专题01 有理数 压轴题（十一大题型）（原卷版）

专题01有理数压轴题（十一大题型）目录：题型1：化简绝对值题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题题型3：数轴上动点-单动点问题题型4：数轴上动点-双动点问题题型5：数轴上动点-三动点问题题型6：有理数的运算压轴题题型7：新定义有理数的运算题型7：新定义有理数的运算题型8：有理数的运算化归思想题型9：规律性问题题型10：程序框图题型11：有理数混合运算的应用题型1：化简绝对值1．有理数a，b，c都不为零，且，则．2．已知为非零实数，则的可能值为．3．已知，则的最大值是．最小值是．4．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（

）A． B．1 C．2 D．3题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题5．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．

(1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合．①对折后表示5的点与表示________的点重合；②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示）(2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合．①对折后表示7的点与表示________的点重合；②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________．(3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示）6．（1）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离；（2）探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？

②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？

③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？

（3）结论应用（填空）：①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______；②代数式的最小值是_______，此时x的值为______；③代数式的最小值是______，此时x的范围是______．7．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．

(1)如图1，①若，则的值__________；②若点在线段上，化简__________；③由图可知，的最小值是__________．(2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________．(3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．

题型3：数轴上动点-单动点问题8．如图，在数轴上点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是．9．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．(1)当时，点P表示的有理数是______；(2)当点P与点B重合时，______；(3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．（用含t的代数式表示）；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示）(4)当t的值为多少时，．题型4：数轴上动点-双动点问题10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．【综合运用】(1)运动开始前，A，B两点的距离为______；线段的中点M所表示的数为______．(2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为______；（用含t的式子表示）(3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距4个单位长度？(4)若A，B按上述方式继续运动下去，线段的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合）．11．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足．(1)直接写出a，b，c的值；(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．12．如图所示，数轴上有，，，四个点，点表示的数是，点表示的数是，且满足．已知（单位长度），（单位长度）．(1)求点和点分别表示的数；(2)若线段以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当（单位长度）时，求的值；(3)若动点从表示数的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足的值不随点运动时间的变化而改变，求的值．题型5：数轴上动点-三动点问题13．如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且．

(1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为________．(2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？14．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．(1)求C点对应的数；(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．①当时，求t的值；②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值．15．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，，(1)，，；(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则，，．（用含t的代数式表示）(4)请问，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；题型6：有理数的运算压轴题16．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．；．（3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式：．（4）利用（3）的结论计算：17．我们已知道：，事实上：（为正整数）成立，故有：当时，成立．由以上结论填写下列代数式结果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．18．现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．(3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．(4)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．(5)从中取出4张卡片，使这4张卡片上的数字运算结果为24．写出两个不同的等式，分别为，．19．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，．(1)利用规律计算：；(2)问题拓展，求；(3)问题解决：求的值．题型8：有理数的运算化归思想20．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算(其中是正整数，且，)．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：．探究二：计算．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，……第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分制图可得等式：，两边同除2，得，探究三：计算．(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)解决问题．计算．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．(1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓广应用：计算___________．题型7：新定义有理数的运算21．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为．22．对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则．（用含的式子表示）23．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：；；两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是．(2)计算：（结果仍用二进制数表示）；（结果用十进制数表示）．题型9：规律性问题24．阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①1221；②2332；③3443；④4554；⑤5665；⑥6776；⑦7887．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系：．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：2016201720172016．25．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4．（1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________．（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）题型10：程序框图26．下面给出两个数值运算程序，按要求完成下列各题：（1）根据表格，按程序计算，完成填空：（2）运算步骤①为_____；随着x的值增大，程序_____的输出值先超过500．27．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机，(1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________

(2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________

(3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和