高中数学外接球、内切球教学设计详案

立体几何外接球、内切球问题一、 教学分析：纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答•从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目•分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见•此部分是重点也是一个难点，建议分两个课时，第一个课时以基础的方法为主，第二个课时在第一课时的基础上进行总结整理并拓展。二、 学情分析：学生在高一必修二教材系统的学习了立体几何，这部分内容本身对知识掌握的要求就比较高，又是难点，再加上疫情原因，很多同学不能系统了解和掌握，而一部分学生也只能解决长方体的外接球问题，稍复杂一点就不会。三、 教学目标：知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球、内切球问题。过程与方法：学生建立空间感，体会转化数学思想方法。情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。四、 教学重点：学会转化、数形结合的思想方法。五、 教学难点：构造法的要点。六、 教学过程分析教学内容与问题设置设计意图复习球的体积和表面积公式。球是高考出题的热点，我们先来复习一下球的体积公式和表面积公式问：球的问题关键是要研究球心位置和半径的大小球经常和其它几何体结合出题，今天我们就来研究一下空间几何体的外接球问题知识准备

写题目首先明确：定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球一、外接球问题活动一：1.复习长方体的外接球问题。 * AC A我们先来看长方体的外接球问题问：一个球要满足什么条件，我们就把这个球叫做长方体的问：那么球心的位置在哪冋：如果给出长方体的长宽咼，长方体的外接球半径怎么求（长方体的体对角线长和他的长宽咼什么关系 ）刁D'B'列BJ外接球复习基本模型外接球问题。从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做准备。问：如果是正方体，它的体对角线长和棱长什么关系2.复习圆柱的外接球问题问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆柱的外接球问：球心的位置在哪问：如果给出圆柱的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径.复习圆锥的外接球问题O.复习圆锥的外接球问题O问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆锥的外接球问：球心的位置在哪问：如果给出圆锥的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径方程：先算出H其实我们一直是在求它们截面的外接圆的半径，长方体对角面矩形的顶点都在球面上，长方体对角面长方形外接圆的直径也就是这个长方体外接球的直径，圆柱和圆锥我们解是它们轴截面图形外接圆的半径,把求一个空间几何体外接球半径问题转化为求一个截面图形外接圆半

径问题的过程这就是我们所说的立体问题平面化三角形的外接圆半径除了刚才同学想到在直角三角形中用勾股定理列方程的方法，还有什么方法回想一下解三角形那一章正弦定理：比较正弦定理，不用确定外接圆的圆心活动二:问题1：三棱锥的三条棱PA,PB,PC两两垂直，PA1,活动二:问题1：三棱锥的三条棱PA,PB,PC两两垂直，PA1,PB2,PC3,则其外接球的半径为问：三棱锥的的顶点和长方体的顶点之间什么关系它们的外接球是不是相同的问：球心在哪，半径怎么求（求长方体体对角线长需要长方体的长宽高，这几个量我们现在解决一个几何体的外接球可能有多种办法，让学生发挥想象，提出各种方法，通过比较生成对结合体外接球问题的认识。逐步知识体系。知道么）PB垂直底面，它PB垂直底面，它的外接球半径怎么求底面是长方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，它的外接球半径怎么求底面是直角三角形的直棱柱，它的外接球半径怎么求问：刚才这些几何体我们想到要把它们放到长方体几何环境当中去研究，它们的结构有什么共同特点，使你想到这一点的我们把这些几何体放到长方体这个几何环境当中去研究有什么好处呢？1.增强了空间感，如果我们想直接就确定球心的位置， 好不好找,而现在我们找到外接球球心的位置，我们以后再遇到其他立体几何问题，比如证明线面垂直，点到面的距离等等问题，如果几何体满足刚才同学们说的那些条件，我们也可以考虑把它放到长方体几何环境当中，可能会得到意想不到的帮助，2.我们把特殊的几何体的外接球问题转化为与它同一个外接球的长方体的问题，把一个不熟悉的问题转化为一个我们熟悉的已经解决了的问题，这就是我们所说的特殊问题一般化问题2：三棱柱ABCA'B'C'的底面是边长为<3的等边三角形，侧棱垂直底面，侧棱长为2，则该三棱柱的外接球半径为四个顶点在同一球面四个顶点在同一球面问题4:一个四面体的所有棱长都为 2,上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6有些几何体可以放到不同的几何环境当中去研究

课堂练习：1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为2.四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱长为.2，则四棱锥的外接球的表面积为.2，则四棱锥的外接球的表面积为二、内切球问题思考正方体有没有内切球？半径？一般的长方体有没有内切球？半径？棱锥呢？棱柱呢？规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球,并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图4，设正四面体SABC的棱长为a，内切球半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的高。在截面三角形 SDC，作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为 °。此[2 忑COOSR,°Er,SE I—a,CE——a,时， '3 3则有RrRa,R2r2|CE『二空， R—a,r—a.Y3 3解得： 4 12这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解•同时我们可以发现，球心°为正四面体高的四等分点•如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （.32,6 26A.3 B.2+ 326C.4+ 34一32,6D. 3耗；*容器四面悴"中的选四■小球，収四十小球为畛心为质点枸咸;了一沖-撓•壬为：■:的*对这于四面仲前高眾“申位EF四而悴掀髙（芈）的2倍艮只希三李“球心正旧面体“的底5知“育绪il四荷悴"的他面沽小禄半住1.而"球07四向悴■”顶点刽“容'躍齐四啬悴"的T'i'士ii-『1=匡Ki3<:卜琳半客的玷育”足址样厚的・瞰一^T-J、aRJ-十足"宵部正四的咼玷育”足址样厚的・瞰一^T-J、球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的 3倍.]三、内切球的有关知识与方法1•若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直 .（与直线切圆的结论有一致性）.2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）^3•正多面体的内切球和外接球的球心重合 ^正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 ^基本方法：（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（ 等体积法）.小结：1.学生回顾这节课复习到的内容2.教师强调转化的思想在数学研究中的应用课后作业：三棱锥的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直，PA=PB=PC=1则其外接球的体积为 已知三棱锥D—ABC中,AB=BC=,1AD=2BD=乙AC=^,BCLAD则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. InB.6nC.5nD.8n在三棱椎A-BCD中，侧棱AB,AC,AD两两垂直，△ABC△ACD△ADB的面积分别为唾，昼，迟，贝够三棱椎外接222球的表面积为（ ）A.2nB.6nC.丄、nD.24n棱长为2的正四面体的外接球的体积为