2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.3频率与概率学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-10.3频率与概率[目标]1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性；2.了解概率的意义以及频率与概率的区分；3.学会用随机模拟法估计概率．[重点]随机事务的不确定性和频率的稳定性．[难点]频率与概率的区分．要点整合夯基础学问点一频率与概率[填一填]1．频率的稳定性大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事务A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事务A发生的频率fn(A)会渐渐稳定于事务A发生的概率P(A)．我们称频率的这特性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．2．频率与概率的区分与联系(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．(2)概率揭示随机事务发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事务在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将eq\f(nA,n)作为事务A发生的概率的近似值，即P(A)＝eq\f(nA,n).(3)求一个随机事务的概率的方法是依据定义通过大量的重复试验用事务发生的频率近似地作为它的概率；任何事务A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必定事务的概率是1，不行能事务的概率是0.[答一答]1．小明说：“做10次抛硬币试验，正面对上的次数确定是5次”，这种说法对吗？提示：不正确．因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面对上的次数．学问点二随机模拟[填一填]1．随机模拟产生的缘由用频率估计概率，须要做大量的重复试验，费时、费劲，甚至难以实现．2．随机模拟的方法利用计算器或计算软件产生随机数(依据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验)．[答一答]2．用计算机或计算器模拟试验(蒙特卡洛法)的步骤是什么？提示：①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数，并给予每个随机数确定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝eq\f(M,N)作为所求概率的近似值.典例讲练破题型类型一频率与概率的理解[例1](1)请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其他同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一样吗？为什么会出现这样的状况？(2)历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：抛掷次数正面对上的次数正面对上的比例204810610.5181404020480.50691200060190.5016(续表)抛掷次数正面对上的次数正面对上的比例24000120120.500530000149840.499572088361240.5011在上述抛掷硬币的试验中，你会发觉怎样的规律？(3)在抛掷硬币试验中，把正面对上的比例称作正面对上的频率，你能给频率下个定义吗？(4)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出确定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？(5)在相同条件下，事务A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否确定相等？事务A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否确定相等？[解](1)通过实际比较可知一样的可能性小，因为抛掷硬币是随机事务，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一样的可能性比较小．(2)当试验次数许多时，出现正面的比例在0.5旁边摇摆．(3)在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(4)事务A发生的频率趋于稳定，在某个常数旁边摇摆．(5)频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事务A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．[变式训练1]李老师在某高校连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成果分布：成果人数90分以上4380分～89分18270分～79分260(续表)成果人数60分～69分9050分～59分6250分以下8经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，依据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成果在各个段上的频率依次为：eq\f(43,645)≈0.067，eq\f(182,645)≈0.282，eq\f(260,645)≈0.403，eq\f(90,645)≈0.140，eq\f(62,645)≈0.096，eq\f(8,645)≈0.012.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：(1)A＝“90分以上”，则P(A)≈0.067；(2)B＝“60分～69分”，则P(B)≈0.140；(3)C＝“60分以上”，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.类型二利用频率估计概率[例2]下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事务的频率，并估算它的概率.[分析]先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．[解]由fn(A)＝eq\f(m,n)可得出这10次试验中“正面朝上”这一事务出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摇摆，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.频率是事务A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值旁边摇摆，这个稳定值就是概率.[变式训练2]一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892(1)计算男婴诞生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴诞生的概率约是多少？解：(1)计算eq\f(m,n)即得男婴诞生的频率依次约是0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.(2)由于这些频率特别接近0.5173，因此，这一地区男婴诞生的概率约为0.5173.类型三利用随机模拟法估计概率[例3]已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采纳随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15[解析]由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)＝0.25.[答案]B用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三个方面考虑：1当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；2探讨等可能事务的概率时，用按比例安排的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；3当每次试验结果须要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时确定要留意每组中的随机数字能否重复.[变式训练3]已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采纳随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(4,5)解析：∵4次射击中有2次及以上未击中目标的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率为1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).课堂达标练经典1．有下列两个命题：(1)抛掷100次硬币，出现正面朝上的频率为0.4，则硬币正面对上的次数为40次；(2)若一批产品的次品率为0.1，则此该产品中随机抽取100件，确定会有10件次品．以下推断正确的是(C)A．(1)错；(2)错 B．(1)错；(2)正确C．(1)正确；(2)错 D．(1)正确；(2)正确解析：在命题(1)中，依据题设条件可干脆求得硬币正面对上的此时为40次，故(1)正确．在命题(2)中次品率为0.1，不等于100件产品中确定有10件次品，故(2)是错误的，故应选C.2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指(C)A．这个人抽1000次，必有1次中一等奖B．这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001D．以上说法都不正确解析：摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10(元)，因此选C.3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的状况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事务，则A的(B)A．概率为eq\f(4,5) B．频率为eq\f(4,5)C．频率为8 D．概率接近于8解析：做n次随机试验，事务A发生了m次，则事务A发生的频率为eq\f(m,n).假如多次进行试验，事务A发生的频率总在某个常数旁边摇摆，那么这个常数才是事务A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)为事务A的频率．4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，某部门通过设计模拟试验的方法探讨三天中恰有两天下雨的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，其余6个数字表示不下雨．产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989则这三天中恰有两天降雨的概率约为eq\f(1,4).解析：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,393，共有5组随机数，∴概率约为eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.(1)请完成上述表格(保留3位小数)；(2)该油菜