2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算学案含解析新人教B版必修第二册VIP

PAGE1-5.3.2事务之间的关系与运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解事务的包含与相等的含义及概率关系．2．理解事务和(并)、积(交)运算的含义及其概率关系．3．理解事务的互斥与对立关系，驾驭互斥事务的概率加法公式．4．会进行事务的混合运算．通过本节课的学习，进一步提升学生的数学抽象、数学运算素养．必备学问·探新知学问点事务的包含与相等(1)包含关系一般地，假如事务A__发生__时，事务B肯定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A)．用图形表示为：(2)相等关系假如事务A发生时，事务B肯定发生；而且事务B发生时，事务A也肯定发生，则称“__A与B相等__”，记作A＝B．思索：假如两个事务相等，则这两个事务的样本点有什么关系？提示：假如两个事务相等，则它们的样本点完全相同．即：A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点．学问点和事务与积事务(1)事务的和(并)给定事务A，B，由__全部__A中的样本点与B中的样本点组成的事务称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)．事务A与B的和可以用如图中的阴影部分表示．(2)事务的积(交)给定事务A，B，由A与B中的__公共样本点__组成的事务称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)．事务A与事务B的积可以用如图中的阴影部分表示．思索：“A∩B＝∅”的含义是什么？提示：在一次试验中，事务A、B不行能同时发生．学问点事务的互斥与对立给定事务A，B，若事务A与B__不能同时__发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)．互斥事务的概率加法公式：若A与B互斥(即A∩B＝∅)，则：P(A＋B)＝__P(A)＋P(B)__．若A∩B为__不行能__事务，A∪B为__必定__事务，那么称事务A与事务B互为对立事务，其含义是：事务A与事务B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事务A的对立事务记为：eq\o(A,\s\up6(－))，则：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝__1__．关键实力·攻重难题型探究题型事务关系的推断┃┃典例剖析__■典例1在掷骰子的试验中，可以定义很多事务．例如，事务C1＝{出现1点}，事务C2＝{出现2点}，事务C3＝{出现3点}，事务C4＝{出现4点}，事务C5＝{出现5点}，事务C6＝{出现6点}，事务D1＝{出现的点数不大于1}，事务D2＝{出现的点数大于3}，事务D3＝{出现的点数小于5}，事务E＝{出现的点数小于7}，事务F＝{出现的点数为偶数}，事务G＝{出现的点数为奇数}，请依据上述定义的事务，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事务；(2)利用和事务的定义，推断上述哪些事务是和事务．[解析](1)因为事务C1，C2，C3，C4发生，则事务D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事务E包含事务C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事务D2包含事务C4，C5，C6；事务F包含事务C2，C4，C6；事务G包含事务C1，C3，C5．且易知事务C1与事务D1相等，即C1＝D1．(2)因为事务D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．规律方法：事务间运算方法1．利用事务间运算的定义．列出同一条件下的试验全部可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事务间的运算．2．利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验全部可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．┃┃对点训练__■1．某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事务A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事务B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事务C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事务D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．问：(1)事务D与A，B是什么样的运算关系？(2)事务C与A的交事务是什么事务？[解析](1)对于事务D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B．(2)对于事务C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A．题型互斥事务与对立事务的推断┃┃典例剖析__■典例2从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．推断上面给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．[解析](1)是互斥事务，不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事务．(2)既是互斥事务，又是对立事务．理由是：从40张扑克牌中，随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事务不行能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事务，又是对立事务．(3)不是互斥事务，当然不行能是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事务可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事务，当然不行能是对立事务．规律方法：互斥事务、对立事务的判定方法(1)利用基本概念①互斥事务不行能同时发生；②对立事务首先是互斥事务，且必需有一个要发生．(2)利用集合的观点来推断设事务A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．①事务A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事务A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，即A＝∁IB或B＝∁IA．┃┃对点训练__■2．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是__①②⑤__(填写序号)．①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．[解析]A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事务，由此知：A与B是互斥事务，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事务，更不是对立事务；B与C是互斥事务，也是对立事务．所以正确结论的序号为①②⑤．题型互斥事务概率加法公式的应用┃┃典例剖析__■典例3某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．[解析]设运动员射击一次，射中10环、9环、8环、7环、7环以下分别记为A，B，C，D，E，则P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1．(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10环或9环的概率为0.3．(2)记F＝A＋B＋C＋D，∵E，F对立，∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7环的概率为0.9．规律方法：(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事务互斥时才能运用，假如A，B不互斥，就不能应用这一公式．(2)利用对立事务的概率公式求解时，必需精确推断两个事务的确是对立事务时才能应用．┃┃对点训练__■3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．[解析](1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事务，所以“甲获胜”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．(2)法一：设事务A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事务的并事务，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)．法二：设事务A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事务，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不输的概率是eq\f(2,3)．易错警示┃┃典例剖析__■典例4抛掷一枚质地匀称的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq\f(1,6)，记事务A为“出现奇数”，事务B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．[错解]设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事务C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事务，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3．P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq\f(1,6)．则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1．[辨析]错解的缘由在于忽视了“事务和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事务，即出现1或3时，事务A，