新高考数学二轮复习强化练习思想01 函数与方程思想（讲）（解析版）

第三篇思想方法篇思想01函数与方程思想（讲）考向速览方法技巧典例分析1.函数与方程思想的含义(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系.方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.2.高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查,特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、平面向量、立体几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.3.常见方法：（1）运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．（2）利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．（3）构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.01函数与方程思想在方程、不等式中的应用【核心提示】1.函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2.含参不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恒成立问题与转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：①灵活转化：（1）“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立”转化为“SKIPIF1<0”；“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立”转化为“SKIPIF1<0”；（2）“关于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”转化为“SKIPIF1<0”；“关于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”转化为“SKIPIF1<0”；②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域；③得出结论，列出参数SKIPIF1<0所满足的方程，通过解方程，求出SKIPIF1<0的值．【典例分析】典例1.（2022·浙江·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】将问题转换为SKIPIF1<0，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的图像恒在SKIPIF1<0的上方（可重合），如下图所示：由图可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．典例2.（2022·全国·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知SKIPIF1<0，再利用基本不等式，换底公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0.［方法二］：【最优解】（构造函数）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．根据SKIPIF1<0的形式构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用SKIPIF1<0的形式构造函数SKIPIF1<0，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．典例3.【多选题】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】对于选项A，运用指数函数、对数函数单调性比较即可；对于选项B，构造函数运用函数的单调性比较即可；对于选项C，作差后运用基本不等式判断；对于选项D，寻找中介值比较即可.【详解】对于选项A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项A错误；对于选项B，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选项B正确；对于选项C，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.故选项C正确；对于选项D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选项D正确.故选：BCD.02函数与方程思想在数列中的应用【核心提示】数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.【典例分析】典例4.（2022·全国·高二课时练习）设数列SKIPIF1<0为等差数列，其前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的值是（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【解析】【分析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，根据等差数列通项公式列出方程，求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，进而求出等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，再根据二次函数的性质，即可求出结果.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值．∵对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，∴SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的最大值，∴SKIPIF1<0．故选：B.典例5.（2023·河南·校联考模拟预测）记正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.若不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0写出SKIPIF1<0的式子，通过两式相减化简得出SKIPIF1<0，再利用不等式恒成立问题，得出SKIPIF1<0，进而分析右侧式子的最值，即可求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0①，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②.①-②，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0是正项数列，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0式，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，所以SKIPIF1<0单调递减，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，且为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.典例6.（2021·全国·统考高考真题）设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和．证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出SKIPIF1<0，再作差比较即可.【详解】（1）因为SKIPIF1<0是首项为1的等比数列且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，

⑧则SKIPIF1<0．

⑨由⑧-⑨得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，通过等式左右两边系数比对易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，下同方法二．[方法四]：导函数法设SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得SKIPIF1<0,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.03函数与方程思想在解析几何中的应用【核心提示】1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．【典例分析】典例7.（2021·全国·统考高考真题）设B是椭圆SKIPIF1<0的上顶点，点P在C上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】设点SKIPIF1<0，由依题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据两点间的距离公式得到SKIPIF1<0，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：A．典例8.（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称②卵圆上不存在两点关于直线SKIPIF1<0对称③线段SKIPIF1<0长度的取值范围是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0【答案】①③④【分析】利用点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均满足方程，即可判断①；设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在卵圆SKIPIF1<0上，再解SKIPIF1<0即可判断②；利用两点间的距离公式表示SKIPIF1<0，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出SKIPIF1<0，然后利用导数研究其最值，即可判断④.【详解】对于①，设SKIPIF1<0是卵圆SKIPIF1<0上的任意一个点，因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0也在卵圆SKIPIF1<0上，又点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以卵圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，故①正确；对于②，设SKIPIF1<0在卵圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0也在卵圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以卵圆上存在SKIPIF1<0两点关于直线SKIPIF1<0对称，故②错误；对于③，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正确；对于④，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的面积取得最大值SKIPIF1<0，故④正确.故答案为：①③④.典例9.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两条切线，SKIPIF1<0是切点，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于SKIPIF1<0的等式，即可解出SKIPIF1<0的值；（2）设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用导数求出直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，进一步可求得直线SKIPIF1<0的方程，将直线SKIPIF1<0的方程与抛物线的方程联立，求出SKIPIF1<0以及点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得SKIPIF1<0面积的最大值.【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，SKIPIF1<0，设圆M上的点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．从而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对该函数求导得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可知，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0为这两条直线的公共点，则SKIPIF1<0，所以，点A、SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积取最大值SKIPIF1<0.[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到SKIPIF1<0．过P作y轴的平行线交SKIPIF1<0于Q，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．P点在圆M上，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的面积最大，最大值为SKIPIF1<0．[方法三]：直接设直线AB方程法设切点A，B的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0和抛物线C的方程得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．判别式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．抛物线C的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．联立方程SKIPIF1<0可得点P的坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．将点P的坐标代入圆M的方程，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．由弦长公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得SKIPIF1<0关于圆M上的点SKIPIF1<0的坐标的表达式，进一步转化为关于SKIPIF1<0的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得SKIPIF1<0的值；方法二，利用圆的性质，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用弦长公式求得SKIPIF1<0的长，进而得到面积关于SKIPIF1<0坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于SKIPIF1<0的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过P作y轴的平行线交SKIPIF1<0于Q，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0求得面积关于SKIPIF1<0坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．利用点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，求得SKIPIF1<0的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标SKIPIF1<0，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于SKIPIF1<0的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；04函数与方程思想在立体几何中的应用【核心提示】立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．【典例分析】典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为SKIPIF1<0，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为SKIPIF1<0又设四棱锥的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为SKIPIF1<0，底面所在圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以该四棱锥的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高SKIPIF1<0.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为SKIPIF1<0，底面所在圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以该四棱锥的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．典例11.（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设正四棱锥的高为SKIPIF1<0，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为SKIPIF1<0，所以球的半径SKIPIF1<0,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，正四棱锥的体积SKIPIF1<0取最大值，最大值为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，球心在正四棱锥高线上，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四棱锥体积SKIPIF1<0，故该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0典例12.（2023·河南·校联考模拟预测）在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若四面体ABCD的体积为SKIPIF1<0，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】证明四面体ABCD外接球的球心O是AD的中点，连接OB，OC，设SKIPIF1<0的中心H．连接OH，AH，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据四面体的体积得到SKIPIF1<0，设四面体ABCD外接球O的半径为R，求出SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再利用导数求SKIPIF1<0的最值即得解.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知，四面体ABCD外接球的球心O是AD的中点，连接OB，OC，则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0的外接圆的圆心为SKIPIF1<0的中心H．连接OH，AH，则SKIPIF1<0平面ABC．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点D到平面ABC的距离为2h，所以四面体ABCD的体积为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设四面体ABCD外接球O的半径为R，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，即最小值，所以当SKIPIF1<0时，R取得最小值，为SKIPIF1<0，所以四面体ABCD外接球O的表面积的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是能准确求出四面体ABCD外接球的表面积的解析式，其二是能利用导数求解函数的最值.05函数与方程思想在平面向量中的应用【核心提示】1.平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)；②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题；③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．2.平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．【典例分析】典例13.（2022·北京·统考高考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故选：D典例14.【多选题】（2023·全国·模拟预测）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．设Z为线段AK上任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】AD【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的条件及向量相等的条件，结合向量的坐标运算及二次函数的性质即可求解.【详解】以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.A选项：易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A正确.B选项：易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B错误.C选项：由选项A，B知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以C错误.D选项：易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值40.所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，所以D正确.故选：AD.典例15.（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形SKIPIF1<0中，P是对角线SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，若点M为线段SKIPIF1<0（含端点）上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的坐标，根据数量积的坐标运算，求得SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0坐标，继而求得SKIPIF1<0的表达式，结合二次函数性质求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】如图，以A为原点，SKIPIF1<0所在直线为x轴，SKIPIF1<0所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵P是对角线SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；因为点M为线段SKIPIF1<0（含端点）上的动点，则设SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.06函数与方程思想在概率统计中的应用【核心提示】利用概率知识解决实际问题，尤其是生产和经营问题，其实与一般的应用题在本质上没有什么不同，只是因为个别因素由确定变量变成不确定变量，从而导致结果的不确定性，所以才需要作决策优化，抛开概率的烟雾弹，其实题目反映的都是最简单的公式（比如利润=收入—成本），所以面对复杂题目要学会审题，还是要回归常识.【典例分析】典例16.（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为SKIPIF1<0.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为SKIPIF1<0，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】BC【分析】确定SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为SKIPIF1<0，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得SKIPIF1<0，判断D.【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A错误，B正确；对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为SKIPIF1<0，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，C正确；对于D，当SKIPIF1<0时，一天中不遇红灯的概率为SKIPIF1<0，遇到一次红灯的概率为SKIPIF1<0，遇到两次红灯的概率为SKIPIF1<0，故一天遇到红灯次数的数学期望为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D错误，故选：BC【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数SKIPIF1<0，求导，利用导数解决问题.典例17.（2023秋·江苏·高三统考期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量SKIPIF1<0的取值集合均为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的散度SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的概率分布如下表所示，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是__________.SKIPIF1