2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦学案新人教B版必修4

PAGEPAGE13．1.2两角和与差的正弦1.了解两角和与差的正弦公式的推导过程．2.理解两角和与差的正弦公式的结构特征．3．会运用公式化简与求值．4.驾驭协助角公式的应用．[学生用书P61])1．两角和与差的正弦公式名称公式简记符号运用条件两角和的正弦sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβSα＋βα、β∈R两角差的正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβSα－βα、β∈R2．协助角公式y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是随意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于随意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()答案：(1)√(2)√(3)×2．sin75°＝________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°·sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).答案：eq\f(\r(6)＋\r(2),4)3．函数y＝sinx＋cosx的最大值为________，最小正周期为________．解析：y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx＋\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以ymax＝eq\r(2)，T＝2π.答案：eq\r(2)2π利用公式求值[学生用书P62]求值：(1)cos105°；(2)eq\f(sin50°－sin20°cos30°,cos20°).【解】(1)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).(2)原式＝eq\f(sin（20°＋30°）－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(cos20°sin30°,cos20°)＝sin30°＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()要留意将非特殊角向特殊角转化，充分拆角、凑角，同时活用、逆用Sα±β公式，大角要利用诱导公式化为小角，同时要特殊留意题目中角的范围．已知eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3π,4)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求sin2α的值．解：因为eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3π,4)，所以0＜α－β＜eq\f(π,4)，π＜α＋β＜eq\f(3π,2).又cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－cos2（α－β）)＝eq\r(1－（\f(12,13)）2)＝eq\f(5,13)，cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2（α＋β）)＝－eq\r(1－（－\f(3,5)）2)＝－eq\f(4,5).所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝eq\f(5,13)×(－eq\f(4,5))＋eq\f(12,13)×(－eq\f(3,5))＝－eq\f(56,65).三角函数的化简[学生用书P62]化简：sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)[sin(2α＋β)－sinβ]．【解】原式＝sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]＝sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＝sin(α＋β)cosα－eq\f(1,2)×2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.eq\a\vs4\al()化简三角函数式的留意事项(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数最少，角的种类最少；(3)使项数最少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含有三角函数．化简：sin(2α＋β)cos(α＋β)－cos(2α＋β)·sin(α＋β)＋sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ.解：原式＝sin[(2α＋β)－(α＋β)]＋sin[(α－β)＋β]＝sinα＋sinα＝2sinα.协助角公式的应用[学生用书P63]若函数f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx，0≤x＜eq\f(π,2).(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的形式；(2)推断f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性，并求f(x)的最大值．【解】(1)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).(2)因为0≤x＜eq\f(π,2)，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减．所以当x＝eq\f(π,3)时，f(x)有最大值2.eq\a\vs4\al()协助角公式及其运用(1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ))将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看详细条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于探讨函数的性质．1.设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝eq\f(\r(6),2)，则a、b、c的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：a＝eq\r(2)sin(14°＋45°)＝eq\r(2)sin59°，b＝eq\r(2)sin(16°＋45°)＝eq\r(2)sin61°，c＝eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(2)sin60°，由y＝sinx在(0°，90°)上的单调性可知a<c<b.答案：a<c<b2．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(eq\r(3)，－1)，求|a－b|的最大、最小值．解：因为a－b＝(cosθ－eq\r(3)，sinθ＋1)，所以|a－b|2＝(a－b)2＝(cosθ－eq\r(3))2＋(sinθ＋1)2＝5＋2(sinθ－eq\r(3)cosθ)＝5＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinθ－\f(\r(3),2)cosθ))＝5＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，所以|a－b|2的最大值为9，最小值为1，所以|a－b|的最大值为3，最小值为1.1．娴熟驾驭公式的正用、逆用及变形应用．2．角的变换仍是本节主要技巧，应敏捷变角．记忆时要与两角和与差的余弦公式区分开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同．1．若M＝cos17°sin13°＋sin17°cos13°，则M的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．以上都不对解析：选A.原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．若M＝sin12°cos57°－cos12°sin57°，N＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°，则以下推断正确的是()A．M＞N B．M＝NC．M＋N＝0 D．MN＝eq\f(1,2)解析：选C.M＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2)，N＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，所以M＋N＝0.3．求值：sin65°cos35°－cos65°sin35°＝________．解析：原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sinαsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－β))＝________．解析：原式＝2sinαcosβ－2sinαcosβ＝0.答案：0,[学生用书P127(单独成册)])[A基础达标]1．sin15°的值为()A．eq\f(\r(6)＋\r(2),4) B．eq\f(\r(2)－\r(6),4)C．eq\f(\r(6)－\r(2),4) D．－eq\f(\r(6)＋\r(2),4)解析：选C.sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°·sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).2．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：选A.原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).3．在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(\r(10),10)，则sinC＝()A．－eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析：选D.因为cosB＝eq\f(\r(10),10)，所以sinB＝eq\f(3\r(10),10)，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(2\r(5),5).4．在△ABC中，若sinAcosB＝1－cosAsinB，则△ABC肯定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.因为sinAcosB＝1－cosAsinB，所以sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1.因为∠A，∠B为三角形的内角，所以∠A＋∠B＝90°，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形．5．若0＜α＜β＜eq\f(π,4)，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则()A．a＞b B．a＜bC．ab＜1 D．ab＞2解析：选B.a＝eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))，b＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4))).f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上是增函数．又0＜α＜β＜eq\f(π,4)，所以f(α)＜f(β)，即a＜b.6．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－eq\r(3)cos(120°－x)＝________．解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－eq\r(3)(cos120°cosx＋sin120°sinx)＝eq\f(3,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(3,2)sinx＝0.答案：07．函数y＝2sinx－cosx的最大值为________．解析：y＝eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))sinx－\f(1,\r(5))cosx))＝eq\r(5)sin(x－θ)，其中cosθ＝eq\f(2,\r(5))，sinθ＝eq\f(1,\r(5))，因此函数y＝2sinx－cosx的最大值是eq\r(5).答案：eq\r(5)8．已知eq\f(π,4)＜β＜eq\f(π,2)，sinβ＝eq\f(2\r(2),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝________．解析：因为β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(1,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝sinβcoseq\f(π,3)＋cosβsineq\f(π,3)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(2)＋\r(3),6).答案：eq\f(2\r(2)＋\r(3),6)9．已知eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．解：因为eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，所以eq\f(π,2)＜eq\f(π,4)＋α＜π，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝eq\f(4,5).因为0＜β＜eq\f(π,4)，所以eq\f(3π,4)＜eq\f(3π,4)＋β＜π，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β)))＝－eq\f(12,13)，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×\f(5,13)))＝eq\f(63,65).10．已知函数f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间．解：(1)因为f(x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)cosx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以T＝2π，f(x)的值域为[－2，2]．(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．[B实力提升]11．已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)解析：选B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosα，sinα－3)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，所以3(sinα＋cosα)＝2，所以3eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))＝2，所以sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),3).12．求值：eq\f(2sin10°－cos20°,sin20°)＝________．解析：原式＝eq\f(2sin（30°－20°）－cos20°,sin20°)＝eq\f(2（sin30°cos20°－cos30°sin20°）－cos20°,sin20°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)co