2023届高考复习数列微专题-等差数列、等比数列性质强化训练

高考复习数列微专题——等差数列、等比数列性质强化训练（学生版）数列是历年高考考察内容之一，等差数列、等比数列性质是数列部分的重点和难点，在高考中常出现在选择题和填空题中，掌握数列的性质可以简化解题的计算量节省时间。本文总结了等差数列和等比数列的常用性质，整理了近两年来的高考真题和各地模拟题，在训练中掌握高考中的考察方式提高对知识掌握的熟练程度。一、等差数列性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)；(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d；(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；(6)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)．（9）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).例1(2022·新高考模拟)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．－eq\f(1,2)解析：由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝eq\f(1,4).例2(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A．28 B．29C．30 D．31解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29，故选B．例3(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝()A．7 B．8C．9 D．10解析：由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋eq\f(S30,3)＝1＋eq\f(5,3)＝eq\f(8,3).∴d＝(S20－S10)－S10＝eq\f(2,3)，∴S40－5＝1＋3×eq\f(2,3)＝3，∴S40＝8.故选B跟踪练习1、(2022·淄博模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝()A．72 B．36C．18 D．92、(2022·广州市阶段训练)已知{an}是等差数列，a3＝5，a2－a4＋a6＝7，则数列{an}的公差为()A．－2 B．－1C．1 D．23、(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a11＝a9＋7，则S25＝()A．eq\f(145,2) B．145C．eq\f(175,2) D．1754、(2021·江西九江一中月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)＝()A．1 B．－1C．2 D．eq\f(1,2)5、在等差数列{an}中，a1＝－2023，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2023＝()A．－2023 B．－2022C．－2021 D．－20206、若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足eq\f(An,Bn)＝eq\f(2n－1,3n＋1)，则eq\f(a3＋a7＋a11,b5＋b9)的值为()A．eq\f(39,44) B．eq\f(5,8)C．eq\f(15,16) D．eq\f(13,22)7、(2022·临沂质检)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq\f(1,2)a8＝()A．4 B．6C．8 D．108、(2022·洛阳质检)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝272，则a3＋a9＋a15＝()A．24 B．36C．48 D．649、(2020·北京高考)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1．记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}()A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项10、(2022·辽宁模拟)已知等差数列{an}的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9＝()A．－2 B．6C．10 D．1411、(2022·济南二模)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(a8,a2a14)＝()A．－eq\f(3,2) B．－3C．－6 D．212、(多选)(2022·珠海模拟)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是()A．a10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S19＝013、(2022·辽宁模拟)已知等差数列{an}的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9＝()A．－2 B．6C．10 D．1414、(2022·济南二模)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(a8,a2a14)＝()A．－eq\f(3,2) B．－3C．－6 D．215、(2022·珠海模拟)已知函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a4)＝f(a18)，则{an}的前21项之和为()A．0 B．eq\f(25,2)C．21 D．4216、(多选)(2022·珠海模拟)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是()A．a10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S19＝017、(2021·杭州二模)已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为()A.36 B.24 C.16 D.1218、(2021·武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.219、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于()A.72 B.36 C.18 D.920、在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10 B.20C.40 D.2＋log2521、已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35 B.42 C.49 D.6322、(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是()A.a7 B.a8 C.S13 D.S1523、(2022·重庆诊断)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，则S2023等于()A.2023 B.－2023C.4046 D.－404624、(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－225、在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则eq\f(1,5)a4＝()A．－1 B．0C．1 D．226、(2020·高考北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{Tn}()A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项27、(2022·济宁邹城期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若S9＝a5＋a12，a1>0，则以下结论一定正确的是()A．d>0 B．S2＝S5C．|a1|>|a9| D．Sn取得最大值时，n＝328、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，则S2023＝()A．2023 B．－2023C．4046 D．－404629、已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则logeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝()A.－3 B.3 C.－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)30、则logeq\f(1,3)(a在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－eq\r(2)，a5＝eq\r(2)＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝()A．1 B．9C．5eq\r(2)＋7 D．3eq\r(2)＋931、(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则()A．数列{an}的公比为2B．数列{an}的公比为8C．eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝932、(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比为eq\f(1,2)的等比数列B．{a2n}是公比为4的等比数列C．{2an}是公比为4的等比数列D．{anan＋1}是公比为2的等比数列33、(2021·深圳一模)在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝()A.10 B.9 C.8 D.734、设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则下列说法错误的是()A．a2a9的最大值为10B．a2＋a9的最大值为2eq\r(10)C．eq\f(1,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＋eq\f(1,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9)))的最大值为eq\f(1,5)D．aeq\o\al(\s\up12(4),\s\do4(2))＋aeq\o\al(\s\up12(4),\s\do4(9))的最小值为20035、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An，Bn，且满足eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，则使得eq\f(an,bn)为正整数的n的个数是()A．5 B．4C．3 D．236、已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论不正确的是()A．a10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S19＝037、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，则S2023＝()A．2023 B．－2023C．4046 D．－404638、已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为()A．1或－1 B．2C．－2 D．2或－239、等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，则eq\f(a7,b7)等于________.40、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SkSk＋1<0的正整数k＝__________．41、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝.42、(2022·安徽蚌埠一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________．43、等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－1,3n－2)，则eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)的值为________．44、(2021·山东师大附中模拟)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＋a9＋a19＝6，则a10＝，S19＝.45、记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝____________．46、(2021·长春一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________.二、等比数列性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝aeq\o\al(2,s)，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．(5)等比数列{an}的单调性①满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，{an}是递增数列．②满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，{an}是递减数列．③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1≠0，,q＝1))时，{an}为常数列．④当q<0时，{an}为摆动数列．(6)若共有2n项，则eq\f(S偶,S奇)＝q；(7)若共有2n＋1项，eq\f(S奇－a1,S偶)＝q．例4(2022·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，则S12＝()A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50解析：解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1，又Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，∴eq\f(S9,S3)＝eq\f(1－q9,1－q3)＝q6＋q3＋1＝7.∴q3＝2或－3(舍去)．又eq\f(S12,S3)＝eq\f(1－q12,1－q3)＝eq\f(1－q34,1－q3)＝15.∴S12＝15S3＝150.故选A．解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A．解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A．解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1－q9＝70，,A1－q3＝10，))两式相除得1＋q3＋q6＝7，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A．例5(2022·青岛模拟)等比数列{an}的各项均为正数，a5，a6是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x2＋8x＋1的极值点，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝()A．3＋log25 B．8C．10 D．15解析：Df′(x)＝x2－6x＋8，∵a5，a6是函数f(x)的极值点，∴a5，a6是方程x2－6x＋8＝0的两实数根，则a5·a6＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log2(a5·a6)5＝5log28＝15，故选D．跟踪练习1、(2022·潮州模拟)Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝256，a4a6＝1024，则eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－12、(2022·洛阳第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则eq\f(a2a16,a9)的值为()A．－eq\f(2＋\r(2),2) B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．－eq\r(2)或eq\r(2)3、(2021·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则eq\f(a2a16,a9)的值为()A．－2 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．－eq\r(2)或eq\r(2)4、(2021·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比q＝－eq\f(1,2)，该数列前9项的乘积为1，则a1等于()A．8 B．16C．32 D．645、(2021·吉林统考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则eq\f(S8,S4)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)或eq\f(1,2)C．3 D．3或－26、在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－eq\r(2)，a5＝eq\r(2)＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝()A．1 B．9C．5eq\r(2)＋7 D．3eq\r(2)＋97、(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则()A．数列{an}的公比为2B．数列{an}的公比为8C．eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝98、(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝()A.7 B.8 C.9 D.109、已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝()A．－2 B．±2C．2 D．±eq\f(1,2)10、等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9＝()A．－3 B．3C．－4 D．411、公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.1112、(2021·长沙检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A.25 B.20 C.15 D.1013、已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为()A.2 B.4 C.eq\f(9,2) D.614、在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为()A．16 B．27C．36 D．8115、已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a6·a8＝16aeq\o\al(\s\up12(2),\s\do4(5))，则eq\f(a4＋a7,a5＋a8)＝()A．2 B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)16、在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝()A．12 B．13C．14 D．1517、已知数列{an}满足a1＝1，eq\f(an＋2,an＋1)＝eq\f(an＋1,an)·q(q为非零常数)，eq\f(a51,a50)·eq\f(a52,a51)＝2eq\s\up6(\f(1,50))，则a101＝()A．2 B．eq\f(1,2100)C．1024 D．eq\f(1,250)18、设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，eq\f(a