6.4.3.3应用举例课件高一下学期数学人教A版

6.4.3.3正余弦定理应用举例

1、正弦定理：知识点回顾可以解决的有关解三角形问题：（1）已知两角和任一边；（2）已知两边和其中一边的对角。

a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC可以解决的有关解三角形的问题：（1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。2、余弦定理：高度角度距离应用题型经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。光学经纬仪钢卷尺一.距离例1：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？例2.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？例3.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A点到B点用了t秒，请你设计方案求汽车的速度？公路河流公路河流解：在岸边选定一点D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离测量问题之：水平距离的测量①两点间不能到达，又不能相互看到。(如图1所示)

需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的长。②两点能相互看到，但不能到达。(如图2所示)

需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，可求边AB的长。图1图2③两点都不能到达需要测量DC的长、角ACB，角ACD，角ADB和角BDC的大小，在三角形ADC和三角形BDC中分别利用正弦定理，得AC与BC，然后在三角形ABC中由余弦定理，可求边AB的长。解决实际问题实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明P40【训练1】如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(

)答案A练习：解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，如图二.高度P40【例2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.解如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，设CD＝xm，三.角度例11、位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即把消息告诉位于甲船南偏西30o且与甲船相距7nmile的C处的乙船.那么乙船营救的方向是北偏东多少度？需要航行的距离是多少海里？北BAC30o720解设缉私船应沿CD方向行驶th，才能最快截获(在D点)走私船，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∴∠BCD＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.1、解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。解应用题的一般步骤是：小结例2:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°,在塔底C处测得A处的俯角β＝30°.已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长DABC

CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为14米。解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，仰角为8º，求此山的高度CD.例4、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.练习