新高考数学二轮复习强化练习专题06 导数与函数的零点问题（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题06导数与函数的零点问题（讲）真题体验感悟高考1．（2021·北京·高考真题）已知函数SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2个零点；②存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1个零点；③存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点；④存在正数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①正确；对于②，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0只有一个零点，②正确；对于③，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个交点，若函数SKIPIF1<0有三个零点，则直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个交点，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有一个交点，所以，SKIPIF1<0，此不等式无解，因此，不存在SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0有三个零点，③错误；对于④，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数SKIPIF1<0.证明：（1）SKIPIF1<0存在唯一的极值点；（2）SKIPIF1<0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）先对函数SKIPIF1<0求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，进而可得判断函数SKIPIF1<0的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内存在唯一实根，记作SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0，即可结合题意，说明结论成立.【详解】（1）由题意可得，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0单调递增；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故存在唯一SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；因此，SKIPIF1<0存在唯一的极值点；（2）由（1）知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内存在唯一实根，记作SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的唯一实根；综上，SKIPIF1<0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型.3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0（1）求函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）若对任意SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当SKIPIF1<0时，证明：对任意SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(注：SKIPIF1<0是自然对数的底数)【答案】(1)SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0时，函数的单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；②若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增.综上可得，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0时，函数的单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0有2个不同零点SKIPIF1<0有2个不同解SKIPIF1<0有2个不同的解，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.(3)[方法一]【最优解】：SKIPIF1<0有2个不同零点，则SKIPIF1<0，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为SKIPIF1<0，较小者为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，注意到函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且关于SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时为正，由于SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时为正，从而题中的不等式得证.[方法二]：分析+放缩法SKIPIF1<0有2个不同零点SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．且SKIPIF1<0．要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以只需证SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以只需证SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，原命题得证．[方法三]：若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由（Ⅱ）知SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故进一步有SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故只需证SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增，故只需证SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，注意SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，故不等式成立．【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，方法一：直接分析零点SKIPIF1<0，将要证明的不等式消元，代换为关于SKIPIF1<0的函数，再利用零点反代法，换为关于SKIPIF1<0的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为SKIPIF1<0与0比较大小，代入函数放缩得到结论.总结规律预测考向（一）规律与预测1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一函数零点个数的判断与证明【核心知识】解函数零点问题的一般思路(1)对函数求导．(2)分析函数的单调性，极值情况．(3)结合函数性质画函数的草图．(4)依据函数草图确定函数零点情况．【典例分析】典例1.（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0的解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据给定条件，构造函数SKIPIF1<0，探讨函数单调性，借助零点存在性定理判断作答.【详解】令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，而SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点，所以函数SKIPIF1<0的零点个数为2，即方程SKIPIF1<0的解的个数是2.故选：C典例2.（2022·吉林长春·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的值域；(2)讨论函数SKIPIF1<0的零点个数．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【分析】（1）利用导数求得SKIPIF1<0的单调区间，进而求得SKIPIF1<0的值域.（2）利用多次求导的方法，结合对SKIPIF1<0进行分类讨论，由此求得SKIPIF1<0零点的个数.【详解】（1）由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0减极小值增SKIPIF1<0，SKIPIF1<0无最大值．即SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．当SKIPIF1<0时，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，即此时SKIPIF1<0有唯一零点．当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，①当k＝1时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有唯一零点．②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在一个零点，此时SKIPIF1<0共有2个零点．③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在一个零点，此时SKIPIF1<0共有2个零点．综上，当SKIPIF1<0或k＝1时，SKIPIF1<0有唯一零点．当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有2个零点．典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导数．证明：（1）SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0存在唯一极大值点；（2）SKIPIF1<0有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在SKIPIF1<0上单调递减，根据零点存在定理可判断出SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，进而得到导函数在SKIPIF1<0上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的唯一零点；当SKIPIF1<0时，首先可判断出在SKIPIF1<0上无零点，再利用零点存在定理得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，可知SKIPIF1<0，不存在零点；当SKIPIF1<0时，利用零点存在定理和SKIPIF1<0单调性可判断出存在唯一一个零点；当SKIPIF1<0，可证得SKIPIF1<0；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：SKIPIF1<0定义域为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0上单调递减则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0唯一的极大值点即：SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在唯一的极大值点SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，由（1）可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增SKIPIF1<0

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减又SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的唯一零点②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减又SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，此时SKIPIF1<0，不存在零点又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，此时不存在零点③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不存在零点综上所述：SKIPIF1<0有且仅有SKIPIF1<0个零点【规律方法】1.利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数.2.常用方法：（1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．考向二根据函数零点的情况求参数取值范围【核心知识】利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.【典例分析】典例4.（2022·青海玉树·高二期末（理））已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间与极值；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，求实数SKIPIF1<0的取值范围．参考数据：SKIPIF1<0【答案】(1)答案见解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）当SKIPIF1<0时，利用导数分析函数SKIPIF1<0的单调性，可得出函数SKIPIF1<0的单调区间与极值；（2）分析可知SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，利用导数分析函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，数形结合可得出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】（1）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增极大值减极小值增所以，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0，极大值为SKIPIF1<0，即小值为SKIPIF1<0.（2）解：由题意可知，关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，即关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象如下图所示：由图可知，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象有两个交点.因此，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.典例5.（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的极值；(2)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)极小值为SKIPIF1<0，无极大值(2)SKIPIF1<0【分析】（1）当SKIPIF1<0时，对SKIPIF1<0求导，得出SKIPIF1<0的单调性，即可求出SKIPIF1<0的极值；（2）方法一：分类讨论SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0的单调性，利用单调性列出不等式即可求出实数a的取值范围；方法二：分离参数，构造新函数，研究SKIPIF1<0的单调性，求出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的值域，进而求出实数a的取值范围.【详解】（1）由函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，无极大值．（2）方法一：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，要使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有零点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，此时SKIPIF1<0，所以需SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，不符合条件．综上可知，a的取值范围为SKIPIF1<0．方法二：令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．典例6.（2022·辽宁·高三期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当a＝1时，若函数SKIPIF1<0有两个零点，求实数t的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0讨论求解即可；（2）由题意可知关于x的方程SKIPIF1<0有两个不同的实根，进而SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0有两个不同的实根，则需SKIPIF1<0有两个不同的实根．令SKIPIF1<0，利用导数法研究SKIPIF1<0的零点即可【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．综上可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以关于x的方程SKIPIF1<0有两个不同的实根，即关于x的方程SKIPIF1<0有两个不同的实根．因为x＞0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．要使SKIPIF1<0有两个不同的实根，则需SKIPIF1<0有两个不同的实根．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0．当t＜1时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0没有零点；当t＝1时，SKIPIF1<0，当且仅当x＝1时，等号成立，SKIPIF1<0只有一个零点；当t＞1时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点，在SKIPIF1<0上有一个零点，符合条件．综上，实数t的取值范围是SKIPIF1<0．【总结提升】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解考向三与零点相关的不等式恒成立或证明问题【核心知识】1.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.【典例分析】典例7.（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有3个不同的实根SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】对SKIPIF1<0求导，研究函数SKIPIF1<0的单调性、极值等性质，利用SKIPIF1<0的图象求得SKIPIF1<0的范围，以及SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，将问题转化为关于SKIPIF1<0的函数的值域的问题进行求解即可．【详解】因为SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增．则SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，根据以上信息，作出SKIPIF1<0的大致图象如图所示：由图可知，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有3个交点时，方程SKIPIF1<0有3个不同的实根，则SKIPIF1<0，因为方程SKIPIF1<0的3个不同的实根为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：A．典例8.【多选题】（2022·山东·青岛二中高三期中）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0有四个不同的零点：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,则以下结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】设SKIPIF1<0，利用导数分析函数SKIPIF1<0的单调性与极值，数形结合可判断B的正误；分析可知SKIPIF1<0，结合基本不等式可判断A的正误；构造函数SKIPIF1<0，利用导数分析函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，可判断CD的正误.【详解】设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，所以，函数SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大致图象，由图可知，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有四个交点，B对；因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，A对；令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C错D对.故选：ABD.典例9.（贵州省六盘水市2021-2022学年高二下期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0有两个不相同的零点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数；SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数导数，对SKIPIF1<0分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性即可得解；（2）由函数的单调性可确定函数零点在SKIPIF1<0两侧，要证原不等式可转化为证SKIPIF1<0，再由函数的单调性转化为证SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用导数即可得证.【详解】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数.综上，SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数；SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数.（2）由（1）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，至多有1个零点，不符合题意；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0为函数的极小值，函数有两个零点则SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以只要证SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立，从而SKIPIF1<0成立.典例10.（辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期11月份联合考试数学试题）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个零点，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，然后分类讨论即可求解；（2）先利用导数法可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0上的增函数，从而可知SKIPIF1<0，由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由此即可求证【详解】（1）SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时．议SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0符号相同，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有两个不等正根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0随x的变化情况如下表：xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，没有减区间；当SKIPIF1<0吋，SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<