人教版初三九年级下册数学详细教案

第二十六章反比例函数

教初分析

本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，

再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界中存在各种函数，掌

握如何应用函数知识解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数

的基础.

本章的主要内容是反比例函数，教材中从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函

数的概念，使学生逐步从时具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认

识.

第•节的内容是反比例函数的概念以及反比例函数的图象和性质.反比例函数y=《（k

为常数，kWO）的图象分布在两个象限，当k>0时，图象分布在第一、三象限，y随x的增

大（减小）而减小（增大）；当k<0时，图象分布在第二、四象限，y随x的增大（减小）而增大（减

小）.第二节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界中的实际问题以及如何用反比例函

数解释现实世界中的一些现象.

教学中要注重数学思想的渗透，注意做好与己学内容的衔接，还要加强反比例函数与正

比例函数的对比.

本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工

具.教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会

贯通.本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更

多的精力.

教与目标

1•理解并掌握反比例函数的概念.

2•掌握反比例函数的图象和性质.

3.能灵活运用反比例函数知识解决实际问题.

课叼衿配

本章教学约需4课时，具体分配如下:

26-1反比例函数3课时

26-2实际问题与反比例函数1课时

26-1反比例函数

26.1.1反比例函数

教与目标：«<

知识与技能

1•使学生理解并掌握反比例函数的概念.

2•能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式.

过程与方法

能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想.

情感、态度与价值观

经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，体

会数学学习的重要性，培养学生学习数学的兴趣.

：«<

重点

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.

难点

理解反比例函数的概念.

教与设计：«<

一、创设情境，讲授新课

活动1.问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有

什么共同特点？

（1）京沪线铁路全程为1463k〃乘坐某次列车所用时间t（单位"）随该列车平均速度v（单

位：切W?）的变化而变化;

（2）某住宅小区要种植一个面积为I000＞的矩形草坪，草坪的长y随宽X的变化而变

化;

（3）已知北京市的总面积为L68X104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/

人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化.

解：⑴1=华

小1000

=—

(2)y八—：

I.68X104

(3)S=

其中，v是自变量，［是v的函数：

X是自变量，y是x的函数；

n是自变最，S是n的函数.

上面的函数关系式，都具有y=§的形式，其中k是非零常数.

活动2.下列问题中，变显间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？

(1)一个游泳池的容积为2000"P，注满游泳池所用的时间i随注水速度v的变化而变化;

(2)某立方体的体积为1000cw3，立方体的高h随底面积S的变化而变化.

反“\2000八51000

解：(l)t=—^―；(2)h=—^―.

概念：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=§的形式，那么y是x的反比例函

数，反比例困数的自变量X不能为零.

活动3.问题1:下列哪个等式中的y是X的反比例函数？

y=4x»丫=3，y=6x+1，xy=123.

X

问题2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.写出y关于x的函数关系式.求

当x=4时，y的值.

师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流.教师巡视，查看学生完成的情况，并给

予及时引导.

1•解：只有xy=122是反比例函数.

2•分析：因为y是x的反比例函数，所以可设y=;，再把x=2和y=6代入上式就可

A

求出常数k的值.

解：设y=7，因为x=2时，y=6，

所以有6=3»

解得k=12，

12

因此y=~7，

1212

把x=4代入y=-，得y=K=3.

二、例题讲解

例1下列等式中，哪些是反比例函数？

(l)y=1：(2)y=-，；(3)xy=21；(4)y=^y；(5)y=-^；(6)y=:+3；(7)y=x-4.

解：(2)(3)(5)是反比例函数.

例2函数丫=一出中，自变量x的取值范围是.

解：xW—2.

例3当m取什么值时，函数y=(m—2)x3—nF是反比例函数？

分析：反比例函数y=gkWO)的另一种表达式是y=kx',(k^O)，这种写法中x的次数

是一1，因此m的取值必须满足两个条件，即m—2#0且3—n】2=-l，特别注意不要遗漏

k#0这一条件，也要防止出现3-m2=l的错误.

fm-2^0，

解：由题意可知仁,

13-nr=-1»

解得m=-2.

三、巩固练习

1•已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8.

(1)写出y与x之间的函数关系式：

(2)当丫=2时。，求x的值.

答案(i)y=­7A(2)x=-i2

四、课堂小结

反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问

题中变量之间的关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识提升到

理性认识，建立概念，摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义.通过举

例、说理、讨论等活动用数学眼光审视某些实际现象.

教与反思

例题非常简单，在例题的处理上注重培养学生形成写出规范的解题步骤的能力，同时拓

宽学生的思路.在题目的设计和教学设计上注重了由浅入深的梯度，同时充分调动学生的积

极性，发挥学生的主体作用.

26-1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质(1)

教学目标:«<

知识与技能

1•会用描点法画反比例函数的图象.

2•结合图象分析并掌握反比例函数的性质.

过程与方法

体会分类讨论思想、数形结合思想的运用.

情感、态度与价值观

1•体会函数的表示方法，领会数形结合的思想方法.

2•在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯.

重合难后：«<

重点

理解并掌握反比例函数的图象和性质.

难点

正确画出图象，通过观察、分析归纳出反比例函数的性质.

教学设计：«<

一、复习回顾，引入新课

1­画出函数y=3x+l的图象.

2•求函数y=3x+l的图象与x轴、y轴的交点的坐标.

这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答，教师可与学生讨论交流，提问学生.

问：什么叫做反比例函数？

学生：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=；（k为常数，旦kWO）的形式，那

么y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为零.

6

让学生猜想反比例函数的图象是什么样的，让学生自己尝试作反比例函数y=］，y=4l，

64

y=-T，y=_;"的图象・

AA

二、例题讲解

例1画出反比例函数y=$与y=-$的图象.

反比例函数是我们第•次遇到的非直线函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两

支曲线组成的，我们从描出的点的变化趋势可以看出，切记不能用直线连接.

师生共析：用平滑的由线按自变后从小到大的顺序把描出的点连接起来就可得到下图.

问：观察画出的图象，思考y=$与y=—$的图象有什么共同的特征？它们之间有什么

AX

关系？(教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，各有两

条对称轴，它们都不会经过原点)

反比例函数y=§的图象是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三

A

象限内；当kVO时，两支曲线分别位于第二、四象限.

例2已知反比例函数y=(m-l)xm2-3的图象在第二、四象限，求m的俏，并指出

在每个象限内y随x的变化情况.

分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y=kx「(kWO)中自变量x的

指数是一1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，kVO,则m—1V0,

不要忽视这个条件.

解：•.•y=(m-Dxn?-3是反比例函数，—3=—1，且m—1#0.

又,「图象在第二、四象限1m—KO.

解得m=土巾»且m<1，则m=-y[2.

在每个象限内，y随x的增大而增大.

反比例函数y=§的图象，当k>0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而减小；

A

当k<0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大.

例3如图，过反比例函数y=](x>0)的图象上任意两点A，B分别作x轴的垂线，垂

足分别为C，D，连接OA，OB，i^AAOC和ABOD的面积分别是Si，S?，比较它们的大

小，可得()

A•S)>S2

B-Si=S2

C-Si<S2

D•大小关系不能确定

分析：从反比例函数y=*kWO)的图象上任一点P(x，y)分别向x轴、y轴作垂线段，

与X轴、y轴所围成的矩形面积S=|xy|=|k|，由此可得S产S2=*k|，故选B.

三、巩固练习

3-m

1•若函数y=(2m-l)x与y=「A的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

答案J〈mV3

2

2­反比例函数y=--，当x=-2时»y=：当x<—2时，y的取值范围是

;当一2VxV0时，y的取值范围是.

答案1y<ly>l

四、课堂小结

师：你对本节知识有哪些认识？

教师可让学生随意说出一个反比例函数，然后由一个学生说出它的性质.

在活动中，教师应重点关注：

1•不同层次的学生对本节课知识的认取程度.

2•学生独立面对困难和克服困难的能力.

教与反思

“反比例函数的图象与性质”是反比例函数的教学宜点，学生需要在理解的基础上熟练

运用.在本节课的教学中，有意识地加强反比例函数与工比例函数之间的对比.

借助计算机的动态演示比较两函数的图象，使学生更宜观、更清楚地看清两函数的区别，

从而使学生加深对两函数性质的理解.

观察反比例函数的图象，获取函数相关性质的信息有较大空间，考查学生能否对信息做

出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活运用知识有效地解决问题，关注并追踪这

些活动所引起的学生的持久变化.

第2课时反比例函数的图象和性质(2)

教与目标:«<

知识与技能

1•使学生进一步理解并掌握反比例函数的图象与性质.

2•能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题.

过程与方法

体会函数不同表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中

获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质.

情感、态度与价值观

体会分类讨论思想、数形结合思想的运用，在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成

勤于动手、乐于探索的习惯.

重合难后：«<

重占

理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.

难点

学会从图象上分析、解决问题.

教学设计:«<

一、复习导入

首先复习上节课所学的内容:

1•什么是反比例函数？

2­反比例函数的图象是什么？有什么性质？

3•作函数图象的步骤：列表、描点、连线.

4­反比例函数的图象和性质:

⑴反比例函数的图象是由两支曲线组成的(通常称为双曲线);

⑵当k>0时，两支曲线分别位于第■>三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第

二、四象限内;

⑶反比例函数的图象与坐标轴不相交，它们都不过原点;

(4)反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形，也是轴对称图形.

k

⑸反比例函数y=♦的图象，当k>0时。，在每一个象限内，y的值随x的增大而减小;

当k<0时，在每一个象限内，y的值随X的增大而增大.

二、例题讲解

例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6）.

（1）这个函数的图象分布在哪些象限？随自变量的增大如何变化?

⑵点B（3，4），C（-21，一冷和D（2，5）是否在这个函数的图象上？

解：（1）设这个反比例函数的解析式为y=§，因为它经过点A，把点A的坐标（2，6）代

k

入函数解析式，得6=5，

解得k=12，

即这个反比例函数的表达式为y=I??.因为k>0，所以这个函数的图象在第一、三象限内，

A

y随x的增大而减小.

12

（2）把点B，C和D的坐标代入y=；，可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D

的坐标不满足函数关系式，所以点B、点C在函数y=132的图象上，点D不在该函数的图

象上.

例2如图是反比例函数丫=咛的图象的一支.

根据图象回答下列问胭：

（I）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？

（2）在上图的图象上任取点A（a，b）和点B（a'，b'），如果a>a'，那么b和b‘有怎样

的大小关系？

师生活动：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题.教师应给学生提

供充分的交流时间和空间.

解：⑴反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限或者分布在第二、

四象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限.

因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m-5>0，解得m>5.

（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而减小，因为a>az，所以b

<b'.

三、巩固练习

1-若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数y=V的图象在（）

A，第一、三象限B.第二、四象限

C-第三、四象限D.第一、二象限

答案B

k2+1

2•已知点（一1，yD，（2，yz），（乃，y3）在双曲线y=------上,则下列关系式正确的

是（）

A-yi>y2>yiB.yi>y3>yi

C■y2>yi>y3D.y3>yi>y2

答案B

四、课堂小结

1•进•步掌握了反比例函数的作图方法.

2­学会了利用反比例函数的性质画出反比例函数的图象.

教与反思

本节课通过学习情境的创设改变了学生的学习方法，学生的学习能力、思维品质、探窕

意识及其态度、情感价值观等有了不同的发展.在这节课的教学中，我比较成功地实施了诱

思探究教学，学生的积极性得到充分的调动.在教学过程中，注意引导学生仔细观察反比例

函数图象的特征，根据其对称性列表、描点、连线，作图就会画得又快又美观，注意控制时

间，充分理解教学意图，敢于放手.

26-2实际问题与反比例函数

教与目标：«<

知识与技能

1•能灵活运用反比例函数解决一些实际问题.

2•分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题.

过程与方法

会用反比例函数知识分析、解决实际问题.

情感、态度与价值观

渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力.

重卓难与：«<

重占八、、

会用反比例函数知识分析、解决实际问题.

难点

分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.

一、复习导入，教授新课

问题：

市煤气公司要在地下修建一个容积为IO,的圆柱形煤气储存室.

(1)储存室的底面积S1单位：加今与其深度d(单位：制)有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深？

(3)当施工队按⑵中的计划挖进到地下15〃?时.，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，

公司临时改变计划把储存室的深改为15〃？，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足

需要？(保留两位小数)

我们知道圆柱的容积是底面积X高，而现在容积一定为10”/，所以s-d=104.

I04

变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系式，即s=y，所以储存室的底面积S

是其深度d的反比例函数.

根据函数，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，

知道S的一个值，也可求出d的值.

K)4in4

根据5=长，得500=詈，解得d=20，即施工队施工时应该向下挖进20米.

根据5=号，把d=15代入此式，得

K)4

S=诃比666.67(〃户).

当储存室的深为15根时，储存室的底面积应改为666.67/才能满足需要.

二、例题讲解

例I码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.

(I)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数I之间有怎样

的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸

载多少吨？

解：(I)设轮船上的货物总最为k吨，根据已知条件得

k=30X8=240，

所以v关于［的函数解析式为

240

\，=丁

⑵把t=5代入丫=岩，得

?40

丫=可=48(吨).

从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨.对于函

数丫=罕，当30时，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要

卸载48吨.

例2小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5，儿

(1)动力F与动力臂1有怎样的函数关系？当动力皆为1.5加时，撬动石头至少需要多大

的力？

(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少？

解：⑴根据“杠杆原理”，得

Fl=l200X0.5，

所以F关于I的函数解析式为

「600

F=­

当1=1.5小时，

600

F=-r^=400(JV).

对于函数F=^，当1=1.5〃?时，F=400N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需

要400N的力.

(2)对于函数F=竿，F随1的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的1的值，

就能确定动力臂1至少应加长的量.

当F=400X1=200时，由200=华得

.600_,、

1一200—37(〃?)'

3—1.5=1.5(〃?).

对于函数，些1>0时，1越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，

则动力臂至少要加长L5m.

例3一个用电器的电阻是可调节的，其范围为1100〜220。.已知电压为220V，这

个用电器的电路图如图所示.

⑴功率P与电阻R有怎样的函数关系？

(2)这个用电器功率的范围是多少？

解：(1)根据电学知识，当U=220时。，得

(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入①

式，得到功率的最大值

P=T10=440(W);

把电阻的最大值R=220代入①式，得到功率的最小值

2202

P=-^=220(W).

因此用电器功率的范围为220W〜440W.

三、巩固练习

1•京沈高速公路全长658，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程

所需的时间t(/?)与行驶的平均速度v(也?〃?)之间的函数关系式为.

答案1=等

2•一定质量的氧气，它的密度P(依/加)是它的体积V(〃力的反比例函数.当V=l()加

时，P=1.43Ag/〃R(])求。与v的函数关系式；(2)求当V=2〃?3时氧气的密度p.

答案(1)P=?»当V=10加时，P=1.43kg/m3'所以m=PV=10X1.4=14.3，所

143143

以P=~^；(2)当V=2小时，p=卡=7.15(依/加).

四、课堂小结

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解

决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题

置于己有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，

应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想.

教与反思

本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想.创设问题情境，激发

学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境

一建立模型一拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生

的数学应用意识，充分激发学生的潜能.

第二十七章相似

教初分析

本章主要学习图形的相似.

首先，教材中从生活实例入手，得到相似图形的概念，进一步得到相似多边形，研究了

相似多边形的定义和有关性质，为研究相似三角形做了铺垫.

其次，从相似多边形引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示了相似三

角形所要研究的本质就是两个三角形边、角之间的关系.本部分内容的学习，应突出一种对

应关系，即找两个相似三兔形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点.相似三角形的

性质及其判定定理是否能正确地运用也是本节课的一个重点.教材中首先让学生选择合适的

方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质，通过计算给出证明，并推导得到相似三

角形的周长的比、面积的比与相似比的关系.

最后，教材中介绍了图形的位似.位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系

是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应

点的连线都经过位似中心；而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无

关.本节的位似只要求学生理解位似图形，利用位似将一个图形放大或缩小.

教学目标

I■能够判断线段是否成比例，理解并掌握比例的几个性质以及平行线分线段成比例定

理.

2•通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相

等、对应边成比例.

3•了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件、相似三角形对应高的比、

对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、面积的比与相似比的关系.

4■了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.

5•通过典型实例观察并认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决些实际问

题.

课时分配：«<

本章教学约需11课时，具体分配如下:

27-1图形的相似2课时

27•2相似三角形7课时

27•3位似2课时

27-1图形的相似

第1课时图形的相似⑴

I教学目标：«<

知识与技能

从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念.

过程与方法

在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察一比较一猜想”的方法分析问题.

情感、态度与价值观

在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识.

I重白难后：«<

重点

认识成比例的线段.

难点

理解成比例线段的概念.

教与设计：«<

一、问题引入

活动1.观察图片,，体会形状相同的图形.（多媒体出示）

师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察到的图片特点进行归纳

吗？

生：这些图形的形状相同，而大小不同.

二、新课教授

活动2.思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们的形状相同吗？

生：形状不同.

师：我们把形状相同，大小不同的图形叫做相似图形.

形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得

到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中，两个图形上的

相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以

用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段

的比就是它们K度的比，即AB：CD=m：n或写成倦=,•其中，线段AB、CD分另U叫做

这个线段比的前项和后项,如果把手表示成比值k，那么铝=k或AB=k-CD，两条线段

的比实际上就是两个数的比.

活动3.如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段

的长度比是多少？

师生活动.

1•两条线段的比，就是两条线段长度的比.

2•成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的

比相等，如壮宗即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位；

(2)线段的比是一个没有单位的正数；

(3)四条线段a，b，c，d成比例，记作：怖=虚或a:b=c:d：

(4)若四条线段满足年奇，则有ad=bc；

(5)如果ad=bc(a»b«c»d都不等于0)»那么

三、例题讲解

例I如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形形状相同的是()

O。0。o

ABCD

解：c

例2一张桌面长a=1.25加，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？

⑴如果a=125o〃，b=75cm＞那么长与宽的比是多少？

(2)如果a=l25()mm»b=750〃〃〃，那么长与宽的比是多少？

解.-=-

腑.b3

小结：上面分别采用m，cm，mm三种不同的长度单位，求得的仁的值是相等的，所以

说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致.

四、课堂小结

1•图形相似的定义：形状相同的图形叫做相似图形.

2•成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的

比相等，如2=](即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

教与反思

本节课在学习过程中应该注意从生活中形状相同的图形的实例中认识相似图形以及成

比例的线段，理解成比例线段的概念.在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察一一比

较一一猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线，让学生经

历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关遽处进行点拨，不足处进行补充.鼓

励学生大胆猜测、大胆验证，让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题

能力.

第2课时图形的相似(2)

教与目标

知识与技能

知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似

的方法一一“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”.

过程与方法

经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图

形世界的丰富多彩.

情感、态度与价值观

在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.

重后难后:«<

重点

知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.

难点

能运用相似图形的性质解决问题.

教与设计:«<

一、问题引入

1-若线段a=6cm»b=4cm»c=3.6cm»d=2.4cm*那么线段a»b»c»d会成比例

吗？

2•两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例)

二、探究新知

1•观察图片，体会相似图形的性质.

(I)下图(I)中的△AiBCi是由正AABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角

有什么关系？对应边又有什么关系呢？

(2)对于图(2)中两个形状相同、大小不同的正六边形，是否也能得到类似的结论？

学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题，最后得出：

它们的对应角相等，对应边的比相等.

NA=NAi，NB=NBi，ZC=ZC|.

ABBCAC

AiBiB|CiA|Ci'

师：上图中的AABC，△AIBICI是形状相同的三角形，其中NA与/A|，ZB与/Bi，

NC与NG分别相等，称为对应角，AB与A,Bi>BC与BiG，AC与AQ的比都相等，称

为对应边，各角相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.

2•探究.

如图(1)中是两个相似三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？

对于图(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？

H

师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比用等.

⑴如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.

(2)相似多边形的对应边的比称为相似比.

三、例题讲解

例如图，四边形ABCD和四边形EFGH相彳以，求/a和/B的大小以及EH的长度

学生通过运用相似多边形的性质正确解答出Na和/B的大小以及EH的长度x.

解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应角相等.由此可得

Za=ZC=83°，/A=NE=118°，

在四边形ABCD中，

N8=360°-(78°+83°+118°)=81°.

四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应边成比例.由此可得

EHEF_x__24

AD=AB'即订=1?

解得x=28cm.

四、巩固练习

1•在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm*求两地的实

际距离.

答案3000km

2•如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？

答案相似，因为它们的对应角相等，对应边的比用等.

3•如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度.

9

答案a=3，b=5，c=4，d=6.

五、课堂小结

1•相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个

多边形相似.

2•相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

教与反思：«<

本节课在前•节课学习的基础上，进一步加深对相似图形的认识.在相似图形的探究过

程中，继续让学生运用“观察一一比较一一猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程.以

学生自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键

处进行点拨，不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证.让学生在研究过程中渗透数

学思想，有意识地培养学生的解题能力.

27•2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例

教学目标：«<

知识与技能

使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.

过程与方法

通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把•个梢复杂的图形分成几个基本图形，通

过应用锻炼识图能力和推理论证能力.

情感、态度与价值观

通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称

美，激发学习数学的兴趣.

重Q难后:«<

重点

平行线分线段成比例定理和推论及其应用.

难点

平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.

教与设计:«<

—'复习导入

师：什么是相似多边形？

生：对应角分别相等，对应边成比例的两个多边形.

教师用多媒体展示:

如图，在AABC和AA'B'C'中，

AB_BC_AC

如果NA=NA'，/B=NB'，ZC=ZCZ

A，B'-B，。—NC'

师：这样的两个三角形有什么关系呢？

生：△ABC和C1相似.

师：对，两个三角形相似记作△ABCS/\A'B'C，"s”读作“相似于”.

师：上面的两个三角形的相似比为k，假如k=l，这两个三角形有怎样的关系？

生：当k=l时，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，△ABCgZ\A'B'C'.

师：所以全等是相似的特殊情况.

师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的

方法吗？在这之前，我们先来探究下面的问题.

二、共同探究，获取新知

师：我们知道两条平行线之间的距离是相等的.如果有三条直线13〃14〃15，任意两直

线h和L与它们相交且截得的线段AB=BC.

I2

我们会得至I」DE=EF，

即第=普=1.

你们知道为什么吗？

生：学生思考、讨论，得出结论.

平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截如果在其中一条上截得的线段相等，

那么在另一条上截得的线段也相等.

师：如果器W1，那么普和器还相等吗？

师：引导学生按要求画图，测量.

生：操作后，讨论.

可以发现,当13〃"飞时,总有然=器,器=器’?!=器等•

一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

师，把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？

生：思考、画图.

图(1)中把14看成平行于4ABC的边BC的直线，图(2)中把h看成平行于^ABC的边

BC的直线，可以得到结论：

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

三、例题讲解

例如图，在△ABC中，E，卜分别是AB和AC上的点，且E卜〃BC.

A

(1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？

(2)如果AB=JO，AE=6'AF=5，那么FC的长是多少?

解:(1)VEF/7BC'

.AE=AF

,,EB-FC-

VAE=7，EB=5，FC=4，

AE•FC7X428

-AF=EB='=亍

(2)・・'EF〃BC，

.AE=AF

・'AB-AC

VAB=10，AE=6，AF=5，

AB•AF10X525

••AC=AE=_6-=T

・•・FC=AC-AF=y-5=y.

四、巩固练习

1•如图，已知AB〃CD〃EF，那么下列结论正确的是(

答案4

2•如图，DE〃BC，AB:DB=3：1，则AE：AC=

答案2：3

五、课堂小结

师：今天你学习了哪些定理？

学生口述定理.

教与反思：«<

在思考中，学生总结出当求证的两个比例式的线段不在同•基本型的时候应该怎样解

题，并且掌握中间比的找法.对于添加辅助线的证明比例式问题，需要“透析”题目中的条

件和证明方法.从课堂练习和作业反馈上体现出学生对知识的接受还比较理想，这堂课还是

比较成功的.

第2课时相似三角形的判定⑴

教与目标：«<

知识与技能

掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的

判定方法：能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.

过程与方法

经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力.

情感、态度与价值观

培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.

重弱难后：«<

重点

三角形相似的判定方法I：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形

与原三角形相似.

难点

三角形相似的判定方法1的运用.

教与设计:«<

一、创设情境，引入新课

师：根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角

形.那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找

判定两个三角形相似的条件呢？今天这节课我们就一起来探索三角形相似的条件.

二、探究新知

问题平行于三角形一边的直线与其他两边相交所构成的三角形，与原三角形相似吗？

师生活动:

如图，在4ABC中，DE〃BC，且DE分别交AB:AC于点D，E，AADE与4ABC

有什么关系？

直觉告诉我们，4ADE与4ABC相似，我们通过相似的定义证明它，即证明NA=N

ADAFDFADAFDF

A，NADE=NB，/AED=NC，能=等=器.由前面的结论可得，*=番.而辞中的

AoACoCAoACr5L.

AFr)p

DE不在4ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论.但从要证的注=言可以看出，除

DE外，AE，AC，BC都在AABC的边上，因此只需将DE平移到BC边上去，使得BF=

ApRp

DE，再证明注=器就可以了.只要过点E作EF〃AB，交BC于点F，BF就是平移DE所

得的线段.

先证明两个三角形的角分别相等.

如图，在4ADE与AABC中，NA=NA.

VDE//BC，

AZADE=ZB，ZAED=ZC.

再证明两个二角形的边成比例.

过点E作EF〃AB，交BC于点F.

VDE/7BC，EF〃AB，

.ADAEBF=AE

•*AB=AC'BC=AC'

•・•四边形DBFE是平行四边形，

Z.DE=BF，

.DEAE

**BC-AC'

.ADAEDE

,•AB-AC-BC-

这样，我们证明了△.人口£和aABC的角分别相等，边成比例，所以△ADEs/XABC，

因此，我们有如下判定三角形相似的定理.

三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形

与原三角形相似.（定理的证明由学生独立完成）

三、例题讲解

例如图，D，E分别是4ABC的边AB，AC上的点，DE〃BC，AB=7，AD=5，DE

=10，求BC的长.

/\

B---------------------------C

解：VDEZ/BC，

AAADE^AABC，

.ADDE

-AB-BC'

AB•DE7X10

-BC-AD-5"=14.

四、课堂小结

本节课学习了：

三角形相似的判定方法1：平行于三角形•边的直线和其他两边相交，所构成的三角形

与原三角形相似.

本节课主要是探究相似三角形的判定方法I，本课教学力求使探究途径多元化，把学生

利用刻度尺、量角器等作图工具做静态探究与应用“几何画板”等计算机软件做动态探究有

机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵.另外小组合作学习的开展不

仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力.

第3课时相似三角形的判定⑵

教与目标

知识与技能

理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.

过程与方法

培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS

和SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.

情感、态度与价值观

让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力.

重Q难后

重点

两个三角形相似的判定方法2