新高考数学二轮复习强化练习思想02 分类与整合思想（讲）（解析版）

第三篇思想方法篇思想02分类与整合思想（讲）考向速览方法技巧典例分析一.分类整合思想的含义：分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．二.分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．三.分类方法与原则1.简化分类讨论的策略:分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略.(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则是:(1)不重不漏，科学地划分(2)标准要统一，层次要分明，分清主次,不越级讨论.(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论.3.解题时把好“四关”：(1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”;(2)要找准划分标准,把好“分类关”;(3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”;(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.四.高考以解答题的方式考查分类与整合思想，主要是函数导数解答题、数列题和解析几何解答题等.01由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【核心提示】1.有许多核心的数学概念是分类的,由数学概念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等.2.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.3.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.【典例分析】典例1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】结合对数函数、导数的知识确定正确答案.【详解】（1）比较a，b的大小：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）比较b，c的大小：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）比较a，c大小：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】比较对数式的大小，结合的是对数函数的单调性，此时要注意对数函数SKIPIF1<0的底数SKIPIF1<0的取值范围对单调性的影响.比较对数式和实数的大小，可考虑分段法或构造函数法来进行求解.典例2.（2022·全国·模拟预测）设正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，SKIPIF1<0．若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值为(

)A．1180 B．1179 C．2020 D．2021【答案】A【解析】【分析】利用通项公式SKIPIF1<0和前n项和SKIPIF1<0之间的关系求出SKIPIF1<0数列的通项公式，再根据n的取值讨论SKIPIF1<0并判断SKIPIF1<0即可.【详解】SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，由①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：A．典例3.（2021·全国·高考真题）函数SKIPIF1<0的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并结合导数研究的单调性，即可求SKIPIF1<0最小值.【详解】由题设知：SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递增；又SKIPIF1<0在各分段的界点处连续，∴综上有：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；∴SKIPIF1<0故答案为：1.典例4.（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，都满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0均成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__．【答案】SKIPIF1<0【分析】已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前SKIPIF1<0项和公式求出等比数列的公比，即可得SKIPIF1<0，最后利用对勾函数的性质可求出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由题意得公比SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，若SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0足够大时，SKIPIF1<0，不合题意，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则原式化为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0恒成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0..02由图形位置或形状引起的分类讨论【核心提示】1.一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.3.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【典例分析】典例5.【多选题】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0C．沿长方体的表面从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<0D．沿长方体的表面从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】利用体积相等求出点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离即可判断选项SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中SKIPIF1<0的长度，比较三个值的大小后即可得到结论，进而判断SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【详解】如图，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由体积相等可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确；选项SKIPIF1<0错误；长方体SKIPIF1<0的表面可能有三种不同的方法展开，如图所示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，表面展开后，依第一个图形展开，则SKIPIF1<0；依第二个图形展开，则SKIPIF1<0；依第三个图形展开，则SKIPIF1<0；三者比较得：SKIPIF1<0点沿长方形表面到SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确，选项SKIPIF1<0错误，故选：SKIPIF1<0.典例6.2022·浙江·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0左支上的一点，且点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长最小为_________，此时其面积为___________．【答案】

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SKIPIF1<0【解析】【分析】作出图形，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线可求得SKIPIF1<0周长的最小值；求得直线SKIPIF1<0的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点SKIPIF1<0的坐标，由此可求得SKIPIF1<0的面积.【详解】设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，由双曲线方程SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.当点SKIPIF1<0在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为定值，所以当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0的周长最小．由图可知，此时点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与双曲线的交点，则SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．由题意可知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.典例7.（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）设点SKIPIF1<0是棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0表面上的动点,点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心,则下列结论中所有正确结论的编号有______________．①当点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内运动时,三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值SKIPIF1<0;②当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动时,异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0;③当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动时,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;④当点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内运动时,若SKIPIF1<0到棱SKIPIF1<0的距离等于它到棱SKIPIF1<0的距离,则点SKIPIF1<0的轨迹为抛物线的一部分.【答案】①③④【分析】对于①,根据点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离即为点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0即可判断;对于②,异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角即为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角,转化为在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角即可判断;对于③,根据SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心和正方体的性质,证明得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即可得到结论;对于④,点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内运动时,根据SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0到棱SKIPIF1<0的距离等于SKIPIF1<0的距离,结合抛物线定义即可判断;【详解】对于①,当点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内运动时,点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离即为点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故①正确;对于②,如图:点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动时,因为SKIPIF1<0,所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角即为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为等边三角形,当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的中点时,SKIPIF1<0,即直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0向两个端点运动时,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角越来越小,当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0或点SKIPIF1<0重合时,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0,即异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0,故②错误;对于③,如图:SKIPIF1<0SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故③正确;对于④,点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内运动时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0到棱SKIPIF1<0的距离等于SKIPIF1<0的距离,SKIPIF1<0SKIPIF1<0到棱SKIPIF1<0的距离等于它到棱SKIPIF1<0的距离即为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到棱SKIPIF1<0的距离,根据抛物线的定义,又点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内运动,SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹为抛物线的一部分.故答案为:①③④.典例8.（2021·江苏如皋·高三阶段练习）过抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线C上一动点，抛物线的方程为______；SKIPIF1<0的最小值为______.【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0.【解析】【分析】设直线方程并联立抛物线方程求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，应用弦长公式列方程求SKIPIF1<0，即可得抛物线方程，由SKIPIF1<0的几何意义，将问题转化为SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离最小，应用点线距离公式求最小值即可.【详解】由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立抛物线可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故抛物线方程SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0上点到直线SKIPIF1<0与y轴距离之和，如上图，SKIPIF1<0，要使目标式最小，只需SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离最小，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：1；SKIPIF1<003由变量或参数引起的分类讨论【核心提示】含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.【典例分析】典例9.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极大值点，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到SKIPIF1<0所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为单调函数，无极值点，不符合题意，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两个不同零点，且在SKIPIF1<0左右附近是不变号，在SKIPIF1<0左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左右附近都是小于零的.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0成立.故选：D典例10.（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0.若对于任意正整数n，均有SKIPIF1<0恒成立，求m的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）当SKIPIF1<0时，求出SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，检验后得到答案；（2）利用错位相减法得到SKIPIF1<0，不等式转化为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，作差法得到SKIPIF1<0的单调性，从而得到SKIPIF1<0的最大值，得到m的最小值.【详解】（1）取SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；当n＝1时，SKIPIF1<0也适合上式.综上，SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.由题意对于任意正整数n，均有SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立.设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即m的最小值是SKIPIF1<0.典例11.（2023·山西临汾·统考一模）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆SKIPIF1<0与矩形的四边都相切且焦距为SKIPIF1<0，__________.①SKIPIF1<0为等差数列；②SKIPIF1<0为等比数列.(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；(2)（1）中所求SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为椭圆的右顶点，直线SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，求以SKIPIF1<0为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【分析】(1)周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆SKIPIF1<0与矩形的四边都相切，可得SKIPIF1<0，若选①，结合SKIPIF1<0为等差数列与SKIPIF1<0，联立解方程组可求得；若选②，则SKIPIF1<0为等比数列与已知条件列方程组即可解得.(2)分直线斜率存在或斜率不存在两种情况分类讨论，直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，根据对称性即可求得SKIPIF1<0点的坐标，代入SKIPIF1<0的方程求得SKIPIF1<0点的坐标，即可写出圆的方程，并求出定点坐标；当直线斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0与椭圆方程联立，韦达定理写出两根之和，两根之积，同理求出四个点的坐标，写出以SKIPIF1<0为直径的圆的标准方程，化简求定点.【详解】（1）选①，由题意SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的标椎方程为SKIPIF1<0.选②，由题意SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的标椎方程为SKIPIF1<0.（2）①当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，则SKIPIF1<