专题01 有理数 压轴题（十一大题型）（解析版）

专题01有理数压轴题（十一大题型）目录：题型1：化简绝对值题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题题型3：数轴上动点-单动点问题题型4：数轴上动点-双动点问题题型5：数轴上动点-三动点问题题型6：有理数的运算压轴题题型7：新定义有理数的运算题型7：新定义有理数的运算题型8：有理数的运算化归思想题型9：规律性问题题型10：程序框图题型11：有理数混合运算的应用题型1：化简绝对值1．有理数a，b，c都不为零，且，则．【答案】1或【解析】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可．【分析】解：∵，∴，，．∵有理数a，b，c都不为零，且，∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负，∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定，∴原式，当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定，∴原式．综上，或．故答案为：1或．【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．2．已知为非零实数，则的可能值为．【答案】-2、0、2或4【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【解析】解：①、b、c三个数都是正数时，，，，，原式；②、b、c中有两个正数时，设为，，，则，，，原式；设为，，，则，，，原式；设为，，，则，，，原式；③、b、c有一个正数时，设为，，，则，，，原式；设为，，，则，，，原式；设为，，，则，，，原式；④、b、c三个数都是负数时，即，，，则，，，原式．综上所述，的可能值、0、2或4．故答案为：-2、0、2或4.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的基础，关键是正确有序地进行分类讨论．3．已知，则的最大值是．最小值是．【答案】【分析】先讨论∶、、的最小值，根据它们的积是36，分别得到、、的值，再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．【解析】解：∵，，，∴，，，当时，x最小取，最大取2，当时，y最小取，最大取2，当时，z最小取，最大取3∴的最大值为∶，的最小值为∶，故答案为：；．【点睛】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键．4．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少．【解析】解：∵，，∴a、b、c为两个负数，一个正数，∵，，，∴，分三种情况讨论，当，，时，，当，，时，，当，，时，，∴，，则．故选：A．【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题5．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．

(1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合．①对折后表示5的点与表示________的点重合；②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示）(2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合．①对折后表示7的点与表示________的点重合；②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________．(3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示）【答案】(1)①，②(2)①；②；5(3)；【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程，（1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可得；（2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数；（3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为10，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键．【解析】（1）解：由题意得对折点为，①对折后与表示5的点重合的点表示的数为；②对折后与表示的点重合的点表示的数位，故答案为：①，②；（2）解：由题意得对折点为，①对折后与表示7的点重合的点表示的数为；②点与点之间的距离为8，点与点到对折点的距离为，点在点的左侧，点表示的数为，点表示的数为，故答案为：①；②；5；（3）解：使表示的点与表示的点重合，对折点为，数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，点与点到对折点的距离为，点表示的数为，点表示的数为，故答案为：；．6．（1）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离；（2）探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？

②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？

③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？

（3）结论应用（填空）：①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______；②代数式的最小值是_______，此时x的值为______；③代数式的最小值是______，此时x的范围是______．【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案；（2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小；（3）根据问题（2）得出的结论填空即可．【解析】解：（1），的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离；故答案为：．（2）①当点在点左边，当点在点、点之间，当点在点右边，∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小．故答案为：点、点之间．②当点在点左边，当点在点、点之间时，当点在点、点之间时，，当点在点、点之间时，，当点在点右边，，∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小．故答案为：点．③当点在点左边，，当点在点、点之间时，，当点在点、点之间时，，当点在点、点之间时，，当点在点右边时，，∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小．故答案为：点、点之间．（3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7．∴有最小值，最小值为7．故答案为：．②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离，∴当时，有最小值，最小值为8，8．故答案为：．③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离，∴当时，有最小值，最小值为18，．故答案为：．【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键．7．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．

(1)如图1，①若，则的值__________；②若点在线段上，化简__________；③由图可知，的最小值是__________．(2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________．(3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．

【答案】(1)①或；②3；③5；(2)5(3)见解析；【分析】（1）如图1，①分点在点左侧和点在点右侧分别计算即可；②若点在线段上，得，，然后化简绝对值即可；③由图1可知，当时，的最小，最小值为5；（2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解；（3）如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，当满足时，该距离之和最小，最小值为．【解析】（1）解：①若点在点左侧，得，若点在点右侧，得；故的值或．②若点在线段上，得，，；③由图1可知，

当时，的最小，原式，，故答案为：或；3；5；（2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离，的最小值为5；故答案为：5；（3）如图2，

以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，当满足时，该距离之和最小，，，，汇合地点的位置在之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值为1400米．【点睛】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键．题型3：数轴上动点-单动点问题8．如图，在数轴上点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是．【答案】42．【分析】根据题意分别找出序号为奇数和偶数的点所表示的数的规律，从而得出A13和A14所表示的数，从而求出其长度．【解析】根据观察可知，奇数点在A点的左侧，且根据A1=-2=1+(-3)，A3=-5=1+(-3)×2，故A13=1+(-3)×7=-20；偶数点在A点的右侧，且根据A2=4=1+3，A4=-5+12=7=1+3×2，故A14=1+7×3=22；故A13和A14的长度为|22-（-20）|=42．【点睛】本题考查数轴、绝对值和有理数的加减法，本题解题的关键在于①分奇数、偶数点得出各点之间数的规律（奇数点：，偶数点：）；②在数轴上两点之间的距离等于它们所表示数的差的绝对值．9．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．(1)当时，点P表示的有理数是______；(2)当点P与点B重合时，______；(3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．（用含t的代数式表示）；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示）(4)当t的值为多少时，．【答案】(1)(2)(3)①，；(4)或10【分析】（1）当时，利用距离速度时间，计算出点运动的距离，点的坐标加上点运动的距离，即可得到答案；（2）当点与点重合时，计算出点运动的距离，根据时间距离速度，即可得到答案；（3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离为：速度时间，点表示的有理数是：点的坐标点运动的距离，即可得到答案，②在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是：点与点两点之间的距离（点运动的距离点与点两点之间的距离），即可得到答案，（4）分两种情况讨论：①点由点向点运动时；②点由点向点运动时；根据分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：当时，点移动的距离为：，此时点表示的有理数为：，即时点表示的有理数为．故答案为：；（2）当点与点重合时，点运动的距离为：，运动的时间（秒），即点与点重合时的值为．故答案为：；（3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离为：，点表示的有理数是：．故答案为：，；②在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是：．故答案为：；（4）分两种情况：①如果点由点向点运动，即时，，；②如果点由点向点运动，即时，，．故当或10时，．故答案为：或10．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是：正确掌握速度，时间，距离公式，数轴的定义，正确找出等量关系，列出一元一次方程．题型4：数轴上动点-双动点问题10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．【综合运用】(1)运动开始前，A，B两点的距离为______；线段的中点M所表示的数为______．(2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为______；（用含t的式子表示）(3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距4个单位长度？(4)若A，B按上述方式继续运动下去，线段的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合）．【答案】(1)18；(2)；(3)秒或秒(4)能，运动时间为2秒，运动方向向右，运动速度为每秒个单位长度【分析】（1）根据数轴的基本概念，由题意可得与两点之间的距离以及线段的中点表示的数；（2）由题意可得，点运动秒后所在位置的点表示的数等于运动开始前点表示的数加上点运动的路程，即，点运动秒后所在位置的点表示的数等于运动开始前点表示的数减去点运动的路程，即．（3）设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距4个单位长度，根据题意列方程求解即可．（4）设，按上述方式继续运动秒线段的中点能与原点重合，根据题意列方程，解得值，再由运动开始前点的位置及秒后所到的位置得出点的运动方向向右及速度．【解析】（1）解：、两点的距离为：；线段的中点所表示的数为．故答案为：18；；（2）由题意可得点运动秒后所在位置的点表示的数为；点运动秒后所在位置的点表示的数为；故答案为：；；（3）设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距4个单位长度，当点在点左侧时，依题意列式，得，解得；当点在点右侧时，，解得，答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距4个单位长度．（4）能．设，按上述方式继续运动秒线段的中点能与原点重合，根据题意列方程，可得，解得．运动开始前点的位置是，运动2秒后到达原点，由此得点的运动方向向右，其速度为：个单位长度．答：运动时间为2秒，中点点的运动方向向右，其运动速度为每秒个单位长度．【点睛】本题主要考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．11．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足．(1)直接写出a，b，c的值；(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)存在；或(3)存在；，，，8【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解；（2）根据运动特点可得，，再根据M为的中点，N为中点，可得，，依据，可得方程，解方程即可求解；（3）分类讨论：与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时，表示出点，，，．①点P表示的数比点F表示的数大1，即，②点Q表示的数比点E表示的数大1，即；与第二次重合中，P到C返回时，即，同理表示出，，③点Q表示的数比E表示的数大1时，即，④点P表示的数比F表示的数大1时，即，解方程即可求解．【解析】（1）∵是一元一次方程，∴，解得：，∵，又∵，，∴，，∴，，∴，，即，，；（2）∵，，，∴根据运动特点可得，，∵M为的中点，N为中点，∴，，∵，∴，∴，∴，∴或，∴或；（3）存在．或者或者或者8．理由如下：∵，∴，与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时，点，，，．①点P表示的数比点F表示的数大1，即，解得：．②点Q表示的数比点E表示的数大1，即，解得：．与第二次重合中，P到C返回时，即，③点Q表示的数比E表示的数大1时，即，解得：．④点P表示的数比F表示的数大1时，即，解得：．故：，，，8．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．12．如图所示，数轴上有，，，四个点，点表示的数是，点表示的数是，且满足．已知（单位长度），（单位长度）．(1)求点和点分别表示的数；(2)若线段以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当（单位长度）时，求的值；(3)若动点从表示数的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足的值不随点运动时间的变化而改变，求的值．【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是(2)或4(3)【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性得出的值，然后根据（单位长度），（单位长度）进而得出答案；（2）根据题意可得点表示的数是，点表示的数是，从而得出，求解即可；（3）根据题意点表示的数是，则，整理化解，然后根据的值不随点运动时间的变化而改变可求得的值．【解析】（1）解：∵，，∴，，∴，，∴点表示的数是，点表示的数是18，∵（单位长度），（单位长度），∴点表示的数是，点表示的数是；（2）由题意得，点表示的数是，点表示的数是，∴，解得或4；（3）由题意得，点表示的数是，∴，∵的值不随点运动时间的变化而改变，∴，∴．【点睛】本题考查了绝对值的偶次方的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，运用方程的思想解题是本题的关键．题型5：数轴上动点-三动点问题13．如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且．

(1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为________．(2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？【答案】(1)1(2)或4(3)秒或4秒【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、路程问题．比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用．（1）根据中点公式即可求解；（2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可；（3）设经过分钟点P到点A，点B的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可．【解析】（1），故点A，B表示的数分别为、3，若点P到点A，点B的距离相等，则故点对应的数是1．（2）当在之间，(不可能有)；当在的左侧，，得；当在的右侧，，得．故点对应的数为或4；（3）设经过秒后点P到点A，点B的距离相等，此时点A，B，P表示的数分别为，当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则，解得：，当点在右侧时，此时、重合，则，解得：．故它们同时出发，秒或4秒后到点、点的距离相等．14．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．(1)求C点对应的数；(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．①当时，求t的值；②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值．【答案】(1)4(2)①或；②t的值为或或5.5【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是；（2）①当M、N未相遇，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得．本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键．【解析】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8，∴，∵，∴，，∴C点对应的数是，答：C点对应的数是4；（2）①∵运动t秒时，当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，∴，解得，当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，∴，解得，综上所述，t的值为或；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，∵∴，解得（舍去），此种情况不存在，由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，∴，解得，由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是，∴，解得，当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4，次情况，∴，解得，不合，∴这种情况不存在，当P运动到A后，若N为的中点，此时，∴，解得，综上所述，t的值为，或，或5.5．15．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，，(1)，，；(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则，，．（用含t的代数式表示）(4)请问，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；【答案】(1)，1，8(2)5(3)，，(4)不变，15【分析】（1）根据非负数的性质可得a，c的值，即可求解；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）先得出A，B，C表示的数，再根据两点间距离的表示方法计算即可；（4）将（3）中结果代入中，去括号合并即可判断．【解析】（1）解：∵，∴，，∴，，故答案为：，1，8；（2），∴对称点为3，∴，即点B与5表示的点重合；（3）由题意可得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，∴，，，故答案为：，，；（4）由题意可得：即的值不随着时间t的变化而变化，其值为15．【点睛】此题考查了数轴，整式的加减，绝对值，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．题型6：有理数的运算压轴题16．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．；．（3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式：．（4）利用（3）的结论计算：【答案】（1）（2）；（3）（4）25【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；（1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可；（2）根据题中所给运算可进行求解；（3）由（1）（2）可求解；（4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解．【解析】解：（1）；故答案为；（2）；；故答案为，；（3）；故答案为；（4）．17．我们已知道：，事实上：（为正整数）成立，故有：当时，成立．由以上结论填写下列代数式结果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．（2）提取后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．（3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果．【解析】（1）根据已知有：当时，成立所以所以所以故答案为：（2）因为故答案为：（3）根据已知有：当时，成立所以；；；所以又因为所以上式故答案为：【点睛】本题考查了观察、类比、数字累规律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律探索的方法，结合运算法则完成求解．18．现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．(3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．(4)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．(5)从中取出4张卡片，使这4张卡片上的数字运算结果为24．写出两个不同的等式，分别为，．【答案】(1)-9(2)11(3)6(4)90(5)，【解析】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6，所以要使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为．故答案为：-9；（2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5，所以要使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为．故答案为：11；（3）解：取出-6和-1，相除得．所以商的最大值为6；故答案为：6（4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为．故答案为：90；（5）解：，．故答案为：，．【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．19．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，．(1)利用规律计算：；(2)问题拓展，求；(3)问题解决：求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧．（1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可；（2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可；（3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可．【解析】（1）解：依题意，∵，，，，∴；（2）解：；（3）解：∵，；，；，；……，所以原式．题型8：有理数的运算化归思想20．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算(其中是正整数，且，)．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：．探究二：计算．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，……第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分制图可得等式：，两边同除2，得，探究三：计算．(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)解决问题．计算．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．(1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓广应用：计算___________．【答案】探究三：图见见解析；解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3）【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解；(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…，第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：，最后的空白部分的面积是，根据第次分割图可得等式：，两边同除以3，得；解决问题：（1）故答案为：（2），故答案为：；（3）拓广应用：．故答案为：．【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．题型7：新定义有理数的运算21．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为．【答案】或或【分析】根据为不超过x的最大整数且，可知是整数，根据，得到a为0或或，根据，得到，得到x为或或．【解析】∵不超过x的最大整数为，，∴是整数，∵，∴a为0或或，∵，∴，∴，，∴x为或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了新定义“不超过x的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论．22．对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则．（用含的式子表示）【答案】9﹣3|x﹣1|【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果．【解析】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，①|x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③|x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|．故答案为：9﹣3|x﹣1|．【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确．23．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：；；两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是．(2)计算：（结果仍用二进制数表示）；（结果用十进制数表示）．【答案】(1)9(2)；35【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．【解析】（1）解：；故答案为：9；（2）解：，．故答案为：；35．【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．题型9：规律性问题24．阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①1221；②2332；③3443；④4554；⑤5665；⑥6776；⑦7887．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系：．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：2016201720172016．【答案】(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；⑦＞(2)见解析(3)＞【分析】(1)先计算每组中的两个数字，然后再比较大小即可；(2)根据(1)中的结果即可总结出数字变化的规律；(3)按照(2)中得到的规律即可求解．【解析】（1）①∵12=1，21=2，∴12＜21；②∵23=8，32=9，∴23＜32；③∵34=81，43=64，∴34＞43；④∵45=1024，54=625，∴45＞54；⑤∵56=15625，65=7776，∴56＞65；⑥∵67=279936，76=117649，∴67＞76；⑦∵78=5764801，87=2097152，∴78＞87；（2）当n＝1或2时，nn＋1＜（n＋1）n；当n＞2的整数时，nn＋1＞（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017＞20172016．【点睛】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律．25．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4．（1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________．（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）【答案】（1）；（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)；（3）；（4）【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；（2）由（1）的结论直接得出结果；（3）根据定义归纳出一般性的结果；（4）根据（3）的结论进行计算即可．【解析】（1）L2（4）=2，L2(16)=4，L2(64)=6故答案为：（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)故答案为：L2（4）+L2(16)=L2(64)（3）设则即La(M)+La(N)=La(MN)故答案为：（4）La（3）=0.5【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．题型10：程序框图26．下面给出两个数值运算程序，按要求完成下列各题：（1）根据表格，按程序计算，完成填空：（2）运算步骤①为_____；随着x的值增大，程序_____的输出值先超过500．【答案】（1）表格填空：50，11，20；（2）+2，二．【解析】试题分析：（1）设程序一的输出中的“？”为，根据表格中的数据列出方程即可求得的值，这样就可得到程序一的输出式子，结合表格中的已知数据即可求出表格中未知的数据；（2）①由（1）中求得“？”的值，可知程序一中的运算步骤①为“+2”，由此可知程序一的输出为：；②由解得，再计算出当时，程序二的输出值并和500比较大小即可得到第2小问的答案.试题解析：（1）①设程序一的输出中的“？”为，则程序一的输出表达式为：，由表格中的数据可知，当时，，解得，由此可得当时，程序一的输出为：；②由题意可知：程序二中的输出表达式为：，当时，输出，反之则返回到输入端重新开始，∴当时，程序二的最终输出为：11；当是，程序二的最终输出为：20；综上所述，表格中所缺少的三个数据从左至右依次是50，11，20；（2）①由（1）可知程序一输出中的“？”所代表的数是“2”，∴程序一中的运算步骤①中的运算是“”；②由解得：；∵当时，程序二的输出为：，∴随着的增大，程序二的输出值先超过500.27．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，(1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________

(2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________

(3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：

①若、分别输入1，则输出结果1，记；②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记；③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记；