2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件第2课时充要条件课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-第一章1.4第2课时A组·素养自测一、选择题1．设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由题意可知x>1⇒|x|>1，但|x|>1x>1.故选A．2．已知x∈R，则{x|x<－1}是{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]{x|x<－1}⇒{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}，反之不成立，所以“{x|x<－1}”是“{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}”的充分不必要条件．故选A．3．命题“对全部的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(C)A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5[解析]命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．4．若a，b为实数，则ab(a－b)<0成立的一个充要条件是(D)A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．0<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)C．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．eq\f(1,b)<eq\f(1,a)[解析]ab(a－b)<0⇔a2b－ab2<0⇔a2b<ab2⇔eq\f(a2b,a2b2)<eq\f(ab2,a2b2)⇔eq\f(1,b)<eq\f(1,a).故选D．二、填空题5．下列说法正确的是__②④__.①x2≠1是x≠1的必要条件；②x>5是x>4的充分不必要条件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；④x2<4是x<2的充分不必要条件．[解析]由x2≠1⇒x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．6．已知p：x<8，q：x<a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围为__a<8__.[解析]因为p：x<8，q：x<a，且q是p的充分而不必要条件，所以a<8.三、解答题7．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.[解析]方法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.方法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0⇔eq\f(y－x,xy)<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0⇔xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.B组·素养提升一、选择题1．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(C)A．0<a≤1 B．a<1C．a≤1 D．0<a≤1或a<0[解析]解法一(干脆法)：当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)，符合题意；a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0；若方程两根均负，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0，))解得0<a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.解法二(解除法)：当a＝0时，原方程有一个负实根，可以解除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以解除B．故选C．2．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(BCD)A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅C．∁UA⊆∁UB D．A∪∁UB＝U[解析]由Venn图可知，BCD都是充要条件．故选BCD．二、填空题3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为__－eq\f(1,2)或eq\f(1,3)__.[解析]p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，即x＝－eq\f(1,a).由题意知pq，q⇒p，所以有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).综上可知，a＝－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).三、解答题5．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2，或x<－1”的充分条件？假如存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]存在．由4x＋p<0得x<－e