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文档简介
2025届闽粤赣高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则=()A. B.C. D.2.已知定义在上的函数在区间上单调递增,且的图象关于对称,若实数满足,则的取值范围是()A. B. C. D.3.函数在上为增函数,则的值可以是()A.0 B. C. D.4.已知函数,则()A. B.1 C.-1 D.05.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()A. B. C. D.6.已知,则()A. B. C. D.7.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数8.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},则M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)9.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.10.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为()A. B. C. D.11.设为自然对数的底数,函数,若,则()A. B. C. D.12.已知,,,,.若实数,满足不等式组,则目标函数()A.有最大值,无最小值 B.有最大值,有最小值C.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知各项均为正数的等比数列的前项积为,,(且),则__________.14.已知集合,则____________.15.已知函数为奇函数,则______.16.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了”.丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱柱中,平面平面,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)证明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.19.(12分)已知数列满足:,,且对任意的都有,(Ⅰ)证明:对任意,都有;(Ⅱ)证明:对任意,都有;(Ⅲ)证明:.20.(12分)如图,在直角中,,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)点是线段上一点,,且,求的值.21.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.22.(10分)在平面直角坐标系中,为直线上动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.(1)证明:轴;(2)直线是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由,得,所以,.故选:B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.2、C【解析】
根据题意,由函数的图象变换分析可得函数为偶函数,又由函数在区间上单调递增,分析可得,解可得的取值范围,即可得答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,由于函数的图象关于直线对称,则函数的图象关于轴对称,即函数为偶函数,由,得,函数在区间上单调递增,则,得,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式,注意分析函数的奇偶性,属于中等题.3、D【解析】
依次将选项中的代入,结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时,在上不单调,故A不正确;当时,在上单调递减,故B不正确;当时,在上不单调,故C不正确;当时,在上单调递增,故D正确.故选:D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性,涉及到诱导公式的应用,是一道容易题.4、A【解析】
由函数,求得,进而求得的值,得到答案.【详解】由题意函数,则,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题,其中解答中根据分段函数的解析式,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5、A【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例,再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例,相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选:A【点睛】本题考查折线图与柱形图,属于基础题.6、D【解析】
根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于零小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为,所以,所以是减函数,又因为,所以,,所以,,所以A,B两项均错;又,所以,所以C错;对于D,,所以,故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小,两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.7、D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.8、C【解析】
先化简N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根据M={x|﹣1<x<2},求两集合的交集.【详解】因为N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因为M={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9、B【解析】
解:当直线过点时,最大,故选B10、C【解析】
先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有种情况,2张均没有奖的情况有(种),故所求概率为.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题.11、D【解析】
利用与的关系,求得的值.【详解】依题意,所以故选:D【点睛】本小题主要考查函数值的计算,属于基础题.12、B【解析】
判断直线与纵轴交点的位置,画出可行解域,即可判断出目标函数的最值情况.【详解】由,,所以可得.,所以由,因此该直线在纵轴的截距为正,但是斜率有两种可能,因此可行解域如下图所示:由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选:B【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题,考查了数形结合思想,考查了不等式的性质应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用等比数列的性质求得,进而求得,再利用对数运算求得的值.【详解】由于,,所以,则,∴,,.故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列的性质,考查对数运算,属于基础题.14、【解析】
根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集,知.故答案为:【点睛】本题考查集合的并集运算,属于容易题.15、【解析】
利用奇函数的定义得出,结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数,则,即,,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意;当时,,解不等式,解得或,此时函数的定义域为,定义域关于原点对称,合乎题意.综上所述,.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.16、丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)线段上是存在一点,,使直线与平面所成的角正弦值为.【解析】
(Ⅰ)取中点,连结、,推导出四边形是平行四边形,从而,由此能证明平面;(Ⅱ)取中点,连结,,推导出平面,,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值;(Ⅲ)假设在线段上是存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,设.利用向量法能求出结果.【详解】(Ⅰ)证明:取中点,连结、,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点,,四边形是平行四边形,,平面,平面,平面.(Ⅱ)解:取中点,连结,,在四棱柱中,平面平面,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点,平面,,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,1,,,0,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,设平面的法向量,,,则,取,得,,,设平面的法向量,,,则,取,得,设二面角的平面角为,则.二面角的余弦值为.(Ⅲ)解:假设在线段上是存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,设.则,,,,,,平面的法向量,,解得,线段上是存在一点,,使直线与平面所成的角正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.18、(Ⅰ)见解析(Ⅱ).【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;(II)以为原点建立坐标系,求出平面的法向量,通过计算与的夹角得出与平面所成角.【详解】(I)证明:取AC的中点M,连接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,∴AC⊥平面PBM,∵BP⊂平面PBM,∴AC⊥BP.(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,∴∠ABC=120°,∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,又AC⊥BM,∴BM∥CD.∵PA=PC,CM,∴PM,∵PB,∴cos∠BMP,∴∠PMB=120°,以M为原点,以MB,MC的方向为x轴,y轴的正方向,以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz,如图所示:则A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),设平面ACP的法向量为(x,y,z),则,即,令x得(,0,1),∴cos,,∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos,|.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.19、(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】分析:(1)用反证法证明,注意应用题中所给的条件,有效利用,再者就是注意应用反证法证题的步骤;(2)将式子进行相应的代换,结合不等式的性质证得结果;(3)结合题中的条件,应用反证法求得结果.详解:证明:(Ⅰ)证明:采用反证法,若不成立,则若,则,与任意的都有矛盾;若,则有,则与任意的都有矛盾;故对任意,都有成立;(Ⅱ)由得,则,由(Ⅰ)知,,即对任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,则,取时,有,与矛盾.则.得证.点睛:该题考查的是有关命题的证明问题,在证题的过程中,注意对题中的条件的等价转化,注意对式子的等价变形,以及证题的思路,要掌握证明问题的方法,尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.20、(1)3;(2).【解析】
(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程组即可.【详解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因为,所以,解得.在中,由余弦定理得,,即,,故.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的计算能力,是一道中档题.21、(1);(2)当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;(3)证明见解析.【解析】
(1)当时,,求得其导函数,,可求得函数的图象在处的切线方程;(2)由已知得,得出导函数,并得出导函数取得正负的区间,可得出函数的单调性;(3)当时,
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