新高考数学二轮复习强化练习专题15 几何体与球切、接、截的问题（练）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题15几何体与球切、接、截的问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2022秋·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由棱锥与球的体积公式求解，【详解】由题意得正方形SKIPIF1<0的中心SKIPIF1<0即为外接球球心，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故正八面体的体积SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故选：A2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A、B、C、P满足PA＝BC＝5，，，则该足球的表面积为（

）A． B． C． D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R，进而求出结果．【详解】因为PA＝BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：则该足球的表面积为四面体A-BCP外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为a，b，c，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设长方体外接球半径为R，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为：SKIPIF1<0.故选：D．3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）《九章算术·商功》中描述很多特殊几何体，例如“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体，沿对角面分开（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵，沿平面分开（图2），得到一个四棱锥称为阳马（图3），和一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若鳖臑的体积为4，且，则阳马的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合长方体的性质，由鳖臑（即三棱锥）的体积求得SKIPIF1<0，进而求得长方体体对角线SKIPIF1<0，即所求外接球直径，即可求外接球表面积.【详解】由切割过程可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.SKIPIF1<0为长方体体对角线，即为SKIPIF1<0的外接球直径，SKIPIF1<0，∴阳马SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：B4.（2023·广西梧州·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若三棱锥SKIPIF1<0的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用正弦定理求出底面SKIPIF1<0的外接圆半径，将三棱锥SKIPIF1<0补成三棱柱，过底面外接圆中心作垂线，则垂线的中点即为外接球球心，进而即可求解.【详解】在SKIPIF1<0中，设其外接圆半径为r，由正弦定理可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0补成三棱柱，如图设三棱锥SKIPIF1<0外接球半径为R，SKIPIF1<0，所以球O的表面积为SKIPIF1<0故选：D二、填空题5．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求SKIPIF1<0外接圆的半径，再求球SKIPIF1<0的半径，最后求球的体积.【详解】SKIPIF1<0中，根据正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0外接圆的半径为2，又球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知某圆台的上、下底面面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意圆台上下底面的半径分别为1和2，再分析两底面在球心同侧于异侧时两种情况，再设球的半径为R，根据垂径定理列式求解即可.【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示，设球的半径为R，当两底面在球心同侧时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，方程无解；当两底面在球心异侧时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴这个球的表面积是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<07．（2022秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是边长为SKIPIF1<0的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为4．该四棱锥的外接球O的半径为7，若球心O在四棱锥P－ABCD内，则顶点P的轨迹长度为_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】画出图象，判断出SKIPIF1<0点的轨迹，结合勾股定理以及圆的周长公式求得正确答案.【详解】设正方形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，因为四边形ABCD是边长为SKIPIF1<0的正方形，对角线长为SKIPIF1<0，所以该正方形外接圆半径SKIPIF1<0，所以球心O到底面ABCD的距离SKIPIF1<0，又顶点P到底面ABCD的距离为4，点P在与底面ABCD平行的截面圆SKIPIF1<0的圆周上，由球心O在四棱锥P－ABCD内，可得截面圆的半径SKIPIF1<0，故顶点P的轨迹长度为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<08.（2022·上海长宁·统考一模）已知SKIPIF1<0是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥SKIPIF1<0—ABC外接球体积的最小值为___________【答案】SKIPIF1<0【分析】首先根据题意建立SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值.【详解】根据题意作图如下：设底面圆半径为SKIPIF1<0，圆柱高设为SKIPIF1<0，则根据圆柱的侧面积为4π，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0均为直角三角形，根据三棱锥SKIPIF1<0—ABC外接球的性质可知，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0即为球心.则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以外接球的半径SKIPIF1<0.三棱锥SKIPIF1<0—ABC外接球体积为SKIPIF1<0，所以要外接球体积最小，只需要SKIPIF1<0最小即可，又不等式可知SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时成立.故三棱锥SKIPIF1<0—ABC外接球体积的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆台的内切球SKIPIF1<0与圆台侧面相切的切点位于圆台高的SKIPIF1<0处，若圆台的上底面半径为SKIPIF1<0，则球的体积为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】求得圆台的高，也即求得球的直径，进而求得球的半径，从而求得球的体积.【详解】圆台的上底面半径为SKIPIF1<0，由于圆台的内切球SKIPIF1<0与圆台侧面相切的切点位于圆台高的SKIPIF1<0处，根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，所以圆台的高为SKIPIF1<0，也即球的直径为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以球的体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<010．（2022·浙江·模拟预测）棱长分别为SKIPIF1<0的长方体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______，体积为______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，利用体对角线公式求得半径，结合球的表面积和体积公式，即得解.【详解】由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心SKIPIF1<0即为体对角线交点，半径为体对角线的一半，即球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【冲刺提升】一、单选题1．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图，已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是等腰直角三角形，SKIPIF1<0底面ABC，AC＝BC＝2，SKIPIF1<0，点D在上底面SKIPIF1<0（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.【详解】如下图所示：因为SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接球的截面圆心为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.设球心为SKIPIF1<0，由球的截面性质可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，外接球表面积最小为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，外接球表面积最大为SKIPIF1<0.所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为SKIPIF1<0.故选：A2．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，侧面SKIPIF1<0为正三角形，则其外接球体积最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得外接圆半径最大值，再由球的体积公式求解，【详解】设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到底面的距离为SKIPIF1<0，设球心SKIPIF1<0到底面的距离为SKIPIF1<0，而正方形的外接圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即外接球体积最小值为SKIPIF1<0，故选：C二、多选题3．（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）已知正四棱台上､下底面的面积分别为2和8，高为SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．正四棱台外接球的表面积的最小值为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，正四棱台外接球球心在正四棱台下底面下方C．正四棱台外接球的半径随SKIPIF1<0的增大而增大D．当SKIPIF1<0时，正四棱台存在内切球【答案】ABD【分析】首先根据题干得到正四棱台的上下底面的半径,再分别按照SKIPIF1<0选项的内容研究正四棱台的外接球和内切球,即可解决.【详解】设正四棱台上､下底面的外接圆的半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球的半径为SKIPIF1<0，球心为O，因为正四棱台的上､下底面面积分别为2和8，所以上､下底面的边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设球心O到上底面的距离为d，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，外接球半径最小，此时SKIPIF1<0，所以外接球的表面积的最小值为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确.易知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不正确.当SKIPIF1<0时，所以SKIPIF1<0，所以外接球球心在正四棱台下底面下方，故SKIPIF1<0正确.正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形ABCD的内切圆，圆心SKIPIF1<0是上､下底面中心SKIPIF1<0､SKIPIF1<0连线的中点，SKIPIF1<0，设圆的半径为r，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0正确.故选:SKIPIF1<0.4．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为SKIPIF1<0的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为SKIPIF1<0的截角四面体，则下列说法正确的是（

）A．该截角四面体的内切球体积SKIPIF1<0 B．该截角四面体的体积为SKIPIF1<0C．该截角四面体的外接球表面积为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0外接圆的面积为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根据内切球的直径等于正四面体高的SKIPIF1<0可求解A项，利用每个截角体积等于正四面体体积的SKIPIF1<0可求解B项，利用勾股定理求外接球的半径可求解C项，利用勾股定理可确定SKIPIF1<0的斜边长，进而求解D项.【详解】该四面体底面正三角形的高等于SKIPIF1<0，所以四面体的高SKIPIF1<0，由图可知，该截角四面体的内切球的直径等于SKIPIF1<0，所以内切球的体积等于SKIPIF1<0，故A错误；正四面体的体积SKIPIF1<0，所以剪掉一个角的体积等于SKIPIF1<0，所以该截角四面体的体积为SKIPIF1<0,故B正确；取上下底面的中心为SKIPIF1<0,外接球的球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0如图，因为截角四面体上下底面间的距离等于SKIPIF1<0，设外接球的半径等于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为边长等于SKIPIF1<0的正三角形，所以SKIPIF1<0的高等于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因为下底面SKIPIF1<0为正六边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由正四面体对棱互相垂直可知，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圆的面积为SKIPIF1<0，故D正确.故选:BD.5．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（

）．A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值B．在SKIPIF1<0点运动过程中，存在某个位置使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．截面三角形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0D．当三棱锥SKIPIF1<0为正三棱锥时，其内切球半径为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】对于A，证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0上所有点到平面SKIPIF1<0的距离不变，即可判断；对于B，假设SKIPIF1<0平面BQC，从而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可判断；对于C，要使截面三角形SKIPIF1<0面积的最大，只要Q到BC的距离最大，过Q作SKIPIF1<0于F，过F作SKIPIF1<0于G，连接QG，求出SKIPIF1<0的最大值即可；对于D，利用等体积法求解即可.【详解】解：A.SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为定值．连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0上所有点到平面SKIPIF1<0的距离不变，所以三棱锥SKIPIF1<0的高不变，所以SKIPIF1<0为定值，故A正确；B．若SKIPIF1<0平面BQC，SKIPIF1<0平面BQC，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不正确，故B错误；C．因为BC为定值，所以只要Q到BC的距离最长，过Q作SKIPIF1<0于F，过F作SKIPIF1<0于G，连接QG，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要使QG最长，只需QF最长，即Q点在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最长，此时SKIPIF1<0，故C正确，D．当Q在A点时，SKIPIF1<0为正三棱锥，设三棱锥SKIPIF1<0的内切球的半径为SKIPIF1<0，由等体积法SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D错误．故选：AC.6．（2022秋·河北邢台·高三河北南宫中学校考阶段练习）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（

）A．面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0B．线段SKIPIF1<0长度的取值范围为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角始终为SKIPIF1<0D．当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0外接球的外部【答案】AC【分析】利用线面垂直的判定可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，可判断A选项；取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合余弦定理，求得SKIPIF1<0，并判断B选项；利用几何法将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，判断C选项；将几何体还原为长方体，求得外接球半径，进而判断D选项.【详解】A选项：连接SKIPIF1<0，由题意在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故A选项正确；B选项：如图所示，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.又由A选项得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B选项错误；C选项：由B选项得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角即为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C选项正确；D选项：当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由四边形SKIPIF1<0为菱形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外接圆内，又SKIPIF1<0的外接圆在三棱锥SKIPIF1<0外接球的内部，故点SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0外接球的内部，故D选项错误；故选：AC三、填空题7．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知半径为SKIPIF1<0的球O的表面上有A，B，C，D四点，且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的体积最大值为_____________；若M为SKIPIF1<0的中点，当D到平面SKIPIF1<0的距离最大时，SKIPIF1<0的面积为_____________．【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0【分析】第一空，设SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，即可列出体积函数SKIPIF1<0，由导数法求最值.第二空在平面SKIPIF1<0内过点D向SKIPIF1<0作垂线，垂足为H，则D到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，由均值不等式可得SKIPIF1<0最大值，即可得SKIPIF1<0的各边长，从而求得面积.【详解】第一空，设SKIPIF1<0，球心O即为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0．四面体SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（负值舍去），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，V单调递增：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，V单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．第二空，在平面SKIPIF1<0内过点D向SKIPIF1<0作垂线，垂足为H，则D到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.8．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）在正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边的中点，过点SKIPIF1<0作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积SKIPIF1<0，最小的截面面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】将正四面体SKIPIF1<0放置于正方体中，则正方体的外接球就是正四面体的外接球．由外接球的直径等于正方体的对角线长，求出外接球的半径，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值T、最大值S，可得SKIPIF1<0；用等体积法求出正四面体内切球的半径，进而得出其体积SKIPIF1<0，再求出外接球的体积SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0．【详解】将正四面体SKIPIF1<0放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点，设正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则正方体的棱长为SKIPIF1<0，因为外接球的直径等于正方体的对角线长，所以外接球的半径为SKIPIF1<0，E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面，当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为SKIPIF1<0，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值，此时球心O到截面的距离为SKIPIF1<0，可得截面圆的半径为SKIPIF1<0，从而截面面积的最小值为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0；设正四面体内切球的球心为G，半径为SKIPIF1<0，取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上，正四面体的每个面的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四面体的高SKIPIF1<0，故正四面体的体积为SKIPIF1<0，连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，故正四面体内切球的体积SKIPIF1<0，正四面体外接球的半径为SKIPIF1<0，外接球的体积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；27．9．（2022·河南·统考一模）如图，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先证明出SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，判断出三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直线SKIPIF1<0上，设外接球的半径为SKIPIF1<0，利用球的性质列方程求出SKIPIF1<0，即可求出三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积.【详解】在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，所以梯形ABCD为等腰梯形，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0作出其外心SKIPIF1<0如图所示：所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，由球的性质可知，三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直线SKIPIF1<0上.设外接球的半径为SKIPIF1<0，由球的性质可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请写出平面SKIPIF1<0的直角：_____________；若P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为____________.【答案】

SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）

SKIPIF1<0【分析】证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0放入长方体中，计算SKIPIF1<0，得到球的表面积.【详解】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；将SKIPIF1<0放入长方体中，如图所示：外接球的半径为SKIPIF1<0，故表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<011．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知空间四边形SKIPIF1<0的各边长及对角线SKIPIF1<0的长度均为6，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0外接球的半径为______；过点M作四边形SKIPIF1<0外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】空1：根据题意结合球的性质分析可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<