2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业213.1.3空间向量的数量积运算含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE6课时作业21空间向量的数量积运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，则eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD1,\s\up16(→))等于(B)A．0 B．1C.eq\f(1,2) D．－1解析：eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD1,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))·(eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))2＋eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AA1,\s\up16(→))＝0＋0＋1＋0＝1.2．正方体ABCD­A′B′C′D′中，eq\o(A′B,\s\up16(→))，eq\o(B′D′,\s\up16(→))＝(D)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：设正方体棱长为1，则A′B＝eq\r(2)，B′D′＝eq\r(2)，∵eq\o(A′B,\s\up16(→))·eq\o(B′D′,\s\up16(→))＝(eq\o(A′A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))·(eq\o(B′C′,\s\up16(→))＋eq\o(C′D′,\s\up16(→)))＝(eq\o(A′A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝－1，∴cos〈eq\o(A′B,\s\up16(→))，eq\o(B′D′,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(A′B,\s\up16(→))·\o(B′D,\s\up16(→)),\a\vs4\al(|\o(A′B,\s\up16(→))|·|\o(B′D′,\s\up16(→))|))＝eq\f(－1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)＝cos120°.3．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(B)A．－6 B．6C．3 D．－3解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(C)A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144解析：因为eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))，所以eq\a\vs4\al(\o(PC,\s\up16(→)))2＝eq\a\vs4\al(\o(PA,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(BC,\s\up16(→)))2＋2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.所以|eq\o(PC,\s\up16(→))|＝12.5．如图所示，在三棱锥A­BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))等于(A)A．0B．1C．2D．3解析：∵eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))·(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→)))·(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up16(→))－2eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))·(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\a\vs4\al(\o(DB,\s\up16(→)))2－eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\a\vs4\al(\o(DC,\s\up16(→)))2－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))，又易知eq\o(DB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝0，eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝0，eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＝0，|eq\o(DB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|，∴eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.故选A.6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则coseq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))的值为(D)A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2) D．0解析：eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))·(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝|eq\o(OA,\s\up16(→))||eq\o(OC,\s\up16(→))|coseq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))－|eq\o(OA,\s\up16(→))|·|eq\o(OB,\s\up16(→))|·coseq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，∵eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\f(π,3)，|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(OC,\s\up16(→))|，∴eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，∴coseq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.7．已知非零向量a，b，c，若p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)，那么|p|的取值范围为(C)A．[0,1]B．[1,2]C．[0,3]D．[1,3]解析：∵|p|2＝(eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|))2＝3＋2(eq\f(a·b,|a||b|)＋eq\f(a·c,|a||c|)＋eq\f(c·b,|c||b|))≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.8．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))〉＝θ，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DB,\s\up16(→)))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝|eq\o(CD,\s\up16(→))|2＝1，∴cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(CD,\s\up16(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))||\o(CD,\s\up16(→))|))＝eq\f(1,2)，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选C.二、填空题9．已知正方ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则eq\o(A1B,\s\up16(→))·eq\o(B1C,\s\up16(→))＝a2.解析：eq\o(A1B,\s\up16(→))·eq\o(B1C,\s\up16(→))＝eq\o(A1B,\s\up16(→))·eq\o(A1D,\s\up16(→))＝|eq\o(A1B,\s\up16(→))|·|eq\o(A1D,\s\up16(→))|·cos〈eq\o(A1B,\s\up16(→))，eq\o(A1D,\s\up16(→))〉＝eq\r(2)a×eq\r(2)a×cos60°＝a2.10．若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\o(AB,\s\up16(→))⊥eq\o(CE,\s\up16(→)).解析：eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(BE,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CE,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(AB,\s\up16(→))⊥eq\o(CE,\s\up16(→)).11．如图所示，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为7.解析：∵eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(PC,\s\up16(→))|2＝eq\o(PC,\s\up16(→))·eq\o(PC,\s\up16(→))＝(eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up16(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up16(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋2eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＋2eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up16(→))|·|eq\o(DC,\s\up16(→))|cos120°＝61－12＝49，∴PC＝7.三、解答题12.已知空间四边形ABCD，求eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))的值．解：eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＋(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))·eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝0.13．直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：设eq\o(CA,\s\up16(→))＝a，eq\o(CB,\s\up16(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up16(→))＝c，依据题意得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0，(1)证明：易知eq\o(CE,\s\up16(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up16(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴eq\o(CE,\s\up16(→))·eq\o(A′D,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴eq\o(CE,\s\up16(→))⊥eq\o(A′D,\s\up16(→))，即CE⊥A′D.(2)易知eq\o(AC′,\s\up16(→))＝－a＋c，∴|eq\o(AC′,\s\up16(→))|＝eq\r(2)|a|，又eq\o(CE,\s\up16(→))＝b＋eq\f(1,2)c，∴|eq\o(CE,\s\up16(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，∵eq\o(AC′,\s\up16(→))·eq\o(CE,\s\up16(→))＝(－a＋c)·(b＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴coseq\o(AC′,\s\up16(→))，eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq\f(\r(10),10)，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).——实力提升类——14．如图所示，在一个直二面角α­AB­β的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为2eq\r(29).解析：∵eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))，∴eq\a\vs4\al(\o(CD,\s\up16(→)))2＝(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))2＝eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→)))2－2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋