新高考数学二轮复习强化练习专题06 导数与函数的零点问题（练）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题06导数与函数的零点问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，实数SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点的存在性定理即可求解.【详解】因为函数的定义域为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上是单调减函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都为负值，则SKIPIF1<0都大于SKIPIF1<0，故A,D可能成立;当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0都小于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0大于SKIPIF1<0.故B可能成立;综合可得，SKIPIF1<0不可能成立.故选:C.2．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称；且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．则方程SKIPIF1<0所有的根之和为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】根据题意函数为周期为4的周期函数，再根据当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可.【详解】∵SKIPIF1<0为奇函数，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，∴函数SKIPIF1<0为偶函数，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为周期函数，周期为4，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，作函数SKIPIF1<0图象如下方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的解即函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象的交点的横坐标，作函数SKIPIF1<0的图象，∴方程SKIPIF1<0的所有实根之和为SKIPIF1<0.故选：A．3．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）有两个零点，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程SKIPIF1<0有2个不同的解，构造函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用导数研究函数SKIPIF1<0的性质可得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象在SKIPIF1<0上有2个交点，利用导数求出SKIPIF1<0，即可求解.【详解】函数SKIPIF1<0有2个零点，则方程SKIPIF1<0有2个不同的解，方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象在SKIPIF1<0上有2个交点.设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.4．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学模拟预测（理））已知SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有三个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，再画出函数图象，结合函数图象求解即可.【详解】由题意，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，易知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极大值，极大值SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极大值，极大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，画出函数SKIPIF1<0的大致图象与直线SKIPIF1<0如图所示，则由图像可得，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有三个交点，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：A5．（2022·青海·海东市教育研究室高二期末（文））已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由参变量分离法可知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，令SKIPIF1<0，利用导数求出函数SKIPIF1<0的最小值，即为实数SKIPIF1<0的最小值.【详解】函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，等价于关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.6．（2022·山东德州·高三期中）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴有4个不同的交点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴有4个不同的交点，转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有4个不同的交点，画出二者函数图像，求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0恰有3个交点的临界直线的斜率，即可求SKIPIF1<0的取值范围.【详解】因为SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴有4个不同的交点，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有4个不同的交点，作出二者图像如下图：易知直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，斜率为a，当直线与SKIPIF1<0相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线为SKIPIF1<0，此时有三个交点；当直线过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时有四个交点；综上所述：SKIPIF1<0，故选：A.7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程SKIPIF1<0恰有三个不同的零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据解析式研究SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的函数性质，由SKIPIF1<0零点个数知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点横坐标一个在SKIPIF1<0上，另一个在SKIPIF1<0上，数形结合可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.【详解】由SKIPIF1<0解析式，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0单调递增且值域为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0单调递增且值域为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0图象如下：所以，SKIPIF1<0的值域在SKIPIF1<0上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在SKIPIF1<0上任意函数值都有一个x值与之对应，要使SKIPIF1<0恰有三个不同的零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点横坐标一个在SKIPIF1<0上，另一个在SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0开口向下且对称轴为SKIPIF1<0，由上图知：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0图象及SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减；所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0.故选：A二、多选题8．（2022·福建·泉州五中高三期中）SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两个解C．SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有且只有一个解【答案】CD【分析】首先根据条件求出SKIPIF1<0的表达式,再求导，分析SKIPIF1<0的图像，结合图像即求解.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A错；令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为任意常数.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取最大值SKIPIF1<0.作SKIPIF1<0图如下：则方程SKIPIF1<0有两个解，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像有两个交点，SKIPIF1<0,则B错误；由上图可知，SKIPIF1<0，C正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像有一个交点，符合题意，D正确.故选：CD三、填空题9．（江西省九江市十校2023届高三上学期11月联考数学（文）试题）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】通过分离参数得，研究函数的单调性，极值点，零点，从而得到其大致图像，则得到的范围，解出即可.【详解】当时，此时，显然无零点.当时，得，令，，分别令，，前者解得，，后者解得或，故在，递减，递增.故的极小值为，极大值为，令，显然分母，则分子，，则有唯一零点0，作出大致图像如图所示：所以，解得实数的取值范围是.故答案为：.10．（2022·北京十四中高三期中）已知函数.①若，则函数的零点有______个；②若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.【答案】

2

【分析】空1：通过分类讨论解方程判断零点个数；空2：根据题意可得与有3个交点，在同一坐标系作出与的图象，分类讨论结合图象分析求解.【详解】空1：若，则函数，令，则有：当时，，解得或或（舍去）；当时，，解得（舍去）；故函数的零点为，共2个.空2：对于函数，则，令，则∴在上单调递增，在上单调递减，且，令，则，由题意可得：与有3个交点，如图，在同一坐标系作出与的图象，则有：当时，存在，使得与有3个交点，即成立；当时，与至多有2个交点，即不成立；当时，存在，使得与有3个交点，即成立；当时，与至多有2个交点，即不成立；故实数的取值范围是.故答案为：2；.【冲刺提升】一、单选题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数为（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本题首先通过函数奇偶性求出SKIPIF1<0，再利用导数研究其在SKIPIF1<0上的零点个数即可.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称，故SKIPIF1<0为奇函数，所以我们求出SKIPIF1<0时零点个数即可，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有1零点，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1零点，图像大致如图所示：故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在SKIPIF1<0上也有2个零点，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共5个零点，故选：D.2．（2022·福建·福州三中模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的零点，SKIPIF1<0，下列结论中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．a的取值范围是SKIPIF1<0【答案】C【分析】作图，将SKIPIF1<0看作函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的交点，根据函数的单调性逐项分析即可求解.【详解】SKIPIF1<0可以看作函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的作差组成，作图如下：对于A，由草图可知：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减，故存在唯一的交点SKIPIF1<0，考虑：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；对于B，有SKIPIF1<0，两边取对数得：SKIPIF1<0，由条件SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，B正确；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0没有零点，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C错误；对于D，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时存在唯一零点，若SKIPIF1<0存在3个零点，必有SKIPIF1<0，考虑当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0必有2个解，两边取自然对数得SKIPIF1<0，构造函数：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时必有2个零点，求导：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，SKIPIF1<0有2个零点的充分必要条件是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0，D正确；故选：C.3．（2022·天津·高三期中）已知定义在R上的函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有2个零点，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】把函数SKIPIF1<0恰有2个零点转化为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有两个交点.利用图像法解.【详解】因为函数SKIPIF1<0恰有2个零点，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有两个交点.作出函数SKIPIF1<0的图像如图所示：因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交，所以只需SKIPIF1<0和SKIPIF1<0再有一个交点.SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，则有SKIPIF1<0的判别式SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，则有SKIPIF1<0的判别式SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，设切点为SKIPIF1<0.则有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以要使函数SKIPIF1<0恰有2个零点，只需SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D二、多选题4．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0有两个极值点 B．SKIPIF1<0有三个零点C．点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称中心 D．直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线【答案】AD【分析】利用极值点的定义可判断A，结合SKIPIF1<0的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0是极值点，故A正确；因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点，综上所述，函数SKIPIF1<0有一个零点，故B错误；令SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对称中心，将SKIPIF1<0的图象向上移动一个单位得到SKIPIF1<0的图象，所以点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称中心，故C错误；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当切点为SKIPIF1<0时，切线方程为SKIPIF1<0，当切点为SKIPIF1<0时，切线方程为SKIPIF1<0，故D正确.故选：AD.5．（2022·广东·普宁市华侨中学高三期中）关于函数，，下列说法正确的是（

）A．当时，在处的切线方程为B．当时，存在唯一极小值点且C．对任意，在上均存在零点D．存在，在上有且只有一个零点【答案】ABD【分析】对于A选项，直接求出切线斜率利用点斜式写出方程即可判断正误.对于B选项，利用二次求导得单调性，再利用零点存在性定理确定出所在区间.对于C，D选项，转化为对于与图像交点情况的判断.【详解】对于A选项，当时，，x，故，切点为(0，1).又，.则切线方程为，即，故A正确;对于B选项，时，，令，则.当时，因，则.当时，，故在(-π，+∞)上单调递增，注意到，，有，又=>0，故在(-π，+∞)上有唯一零点，结合在(-π，+∞)上单调递增得f(x)存在唯一极小值点，且，则，得+，则，又因则，得，故B正确.对于C选项，，，令，则，当且时，显然没有实根，故且则，令，有，令，得且，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，的极小值为h=≥，的极大值为h=-≤-，故当时，与的图像没有交点，即在上没有零点，故C错误;对于D选项，由C选项分析可知，存在，使得在上有且只有一个零点，此时，故D正确，故选：ABD.三、填空题6．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）设定义在上的函数满足，且，函数有且只有一个零点，则的取值范围为______【答案】【分析】根据已知等式，结合导数的运算公式、函数零点的定义，利用导数的性质、转化法进行求解即可.【详解】，设函数，即，所以，因为，所以，即，即，于是有，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递增，当时，，当时，，函数图象如下图所示：函数有且只有一个零点，即方程有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点，如上图所示：所以，因此的取值范围为，故答案为：7．（2022·北京·汇文中学高三期中）已知函数，给出下列四个结论：①函数是奇函数；

②函数在和上都单调；③当时，函数恒成立；

④当时，函数有一个零点.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】③④【分析】由奇偶性的定义可判断①；结合导数可判断函数的单调性，进而可判断②；结合函数的单调性可求当时函数的最小值，比较最小值与0的大小关系即可判断③；由，结合函数的零点存在定理可判断④.【详解】由题得，的定义域为，①，且，所以不是奇函数，故①错误；②，当时，，则，令，则，，所以存在，使得，所以当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数，所以②错误；③由②可知，当时，在上有最小值，且，所以，因为，由，则，即，所以，所以当时，恒成立，故③正确；④当时，，，令，则令，解得，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，，则，所以在上单调递减，由，，所以在内有一个零点，故④正确.故答案为：③④四、解答题8．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））已知函数．(1)求的单调区间；(2)若关于x的方程在上有实数根，求实数a的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减.(2)【分析】（1）由导函数的正负，确定原函数的单调区间.（2）方程在区间上有实数根，转化为对应的函数在区间上有零点，利用导数研究单调性即可.【详解】（1）函数，定义域为，，，解得，，解得，在上单调递增，在上单调递减.（2）在上有实数根，即在上有实数根，设，则，，解得，，解得，在上单调递增，在上单调递减，，，，在上最大值为，最小值为，在上有实数根，有，解得，实数a的取值范围为9．（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试）已知函数，.(1)若直线与曲线和都相切，求实数的值；(2)设函数，若函数在上有三个不同的零点，，，且，求证：，.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据切线的方程及导数的几何意义，列出方程求解即可；（2）分析的正负及单调性、变换趋势，确定的零点所在区域及，由为在上的两个零点，再由零点的分布确定求的和.【详解】（1），,令，得，所以直线与曲线相切于点，得，设直线与曲线相切于点，则且，所以，，（2）由题意得，在上有唯一零点1，当时，，由二次函数的性质可得到，必然存在使得，故，因为，所以存在，使得，所以在上至少有一个零点，在上至多有两个零点，因为在上有三个不同的零点，所以1为的零点，不是的零点，进而，即，因为当时，，所以在上无零