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文档简介
浙江省磐安县二中2025届高三(最后冲刺)数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.2.已知、分别为双曲线:(,)的左、右焦点,过的直线交于、两点,为坐标原点,若,,则的离心率为()A.2 B. C. D.3.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.已知椭圆的焦点分别为,,其中焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.5.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()A. B. C.- D.-6.已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时,,则函数在区间上零点的个数为()A.9 B.10 C.18 D.207.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的焦距为8,一条渐近线方程为,则C为()A. B.C. D.8.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则9.已知命题,;命题若,则,下列命题为真命题的是()A. B. C. D.10.给出个数,,,,,,其规律是:第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,以此类推,要计算这个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图,请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句,使之能完成该题算法功能()A.; B.;C.; D.;11.抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.12.已知向量,,若,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为.14.在长方体中,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.15.已知,为双曲线的左、右焦点,双曲线的渐近线上存在点满足,则的最大值为________.16.已知函数在上单调递增,则实数a值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若锐二面角的余弦值为,求直线与平面所成的角.18.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.附:若随机变量服从正态分布,则.19.(12分)如图,设A是由个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.对于,记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)请写出一个AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?说明理由;(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.20.(12分)如图,在直角梯形中,,,,为的中点,沿将折起,使得点到点位置,且,为的中点,是上的动点(与点,不重合).(Ⅰ)证明:平面平面垂直;(Ⅱ)是否存在点,使得二面角的余弦值?若存在,确定点位置;若不存在,说明理由.21.(12分)已知数列满足,,,且.(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圆的半径为,求△ABC面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2、D【解析】
作出图象,取AB中点E,连接EF2,设F1A=x,根据双曲线定义可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,进而得到e的值【详解】解:取AB中点E,连接EF2,则由已知可得BF1⊥EF2,F1A=AE=EB,设F1A=x,则由双曲线定义可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,则EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,则e故选:D.【点睛】本题考查双曲线定义的应用,考查离心率的求法,数形结合思想,属于中档题.对于圆锥曲线中求离心率的问题,关键是列出含有中两个量的方程,有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理,从而求出离心率.3、A【解析】
可采用假设法进行讨论推理,即可得到结论.【详解】由题意,假设甲:我没有抓到是真的,乙:丙抓到了,则丙:丁抓到了是假的,丁:我没有抓到就是真的,与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的;假设甲:我没有抓到是假的,那么丁:我没有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以断定值班人是甲.故选:A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用,其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键,着重考查了推理与分析判断能力,属于基础题.4、B【解析】
根据题意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【详解】易知,且故有,则故选:B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质,考查了学生的计算能力,属于中档题5、A【解析】分析:计算,由z1,是实数得,从而得解.详解:复数z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是实数,所以,即.故选A.点睛:本题主要考查了复数共轭的概念,属于基础题.6、B【解析】
由已知可得函数f(x)的周期与对称轴,函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,作出函数f(x)与g(x)的图象如图,数形结合即可得到答案.【详解】函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,由f(x)=f(2﹣x),得函数f(x)图象关于x=1对称,∵f(x)为偶函数,取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函数周期为2.又∵当x∈[0,1]时,f(x)=x,且f(x)为偶函数,∴当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,g(x),作出函数f(x)与g(x)的图象如图:由图可知,两函数图象共10个交点,即函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数为10.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属于中档题.7、A【解析】
由题意求得c与的值,结合隐含条件列式求得a2,b2,则答案可求.【详解】由题意,2c=8,则c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴双曲线C的方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,属于基础题.8、B【解析】
根据空间中线线、线面位置关系,逐项判断即可得出结果.【详解】A选项,若,,,,则或与相交;故A错;B选项,若,,则,又,是两个不重合的平面,则,故B正确;C选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故C错;D选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故D错;故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题,熟记线线、线面位置关系,即可求解,属于常考题型.9、B【解析】解:命题p:∀x>0,ln(x+1)>0,则命题p为真命题,则¬p为假命题;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,则命题q是假命题,则¬q是真命题.∴p∧q是假命题,p∧¬q是真命题,¬p∧q是假命题,¬p∧¬q是假命题.故选B.10、A【解析】
要计算这个数的和,这就需要循环50次,这样可以确定判断语句①,根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和,循环变量的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为,第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,这样可以确定语句②为,故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构,正确读懂题意是解本题的关键.11、A【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值,再利用双曲线的定义可求得a的值,即可求得离心率.【详解】由题意知,抛物线焦点F1,0,准线与x轴交点F'(-1,0),双曲线半焦距c=1,设点Q(-1,y)ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥抛物线的准线,从而PF⊥x轴,所以P1,2∴2a=P即a=故双曲线的离心率为e=故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合,分析题目,画出图像,熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键,属于中档题.12、A【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【详解】由题意得,,,,解得.故选A.【点睛】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】.14、C【解析】
根据确定是异面直线与所成的角,利用余弦定理计算得到答案.【详解】由题意可得.因为,所以是异面直线与所成的角,记为,故.故选:.【点睛】本题考查了异面直线夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.15、【解析】
设,由可得,整理得,即点在以为圆心,为半径的圆上.又点到双曲线的渐近线的距离为,所以当双曲线的渐近线与圆相切时,取得最大值,此时,解得.16、【解析】
由在上恒成立可求解.【详解】,令,∵,∴,又,,从而,令,问题等价于在时恒成立,∴,解得.故答案为:.【点睛】本题考查函数的单调性,解题关键是问题转化为恒成立,利用换元法和二次函数的性质易求解.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性质可得平面,即可得到,从而得证;(Ⅱ)在平面中,过点作于点,则平面,如图所示建立空间直角坐标系,设,其中,利用空间向量法得到二面角的余弦,即可得到的关系,从而得解;【详解】解:(Ⅰ)证明:在中,,解得,则,从而因为平面平面,平面平面所以平面,又因为平面,所以,因为,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,过点作于点,则平面,如图所示建立空间直角坐标系,设,其中,则设平面的法向量为,则,即,令,则又平面的一个法向量,则从而,故则直线与平面所成的角为,大小为.【点睛】本题考查线面垂直的判定,面面垂直的性质定理的应用,利用空间向量法解决立体几何问题,属于中档题.18、(1)见解析(2)需要,见解析【解析】
(1)由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得;(2)由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.【详解】(1),由于满足二项分布,故.(2)由题意可知不合格率为,若不检查,损失的期望为;若检查,成本为,由于,当充分大时,,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.19、(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意;(Ⅱ)用反证法证明:假设存在,得出矛盾,从而证明结论;(Ⅲ)通过分析正确得出l(A)的表达式,以及从A0如何得到A1,A2……,以此类推可得到Ak.【详解】(Ⅰ)答案不唯一,如图所示数表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,证明如下:假如存在,使得.因为,,所以,,...,,,,...,这18个数中有9个1,9个-1.令.一方面,由于这18个数中有9个1,9个-1,从而①,另一方面,表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);也表示m,从而②,①,②相矛盾,从而不存在,使得.(Ⅲ)记这个实数之积为p.一方面,从“行”的角度看,有;另一方面,从“列”的角度看,有;从而有③,注意到,,下面考虑,,...,,,,...,中-1的个数,由③知,上述2n个实数中,-1的个数一定为偶数,该偶数记为,则1的个数为2n-2k,所以,对数表,显然.将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,依此类推,将数表中的由1变为-1,得到数表,即数表满足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合为.【点睛】本题为数列的创新应用题,考查数学分析与思考能力及推理求解能力,解题关键是读懂题意,根据引入的概念与性质进行推理求解,属于较难题.20、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)存在,此时为的中点.【解析】
(Ⅰ)证明平面,得到平面平面,故平面平面,平面,得到答案.(Ⅱ)假设存在点满足题意,过作于,平面,过作于,连接,则,过作于,连接,是二面角的平面角,设,,计算得到答案.【详解】(Ⅰ)∵,,,∴平面.又平面,∴平面平面,而平面,,∴平面平面,由,知,可知平面,又平面,∴平面平面.(Ⅱ)假设存在点满足题意,过作于,由知,易证平面,所以平面,过作于,连接,则(三垂线定理),即是二面角的平面角,不妨设,则,在中,设(),由得,即,得,∴,依题意知,即,解
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