2024秋新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解分层演练含解析新人教A版必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解分层演练综合提升A级基础巩固1.函数f(x)=x+1x的零点的个数为 (A.0 B.1 C.2 D.3答案:A2.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+loA.12,0 B.-2,0 C.12 答案:D3.函数f(x)=lnx-3x的零点所在的区间是(A.(1,2) B.(1,e)C.(e,3) D.(0,1)答案:C4.若f(x)=x2-x-1,x≥2或x≤-1,5.推断函数f(x)=x12-(12)解:方法1(单调性法)因为y=x12在区间[0,+∞)上单调递增,y=(12)x在R上单调递减,所以f(x)=x12-(12)x在区间[0,+∞)上单调递增.又因为f(0)=-1<0,f(1)=12>0,所以f(x)=x方法2(数形结合法)令f(x)=x12-(12x12=(12)x,在同一平面直角坐标系中作出y=x12和y=(由图象可知两个函数的图象只有一个交点,故函数f(x)=x12-(12)B级实力提升6.若函数f(x)=lnx+x-4有零点的区间为(k,k+1),k∈Z,则k=2.解析:方法1(应用零点存在定理求解)易知函数f(x)=lnx+x-4在定义域内为增函数,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,所以f(2)f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2,3)上有零点.所以k=2.方法2(转化为函数图象交点问题)令y1=4-x,y2=lnx.在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图所示.当x=2时,y1=2,y2=ln2<2,当x=3时,y1=1,y2=ln3>1,所以函数f(x)的零点在区间(2,3)上.故k=2.7.已知a∈R,当x>0时,f(x)=log21x+a.(1)若函数f(x)的图象过点(1,1),求此时函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,求实数a的值.解:(1)因为a∈R,当x>0时,f(x)=log2(1x+a)函数f(x)的图象过点(1,1),所以f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,此时函数f(x)=log2(1x+1)(2)g(x)=f(x)+2log2x=log2(1x+a)+2log2xlog2(x+ax2).因为函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,所以ax2+x=1只有一个解,所以当a=0时,x=1,满意题意;当a≠0时,ax2+x-1=0只有一个根,则Δ=12-4a×(-1)=0,解得a=-14综上所述,a=0或a=-148.已知函数f(x)=a-(1)当a=1时,推断函数f(x)的奇偶性并证明;(2)探讨f(x)的零点个数.解:(1)当a=1时,函数f(x)=-1+2证明如下:依题意,得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=-1+2-x1+-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(2)对f(x)进行化简,得f(x)=a-21+2x,所以f(x)=0等价于a=21+2x.因为函数y=2x在R上单调递增且值域为(0,+∞),所以y=21+2x在R上单调递减且值域为(0,2),所以当a≤0或a≥2时,函数f(C级挑战创新9.多选题已知函数f(x)的图象是连绵不断的曲线,有如下的x,f(x)的对应值表:x123456f(x)-82-3568则函数f(x)肯定存在零点的区间有 ()A.(2,3)和(3,4) B.(3,4)和(5,6)C.(1,2) D.(5,6)解析:由题中表格可知f(1)f(2)<0,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,依据零点存在定理可知函数f(x)在区间(1,2),(2,3),(3,4)上肯定存在零点.答案:AC10.多空题已知函数f(x)=-(1)当m=0时,函数f(x)的零点个数为3;解析:当m=0时,函数f(x)=-当x≤0时,令-x2-2x=0,解得x=0或x=-2;当x>0时,令x-4=0,解得x=4所以当m=0时,函数f(x)有三个零点.(2)假如函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为[