专题03 提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略（解析版）

专题03提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一因式分解的概念辨析】 1【考点二提取公因式法的应用】 2【考点三公式法因式分解的应用】 2【考点四提取公因式法和公式法的综合应用】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一因式分解的概念辨析】【例题1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B.从左至右的变形不属于因式分解且计算错误，故本选项不符合题意；C.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：Ａ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．【变式1】下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．【详解】解：A、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是因式分解，故符合题意；B、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C、是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；D、没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键．【变式2】将提公因式后，另一个因式是（

） B． C． D．【答案】A【分析】将提取公因式，据此即可求解．【详解】解：故选：A【点睛】本题考查提公因式法分解因式．用每一项除以公因式即可得到剩下的因式组成．【考点二提取公式法的应用】【例题2】把多项式分解因式等于（

）B．C． D．【答案】C【分析】用提取公因式法即可进行因式分解．【详解】，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式的方法和因式分解的定义是解题的关键．【变式1】已知，，则的值是（） B．6 C． D．1【答案】A【分析】先将因式分解，再把，代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，解题的关键是正确找出各项的公因式进行因式分解．【变式2】计算所得结果是（

） B． C． D．【答案】B【分析】先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算和乘法分配律进行计算即可．【详解】解：故选：B【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义以及乘法分配律的运用，熟练掌握乘相关运算法则是解题的关键．【变式3】若，则代数式A的值为（

）a B．n C． D．【答案】A【分析】提出公因式，可得，即可求解．【详解】解：∵，，∴代数式A的值为a．故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【考点三公式法因式分解的应用】【例题3】把因式分解得（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：；故选：C.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.【变式1】在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．【详解】a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-4b2=(a-3b)2-(2b)2=(a-3b+2b)(a-3b-2b)=(a-b)(a-5b)；故选：D．【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式2】小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（

）A．2023，2024，2025B．2022，2023，2024C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．【详解】解：∴能被2022，2023，2024整除，故选B．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【考点四提取公因式法和公式法的综合应用】【例题4】小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：5，，，，，a，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）我爱学 B．爱思考 C．思数学 D．我爱数学【答案】D【分析】先将因式分解，结合所对应汉字即可求解．【详解】解：=∵5，，，，，a，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考，结果中一定有“我”，“爱”，“数”，“学”，∵根据代数式的书写规则，“5”一定在最前面，∴“我”在最前面，对照四个选项可知，只有D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解确定每个因式所对应的汉字为解题关键．【变式1】计算的值为（

）． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．【变式2】若a+b=1，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】把进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解．【详解】解：故选：D【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b，代入求值．【变式3】计算：【答案】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝．【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．2．下列因式分解错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别把各选项分解因式得到结果，逐一判断即可．【详解】解：A、，因式分解正确，故本选项不符合题意；B、，故B因式分解不正确，故本选项符合题意；C、，因式分解正确，故本选项不符合题意；D、，，因式分解正确正确，故本选项不符合题意；故选B．【点睛】此题考查了因式分解，主要应用了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3.计算所得的结果是（

）A．－2 B．2 C．－ D．【答案】D【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．4．计算（﹣2）2005+3×（﹣2）2004的值为（）A．﹣22004 B．22004 C．（﹣2）2005 D．5×22004【答案】B【分析】根据因式分解的提公因式法进行求解即可．【详解】解：；故选B．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．5．计算：的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式====．故选：B．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．6．多项式因式分解的结果是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先提取公因式，然后按照平方差公式因式分解即可得到答案．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解题的关键．二.填空题7.分解因式：【答案】【分析】运用提取公因式法进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查提公因式法因式分解，掌握提公因式法分解因式的方法是解题的关键．8．已知，，则的值是．【答案】30【分析】将所求式子提取公因式，再整体代入求值即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：30．【点睛】本题考查代数式求值，因式分解．利用整体代入的思想是解题关键．9．分解因式：．【答案】【分析】提公因式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式，即可解答．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．11．如图，点在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接、、得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；则．【答案】【分析】连接BE发现，无论正方形BCEF怎样变，△AME面积都与△AMB相等，因为都是以AM为底，以AM到BE之间的距离为高．【详解】连接BE，∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM．∴△AME与△AMB同底等高．∴△AME的面积=△AMB的面积．∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=2019时，△AME的面积为．当AB=2020时，△AME的面积为．∴故答案为：【点睛】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE始终平行AM是本题关键．12．计算（用幂的形式表示）．【答案】【分析】利用提公因式法提公因式，即可得结果．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号．13．=．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．【详解】解：====故答案为：．【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．14．计算：．【答案】2【分析】把分成，利用完全平方公式展开，计算即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用因式分解对有理数进行简便运算，熟练应用完全平方公式是解题关键．15．若=.【答案】39【分析】所求式子提取公因式变形，再利用完全平方公式化简，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．【详解】====3×（9+2×2）=39，故答案是：39．【点睛】此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．16．计算：12-22+32-42+52-62+…+20092-20102=.【答案】-2021055【分析】运用平方差公式对原式进行分解因式，通过提取公因式对原式进行计算即可解答.【详解】解：12-22+32-42+52-62+…+20092-20102=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+（5-6）（5+6）+…+（2009-2010）（2009+2010）=－(1+2+3+4+5+6+…+2009+2010)=－(2011×1005)=－2021055.故答案为－2021055.【点睛】本题考查了用平方差公式和提取公因式进行因式分解，将原式进行化简是解题的关键.17．计算：40352﹣4×2017×2018＝．【答案】1【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．【详解】40352﹣4×2017×2018＝（2017+2018）2﹣4×2017×2018＝20172+2×2017×2018+20182﹣4×2017×2018＝（2017﹣2018）2＝（﹣1）2＝1，故答案为1．【点睛】本题考查因式分解在有理数的运算中的应用，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式的结构特征是解题的关键.三、解答题18．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：例1；例2．(1)例2分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解因式：，则需应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式：．【答案】(1)提取公因式，2(2)2020，(3)【分析】（1）根据分解过程即可填空；（2）将多项式提公因式即可进行因式分解；（3）按照上面规律分解，注意符号的变化规律．【详解】（1）解：根据分解过程，可知例2分解因式的方法是提取公因式，共应用了2次；（2）应用了2020次，结果是；（3）【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．19．（1）若，，求；（2）证明能被100整除．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把化成，把化成，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得，由此即可证明结论．【详解】解：