2024-2025学年高中数学第二章平面解析几何初步2.4.1空间直角坐标系学案新人教B版必修2VIP

PAGEPAGE12．4．1空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系．2．理解空间直角坐标系的有关概念．3．驾驭空间中随意一点的坐标的求法．1．空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x，y，z表示轴的方向．通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合．这时我们在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础．让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，假如中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系．一般状况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系．在空间随意一点P与三个实数的有序数组(点的坐标)之间，建立起一一对应的关系：P←→(x，y，z)．其中x叫做点P的横坐标，也叫点P的x坐标；y叫做点P的纵坐标，也叫点P的y坐标；z叫做点P的竖坐标，也叫点P的z坐标．2．坐标与坐标平面(1)过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的x坐标．(2)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的y坐标．(3)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z叫做点P的z坐标．(4)每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面．(5)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为随意实数；(6)yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为随意实数；(7)xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为随意实数．(8)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为随意实数；(9)y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为随意实数；(10)z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为随意实数；(11)三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限，在坐标平面xOy上方，分别对应当坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．1．在如图所示的坐标系中，OABC­D′A′B′C′是单位正方体，求单位正方体的各顶点坐标．解：坐标原点O(0，0，0)，在坐标轴上的点A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)，在坐标面上的点B(1，1，0)，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)，不在坐标轴和坐标面上的点B′(1，1，1)．2．在空间直角坐标系中，P的坐标为(3，4，5)，过点P作平面xOy的垂线，求垂足的坐标．解：依据垂直的性质和平面xOy上的点的坐标特点，得到垂足的坐标为(3，4，0)．求空间中点的坐标已知V­ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．【解】因为底面是边长为2的正方形，所以|CE|＝|CF|＝1．因为点O是坐标原点，所以C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0)．因为V在z轴上，所以V(0，0，3)．在本例中，若点M是OC的中点，则点M在题图所示的坐标系中的坐标为________．解析：在题图中，点M的横坐标为eq\f(1＋0,2)＝eq\f(1,2)，纵坐标为eq\f(1＋0,2)＝eq\f(1,2)，竖坐标为eq\f(0＋0,2)＝0，即M(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))eq\a\vs4\al()(1)本题坐标系已给出，不用再建系．若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4．试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．解：以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)．所以点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，0))，点F的坐标为(1，2，1)．点的对称问题如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a．(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标；(2)求B1关于z轴对称的点的坐标；(3)求B1关于原点对称的点的坐标．【解】因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，所以易求得点B1的坐标为(a，a，a)．(1)B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a，a，－a)；(2)B1关于z轴对称的点的坐标为(－a，－a，a)；(3)B1关于原点对称的点的坐标为(－a，－a，－a)．eq\a\vs4\al()解决对称问题的方法技巧(1)解决有关对称问题时，留意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．(2)空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”．如关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标相反．特殊留意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数．1．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与点Q(3，－4，－5)的位置关系是()A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称 D．以上都不对解析：选A．点P(3，4，5)与点Q(3，－4，－5)的横坐标相同，而纵、竖坐标分别互为相反数，所以两点关于x轴对称．2．点P(－1，2，3)关于zOx平面对称的点的坐标为()A．(1，2，3) B．(－1，－2，3)C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)解析：选B．因点P(－1，2，3)与点P′关于zOx平面对称，则对称点P′的坐标应为P′(－1，－2，3)．1．空间中点M坐标的确定方法(1)由点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交三个坐标轴于点P、Q和R，设这三个点在三个轴上的坐标分别是x、y、z，则点M的坐标即为(x，y，z)；(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．2．空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．1．建立空间直角坐标系时，必需分别以从同一点引出并且两两垂直的三条直线为x，y，z轴建系．2．构造以OM为体对角线的长方体确定点M的坐标时，要考虑M点各坐标的符号．1．已知点A(－1，2，7)，则点A关于x轴对称点的坐标为()A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2，7)C．(1，－2，－7) D．(1，2，－7)答案：A2．点P(－2，0，3)位于()A．y轴上 B．z轴上C．xOz平面内 D．yOz平面内解析：选C．由点P纵坐标为零知P(－2，0，3)在xOz平面内．3．点P(－3，2，1)关于Q(1，2，－3)的对称点M的坐标是________．解析：设M坐标为(x，y，z)，则有1＝eq\f(x－3,2)，2＝eq\f(2＋y,2)，－3＝eq\f(1＋z,2)，解得x＝5，y＝2，z＝－7，所以M为(5，2，－7)．答案：(5，2，－7)4．在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2，3，4)在x轴上的射影的坐标为______，在平面xOy上的射影的坐标为______，在yOz平面上的射影的坐标为______．答案：(2，0，0)(2，3，0)(0，3，4)[学生用书P129(单独成册)])[A基础达标]1．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝eq\f(1,3)|BD′|，则P点的坐标为()A．(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3))B．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))D．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))解析：选D．连接BD，点P在xDy平面的投影落在BD上，因为|BP|＝eq\f(1,3)|BD′|，所以Px＝Py＝eq\f(2,3)，Pz＝eq\f(1,3)，故P(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))．2．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点P′的坐标为()A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，3) D．(－1，2，－3)解析：选B．关于x轴对称，x不变，y、z相反，故P(1，2，3)关于x轴对称点的坐标为P′(1，－2，－3)．故选B．3．若点P(－4，－2，3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D．由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1．4．点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A．(0，0，eq\r(3)) B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1，0，eq\r(3)) D．(1，eq\r(2)，0)解析：选D．由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，eq\r(2)，0)．5．在空间直角坐标系中，点P(－2，4，4)关于x轴的对称点的坐标是()A．(－2，4，－4) B．(－2，－4，－4)C．(2，－4，4) D．(2，4，－4)解析：选B．因为点P关于x轴对称后，它在x轴的重量不变，在y，z轴的重量变为原来的相反数，所以对称点P′的坐标为(－2，－4，－4)，故选B．6．在xOy平面内有两点A(－2，4，0)，B(3，2，0)，则AB的中点坐标是________．解析：设AB中点坐标为(x，y，z)，则x＝eq\f(3－2,2)＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(4＋2,2)＝3，z＝0，所以中点坐标为(eq\f(1,2)，3，0)．答案：(eq\f(1,2)，3，0)7．点P(a，b，c)关于原点的对称点P′在x轴上的投影A的坐标为________．解析：由题意得P′(－a，－b，－c)，所以P′(－a，－b，－c)在x轴上的投影A的坐标为(－a，0，0)．答案：(－a，0，0)8．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是________．解析：点A在x轴、y轴、z轴上的投影分别是B1、D1、C，故A点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)9．如图，在长方体OABC­D′A′B′C′中，|OA|＝1，|OC|＝3，|OD′|＝2，点E在线段AO的延长线上，且|OE|＝eq\f(1,2)，写出B′，C，E的坐标．解：点C在y轴上，x坐标，z坐标均为0，且|OC|＝3，故点C的坐标为(0，3，0)．因为B′B垂直于xOy平面，垂足为B，所以点B′与B的x坐标和y坐标都相同，又|BB′|＝|OD′|＝2，且点B′在xOy平面的上方，所以点B′的坐标为(1，3，2)．点E在x轴负半轴上，且|OE|＝eq\f(1,2)，所以点E的坐标为(－eq\f(1,2)，0，0)．10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为4，E是A1C1的中点，F是BB1上的点，且|BF|＝3|FB1|．建立如图所示的空间直角坐标系．求E、F的坐标．解：E点在xDy平面上的投影为AC的中点H(2，2，0)，又|EH|＝4，所以E点的z坐标为4．因此点E的坐标为(2，2，4)．F点在xDy平面上的投影为B(4，4，0)，因为|BB1|＝4，|BF|＝3|FB1|，所以|BF|＝3，即点F的z坐标为3，所以点F的坐标为(4，4，3)．[B实力提升]11．设z是随意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()A．一个平面 B．一条直线C．一个圆 D．一个球解析：选B．由P的x、y坐标是定值，则过(2，2，0)作与xOy平面垂直的直线，直线上随意一点都满意x＝2，y＝2，故P的轨迹是一条直线．12．已知▱ABCD的两个顶点A(2，－3，－5)，B(－1，3，2)以及它的对角线交点E(4，－1，7)，则顶点C的坐标为________，D的坐标为________．解析：E为AC、BD的中点．答案：(6，1，19)(9，－5，12)13．如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，|PA|＝|AC|＝eq\f(1,2)|AB|＝4，N为AB上一点，|AN|＝eq\f(1,4)|AB|，M、S分别为PB、BC的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M、N、S的坐标．解：由线面垂直的性质可知AB、AC、AP三条直线两两垂直，如图，分别以AB、AC、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(8，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，因为M、S分别为PB、BC的中点，由中点坐标公式可得，M(4，0，2)，S(4，2，0)．因为N在x轴上，|AN|＝2，所以N(2，0，0)．14．(选做题)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(