直线OB与l交于点E．记的面积为，△的面积为，判断，的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)(2)，证明见解析【详解】（1）设，由题意得，化简得y2＝4x，故所求动点T的轨迹方程C：．（2），的大小相同，证明如下：设直线，，，由得：，，则，．线段AB的中点为M，则，，又直线，令，则，故，同理，则，，所以．又直线，令，则，即，综上，．10．已知椭圆的下顶点，右焦点为为线段的中点，为坐标原点，，点与椭圆上任意一点的距离的最小值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆交于两点，若存在过点的直线，使得点与点关于直线对称，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意得:，∴，∴∴，∴椭圆的标准方程为.（2）根据题意得:的中垂线过点，由,化简得:，，设，，，的中点，，∴的中垂线方程为:，代入点的坐标得:，故，代入且.类型3：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题1、弦长公式（最常用公式，使用频率最高）2、三角形面积问题直线方程：3、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数4、平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.5、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题专项训练11．已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．(1)求抛物线C的方程；(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由题意得：，解之得，即双曲线的右焦点为，，所以；（2）根据题意不妨设直线l的方程为，，，，则由得∴∵，∴，又，同理，∴，当且仅当，时，“＝”成立，即，此时，直线l的方程为．12．双曲线，最早由门奈赫莫斯发现，后来阿波罗尼兹进行了总结和完善.在他的著作中，双曲线也被称作“超曲线”.已知双曲线的实半轴长为2，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.(1)若轴时，，设直线的斜率分别为，求的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）如图所示，法一：因为，所以，令得，所以，解得，所以的方程为，显然直线与轴不垂直，设其方程为，联立直线与的方程，消去得，当时，，设，则.因为，所以.法二：由题意得，解得，双曲线的方程为.设方程为，联立，可得，，，，.（2）法一：因为，所以，又因为，所以，即，将代入得，因为在轴上方，所以，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或，所以的面积为.法二：设，由，可得，，解得，方程，联立，可得，解得，同理联立，解得，.13．设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.(1)当点的坐标为时，求；(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点，直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的最大值.（注：表示三角形的面积）【答案】(1)；(2).【详解】（1）解法一：设，，，由，可得，当，当，所以，直线的斜率，直线：，又∵在上，，所以，又，所以，同理可得，∴，∴；解法二：设，，，由，可得，所以，直线的斜率，直线：，又∵在上，故，即，因为，所以，同理可得，故直线的方程为，联立消去，得，故，故（2）设，由条件知，∴，∵

∴，∴当时，取得最大值.14．已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且．(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；(2)若点P为半圆上的动点，且，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以，所以直线AB和直线CD的斜率相等，即，设，，，，则点M的横坐标，点N的横坐标，由，得，因式分解得，约分得，所以，即，所以MN垂直于x轴．（2）设，则，且，当时，C为PA中点，则，，因为C在抛物线上，所以，整理得，当时，D为PB中点，同理得，所以是方程的两个根，因为，由韦达定理得，，所以，所以PM也垂直于x轴，所以，因为，所以，，当时，取得最大值，所以，所以四边形ABDC面积的最大值为．15．已知椭圆C：过点A（2，），且C的离心率为.(1)求C的方程；(2)设直线l交C于不同于点A的M，N两点，直线AM，AN的倾斜角分别为，，若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)2.【详解】（1）因为C过点A（2，），所以设C的焦距为2c，由得，所以，.代入上式，解得，所以C的方程为.（2）设，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，由得，则，，由得，，又，所以，则，由题意知直线AM，AN的斜率存在，所以，则0，..所以，则即，整理得，又知l不过点A（2，），则，所以，所以直线l的方程为，则，所以则点A（2，）到直线l的距离为|则，当且仅当，即时取等号.故面积的最大值为2.类型4：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题①定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.②定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算③定直线问题定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题专项训练16．已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴和轴，且双曲线过点，.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，点满足.证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意可知：双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将两点坐标代入双曲线方程得，所以，即双曲线方程为.（2）直线过定点，若三点共线，设点，直线方程为，由题意知：直线的方程为，点为线段的中点，从而，，若，化简得①又因为，代入①式得②联立，化简得，则，.代入②式左边得，由于，，，从而②式左边等于0成立，直线过定点.17．已知抛物线C：y2=2px（p>0），M是其准线与x轴的交点，过点M的直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的坐标为（4，y0）时，有．(1)求抛物线C的方程；(2)设点A关于x轴的对称点为点P，证明：直线BP过定点，并求出该定点坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为（2，0）．【详解】（1）如图，设，由，得B为线段MA的中点．因为，所以，所以，即，把代入中，得，把代入中，得，所以．又p>0，所以p=4，所以抛物线C的方程为.（2）由题意，知直线l的斜率存在且不为0，因为M（-2，0），所以可设直线l的方程为x=my-2．设，，则点．由，消去x，得，所以，,根据根与系数的关系，得，．直线BP的斜率，所以直线BP的方程为，所以，即直线BP的方程可表示为．所以直线BP过定点，且定点坐标为（2，0）．18．已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．(1)求线段中点纵坐标的值；(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点的坐标为【详解】（1）设，其中，由，得，化简得，，即，线段中点纵坐标的值为；（2）证明：设，，直线的方程为，化简可得，在直线上，解得，同理，可得，，，又直线的方程为，即，直线恒过定点．19．已知直线l：与点，过直线l上的一动点Q作直线，且点P满足．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F作直线与C交于A，B两点，设，直线AM与直线l相交于点N．试问：直线BN是否经过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点；定点【详解】（1）解：由，可得，所以，设，代入上式得，平方整理即得C的方程为．（2）解：当直线AB的斜率不存在时，不妨设点A在点B的上方，则，，，则直线BN：，直线BN经过点；当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB：，，，则直线AM：，当时，，故，由，得，则，，所以，，下面证明直线BN经过点，即证，即，即，由，，整理得，，即恒成立．即，即直线BN经过点．综上所述，直线BN过轴上的定点．20．已知双曲线，点是双曲线的左顶点，点坐标为.(1)过点作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于，两点.求直线的方程；(2)过点作直线与椭圆交于点，，直线，与双曲线的另一个交点分别是点，.试问：直线是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)(2)直线过定点【详解】（1）由题意，得双曲线的渐近线方程为，过与平行的直线方程为，由，解得，过与平行的直线方程为，由，解得，∴直线的方程为.（2）直线过定点.由已知，易知过的直线斜率存在且不为，直线，斜率存在且不为，设直线，的直线方程分别为和，.由，得，解得，则.同理，则.又，，三点共线，而，故，解得.设，，则，，∴，即化简整理，得（*），易知直线斜率存在，设直线的方程，由，消去整理，得，∴当且时，有，，代入（*）化简，解得，即，故或.当时，，经过点，不合题意，当时，，经过点，满足题意.因此直线过定点.类型5：圆锥曲线中的向量问题（技巧）1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.圆锥曲线中的向量问题专项训练21．设点，分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆上的点到点的距离的最小值为.点M、N是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求△的面积；（3）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）点、分别是椭圆的左、右焦点，，，椭圆上的点到点的距离的最小值为，，解得，椭圆的方程为，（2）由（1）可得，，点、是椭圆上位于轴上方的两点，可设，，，，，，，，解得，，，，，向量与向量平行，直线的斜率为，直线方程为，联立方程组，解得，（舍去），或，，，，，点到直线直线的距离为，的面积，（3）向量与向量平行，，，，即，设，，，，，，，，，，，，，，，解得，或（舍去），，，，直线的方程为，即为22．已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．写出椭圆的标准方程；当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【详解】解：如图，由的边长为4的等边三角形，得，且．椭圆的标准方程为；解：直线的一个方向向量是，直线所在直线的斜率，则直线的方程为，联立，