2024-2025学年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.1第2课时等比数列的性质及应用课时作业含解析北师大版必修5VIP

PAGEPAGE4课时作业8等比数列的性质及应用时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝(B)A．－6 B．－2C．2 D.eq\f(2,3)解析：a4a7＝a1a10＝eq\f(－6,3)＝－2.2．等比数列{an}中，公比为q，则下列式子正确的是(D)A．an＝a4qn－1 B．an＝a4qn－2C．an＝a4qn－3 D．an＝a4qn－4解析：由等比数列的性质：qn－m＝eq\f(an,am)可知，qn－4＝eq\f(an,a4).所以an＝a4qn－4，故选D.3．公比不为1的等比数列{an}满意a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(C)A．8B．9C．10D．11解析：由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10，故选C.4．在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比为(D)A.eq\r(2)，eq\f(\r(2),2) B．±eq\r(2)C．±eq\f(\r(2),2) D．±eq\r(2)，±eq\f(\r(2),2)解析：因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3·a7＝a2·a8＝36,a3＋a7＝15))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝12,a3＝3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝3,a3＝12))，所以q4＝4或q4＝eq\f(1,4)，所以q＝±eq\r(2)，或q＝±eq\f(\r(2),2).5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m＝(C)A．9 B．10C．11 D．12解析：am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，因此有m＝11.6．已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，公比为q1，q2(q1，q2≠1)，则下列数列①{3an}；②{eq\f(2,an)}；③{3an}；④{2an－3bn}；⑤{2an·3bn}中为等比数列的个数是(C)A．1B．2C．3D．4解析：利用等比数列的定义或性质来处理．对于①，公比为q1；对于②，公比为eq\f(1,q1)；对于③，令an＝2n－1，则数列{3an}为：3,32,34,38，…，因为eq\f(32,3)≠eq\f(34,32)，故不是等比数列；对于④，数列的项可能为零；对于⑤，公比为q1q2.故选C.7．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(B)A．2B．4C．6D．8解析：由{an}是等差数列且a1＝9d，得ak＝a1＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d，又因为ak是a1与a2k的等比中项，则有aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k.即[(k＋8)d]2＝9d×[(2k＋8)d]，整理得k2－2k－8＝0，解之得k1＝4，k2＝－2(舍去)．8．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)(D)A．15次 B．14次C．9次 D．8次解析：容器内的空气剩余量为{an}，则an＝(1－0.6)n＝0.4n，要使容器内剩余空气少于原来的0.1%，则有an<0.1%，即0.4n<0.001＝10－3，两边取对数有nlg0.4<－3，∴n>7.5，又n∈N＋，∴n＝8.二、填空题9．设数列{an}的前n项和为Sn＝3n－c，若数列{an}为等比数列，则c的值为1.解析：∵Sn＝3n－c，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，若{an}为等比数列，则eq\f(an,an－1)＝3＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(2×3,3－c)，得c＝1.10．设{an}是首项大于零的等比数列，且a1<a2<a3，则数列{an}是递增数列(填“递增”“递减”或“摇摆”)．解析：设数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1<a2<a3，所以a1<a1q<a1q2，解得q>1，且a1>0，所以数列{an}是递增数列．11．b既是a和c的等差中项，又是a和c的等比中项，则数列a，b，c的公比为1.解析：∵2b＝a＋c，ac＝b2，∴ac＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝eq\f(a＋c2,4)，∴4ac＝a2＋c2＋2ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a，b，c的公比为1.三、解答题12．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解：∵a1a5＝aeq\o\al(2,3)，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，∴由题意，得aeq\o\al(2,3)－2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，同理得aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝100，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a52＝36，,a3＋a52＝100，))∵an>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8，,a5＝2.))分别解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.13．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))(n≥1，n∈N＋)的前n项和．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为aeq\o\al(2,3)＝9a2a6＝9aeq\o\al(2,4)，所以q2＝eq\f(a\o\al(2,4),a\o\al(2,3))＝eq\f(1,9)，因为an>0，所以q>0，所以q＝eq\f(1,3)，因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝eq\f(1,3)，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝log3(a1·a2·…·an)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1＋2＋3＋…＋n＝－eq\f(nn＋1,2).则eq\f(1,bn)＝eq\f(－2,nn＋1).设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n项和为Sn，则Sn＝－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋…＋\f(1,nn＋1)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝－eq\f(2n,n＋1).——实力提升类——14．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列，且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差数列，则eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)的值是eq\f(34,15).解析：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12y2＝9x×15z，,\f(2,y)＝\f(1,x)＋\f(1,z)，))所以y＝eq\f(2xz,x＋z)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24xz,x＋z)))2＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)＝eq\f(34,15).15．已知数列{an}前n项和Sn＝2n2－3n，数列{bn}是各项为正的等比数列，满意a1＝－b1，b3(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝an·bn，求cn的最大值．解：(1)∵an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2))，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1n＝1,4n－5n≥2))，即an＝4n－5(n∈N＋)，由已知b1＝1，b1q2(a2－a1)＝b1，∴