专题03 一次不等式(组)与方程组 压轴题（七大题型）（解析版）

专题03一次不等式(组)与方程组压轴题（七大题型）目录：题型1：一元一次不等式（组）与方程（组）题型2：一元一次不等式（组）与化简绝对值问题题型3：新定义题型题型4：一元一次不等式（组）的实际应用题型5：二元一次方程组的特殊解法题型6：二元一次方程组与一元一次不等式组题型7：一次方程组的实际应用题型1：一元一次不等式（组）与方程（组）1．已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（

）A．27 B．28 C．35 D．36【答案】A【分析】表示出关于的方程的解，由方程有非负数解确定出的取值范围，再表示出不等式组的解集，由不等式组至多有3个整数解，得到的取值范围．再根据为整数，即可得出结果．【解析】解：解关于x的方程，得，当时，原等式不成立，，，解得：；解不等式，得，解不等式，得，∵原不等式组至多有3个整数解，，得，故的取值范围是，为整数，，符合条件的所有整数的和为，故选：A．【点睛】本题考查了方程、不等式及不等式组的解法，解得的关键是熟记求不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．2．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（）A．12 B．6 C． D．【答案】D【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可．【解析】解：，，得：，解得，，得：，解得，∵，∴，解得，解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式组只有3个整数解，∴，解得，∴，∴符合条件的整数m的值的和为，故选：D．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．3．已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解．【解析】解：，，，，，、、都为正数，∴，，，．故选：A．【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键．题型2：一元一次不等式（组）与化简绝对值问题4．数轴上A、B两点的距离表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______；(3)当满足条件______时，取最小值，最小值是______；(4)当满足条件______时，取最小值，最小值是______；(5)当满足条件______时，取最小值，最小值是______；(6)为定值时，相应的的取值范围是______，定值是______【答案】(1)4；6(2)；1或(3)(4)；8(5)；1980(6)；【分析】（1）利用两点间的距离公式求解即可；（2）利用两点间的距离公式求解即可；（3）当有两个点时，距离和最小，就取以这两点为端点的线段上的任意点；（4）当有三个点时，距离和最小，就取中间的点；（5）点有多个时，取中间的点，和最小；（6）系数最大的项为0即可．【解析】（1）解：，；故答案为：4；6；（2）解：，，，或；故答案为：；1或；（3）解：表示到1，2这两个数的距离的和，当时，到这两个数的距离的和最小，最小值为；故答案为：；1；（4）解：表示到，3，7这三个数的距离的和，当取中间数3时，到三个数的距离的和最小，最小值为；故答案为：；8；（5）解：当取最小值时，应取1与99的最中间的数45，最小值为；（6）解：为定值，即含项为0，观察系数，，或，①或②，解不等式组①得，解不等式组②，无解，当时，原式为定值．此时，．故答案为：；．【点睛】本题考查的是两点间的距离公式，解题的关键明白两点间的距离就是两点表示的两个数差的绝对值．5．【问题提出】的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．所以a到1和2的距离之和最小值是1．【问题解决】（1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：的最小值是_____；（2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______；（3）的最小值为_____；（4）的最小值为_____．【拓展应用】如图⑤，已知a到，2的距离之和小于4，请写出a的范围为_____．【答案】【问题解决】（1）这个数在数轴上对应的点到2和4两个点的距离之和，2；（2）2，3；（3）9；（4）1023132；【拓展应用】【分析】【问题解决】（1）根据题目提供的方法，说明即可；（2）根据题目提供的方法，当在2和4之间，且处于中点时，即当时，最小；（3）根据题目提供的方法，当在1和6之间，且处于中点时，所求式子最小；（4）根据题目提供的方法，当在1和2022之间，且处于中点时，即当时，所求式子最小；【拓展应用】分①当时，②当时，③当时，求出的范围，再合并即可．【解析】解：【问题解决】（1）根据题目提供的方法，可知：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；此时最小值为2；故答案为：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；2；（2）根据题目提供的方法，可知：当处于2和4的中点，即时最小，最小值为：；故答案为：2；3；（3）根据题目提供的方法，可知：当在1和6之间，取最小值，当在2和5之间，取最小值，当在3和4之间，取最小值，∴当在3和4之间，所求式子最小；不妨取，最小值为：；故答案为：9；（4）总结规律可知，最中间一个数或者中间两个数之间取最小值.1，2，3，4，的中间数为：1012；故答案为：；【拓展应用】使它到，2的距离之和小于4，，①当时，则有，解得：．；②当时，则有，；③当时，则有，解得：，；由①②③不得式得出：．故答案为：．【点睛】本题考查数轴、绝对值的几何意义，简单的一元一次不等式的解法等知识，解题的关键是理解题目提供的方法，灵活运用这一方法解题．6．（问题提出）的最小值是多少？（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离．就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：

（1）如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．所以到1和2的距离之和最小值是1．（问题解决）（1）的几何意义是．请你结合数轴探究：的最小值是．（2）请你结合图④探究：的最小值是，此时a为．（3）的最小值为．（4）的最小值为．（拓展应用）（5）如图⑤，已知到－1，2的距离之和小于4，请写出的范围为．【答案】（1）这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）9；（4）1021110；（5）【分析】（1）根据题目提供的方法，说明即可；（2）根据题目提供的方法，当在1和3之间，且处于中点时，即当时，最小；（3）根据题目提供的方法，当在1和6之间，且处于中点时，所求式子最小；（4）根据题目提供的方法，当在1和2022之间，且处于中点时，即当时，所求式子最小；（5）分①当时，②当时，③当时，求出的范围，再合并即可．【解析】解（1）根据题目提供的方法，可知：这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；此时最小值为3；故答案为：这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；3；（2）根据题目提供的方法，可知：当处于1和3的中点2，即时最小，最小值为：；故答案为：2；2；（3）根据题目提供的方法，可知：当在1和6之间，且处于中段，即处于3和4之间时，所求式子最小；不妨取，最小值为：；故答案为：9；（4）1，2，3，4，的中间数为：1011；故答案为：1021110；（5）使它到，2的距离之和小于4，，①当时，则有，解得：．；②当时，则有，；③当时，则有，解得：，；由①②③不得式得出：．故答案为：．【点睛】本题考查数轴、绝对值的几何意义，简单的一元一次不等式的解法等知识，解题的关键是理解题目提供的方法，灵活运用这一方法解题．题型3：新定义题型7．阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：(1)若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为___________；(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为___________，点B表示的数为___________；(3)点A表示的数为-6，点C，D表示的数分别是-4，-2，点O为数轴原点，点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有___________；②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求t的所有整数值，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”．【答案】(1)(2)，(3)①，；②2，4，5【分析】（1）根据新定义求解即可；（2）根据新定义设未知数列方程求解；（3）①根据新定义列不等式求解；②根据新定义列不等式组组求解．【解析】（1）解：，故答案为：；（2），，故答案为：，；（3）设B表示的数为，①，所以整数m的值为：，，故答案为：，；②由题意得：A表示的数为：，D表示的数为：，O可以为点A与点B的“雅中点”，B表示的数为：，∵点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），，解得：，t的所有整数值为：2，3，4，5，时，，此时B表示的数为0，因此不符合题意，舍去，故满足条件的t的值为2，4，5．【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键．8．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．

(1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______；(2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；(3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围．【答案】(1)，2(2)或或；(3)a的取值范围是．【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．【解析】（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1，又∵，∴连动数Q的范围为：或，∴连动数有，2；故答案为：，2；（2）解：，得：，得：，要使x，y均为连动数，或，解得或，或，解得或，∴或或；（3）解：解得：，∵解集中恰好有3个解是连动整数，∴四个连动整数解为，1，2，∴，∴∴a的取值范围是．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，9．深化理解：新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…试解决下列问题：(1)填空：①________，________（为圆周率），________；②如果，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；(3)求满足的所有非负实数的值．【答案】(1)①7，3，4；②(2)；(3)，，，．【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；（3）利用，为整数，设，k为整数，则，得出关于k的不等关系求出即可．【解析】（1）解：①由题意可得：，（为圆周率），∵，∴；故答案为：7，3，4；②∵，∴，∴；故答案为：；（2）解：解不等式组得：，由不等式组整数解恰有4个得，，故；（3）解：∵，为整数，设，k为整数，则，∴，∴，，∴，∴，1，2，3，则，，，．【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．题型4：一元一次不等式（组）的实际应用10．某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元，(1)求出与之间的函数关系式；(2)要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调()元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润．【答案】(1)(2)购买方案共有3种(3)元【分析】（1）设购进电冰箱x台，根据“总利润=冰箱利润+空调利润”列出函数解析式即可解答；（2）由“购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元”列出关于x的不等式组，求得x的取值范围即可得；（3）由（2）中相等关系列出新的函数解析式，根据一次函数性质分情况讨论即可得．【解析】（1）解：设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元，根据题意有：，整理，得：．∴与之间的函数关系式为；（2）解：∵购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，∴，解得：．∵总利润不低于16400元，∴，即，解得：，∴．∵x为整数，∴x的取值可以为34，35，36，∴购买方案共有3种．（3）解：根据题意有：，整理，得：．当时，，∴此时y随x的增大而减小，∴当时，y最大，；当时，，∴此时y随x的增大而增大，∴当时，y最大，；当时，．∴最大利润为元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出数量关系是解题的关键．11．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：最大装载量（吨）A型货车B型货车甲种货物75乙种货物37(1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.(2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元?(3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，，且m，n均为整数.则___________，____________.【答案】(1)三种方案(2)A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为（元）(3)40

45【分析】（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆，列出不等式组，求整数解即可；（2）根据三种方案判断即可；（3）根据二元一次方程，求整数解即可．【解析】（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆，，解得：，因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．（2）使用A种货车费用600元，B种货车800元，，在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为：（元）；（3）在（2）的方案下，由题意得：，，，，解得：，经验算，只有当时，m=为整数，其余n的取值不符合要求，此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式（组）解决问题．12．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张(2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；(3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可；（2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答；（3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论．【解析】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据题意可得方程，解得，该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；（2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，由题意可得，解得，是正整数，或17，或13，故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；（3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，售出后的利润为（元），，即，是正整数，，②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，售出后的利润为（元），，即，是正整数，无解，综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组．题型5：二元一次方程组的特殊解法13．若方程组的解是，则方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将方程组变形为，进而可得到，求解即可．【解析】解：方程组变形为，∴由题意知，，解得，故选：C．【点睛】本题考查解二元一次方程组，学会运用整体代入的思想是解题的关键．14．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；④x，y都为自然数的解有5对．以上说法中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．【解析】解：将代入原方程组得，解得，将代入方程左右两边，左边，右边，∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；方程组得，若，则，解得，故②正确；∵，，∴两方程相加得，∴，∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；∵，∴x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．故选：D【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．15．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得．(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．(2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______．(3)请你用上述方法解方程组【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可；（2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可；（3）令则原方程组为，再解出这个方程组即可求解．【解析】（1）解：对于，令，则原方程组可化为，解得：，∴，即，解得：；（2）解：∵方程组的解是，∴，解得：．（3）解：依题意，令则原方程组为，即得，解得：，得，，解得：∴得，，解得：得，，解得：，∴原方程组的解为．16．已知有理数x、y满足方程①，②，求和的值．通过读题小凯发现题目中给出的方程是有两个未知数的方程，我们没有学习过，求值的代数式也有两个未知数．小凯观察发现如果方程①，方程②的左侧对应着相减，即：化简后恰好出现代数式，方程①的左侧与方程②的左侧的2倍相加，即：化简后恰好出现代数式，依据所学知识可得：；，因此，小凯求出：，，请你按照小凯思路解决下列问题：(1)如果，那么，；(2)小凯为班集体购买活动奖品，第一次他购买了15支铅笔、5块橡皮、4本日记本共花了75元，第二次他购买了29支铅笔、9块橡皮、7本日记本共花了140元，第三次老师让小凯购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需要多少元？(3)对于有理数x、y，我们定义一个新运算：，等式右边是我们学习过的加法和乘法运算，其中a、b、c是常数，x，y是未知数．如果，计算的值．【答案】(1)(2)60(3)【分析】本题考查了二元一次方程的特殊解法，准确理解题意是解题的关键．（1）将两方程相加，再乘以，即可求解；将化为即可求解；（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每个笔记本z元，根据题意得出，再将化为并求值，再求出即可；（3）先根据新定义的公式得出，再表示出，即可求解；【解析】（1），，故答案为：；（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每个笔记本z元，由题意得，∴，∴，∴购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需要60元；（3）∵，∴，∴，∴．题型6：二元一次方程组与一元一次不等式组17．已知关于的方程组满足，若，则的取值范围是．【答案】【分析】先把z看作常数，解x和y的方程组，再根据x和y的取值范围得出z的取值范围，然后用z表示S，根据z的取值范围可得S的取值范围．【解析】解：，①×2+②得，即，将代入①可得，可得，∴，又∵，∴，解得，∴，．即．故答案为：．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式．本题中以z建立方程组和不等式的联系，在解方程组时可用含z的代数式表示x和y，利用z表示S，求出z的取值范围即可得出S的取值范围．熟记并理解不等式的性质是解决此题的关键．18．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”(1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；(2)若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．【答案】(1)③(2)14或15(3)【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断；（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；（3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出．【解析】（1）解方程得，解①得：，故方程不是①的“梦想解”；解②得：，故方程不是②“梦想解”；解③得：，故方程是③的“梦想解”；故答案为：③（2）解方程得：∴∵解是不等式组的梦想解∴∴m为整数，∴m为14或15；（3）解不等式组得：，不等式组的整数解有7个，令整数的值为，，，，，，则有：，．故，且，，，，，解方程得：，方程是关于的不等式组的“梦想解”，，解得，综上的取值范围是．【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．19．新定义：若方程组的解是，则称是方程组的“解点”．如果两个方程组的“解点”在平面直角坐标系中关于轴对称，那么我们称这两个方程组互为“H方程组”．例如，方程组（1）的解点是，方程组的解点是，因为点与点关于轴对称，所以我们称方程组（1）与方程组（2）互为“H方程组”．(1)下列与方程组互为“H方程组”的是．①；②；③(2)方程组（1）的解点在第三象限，且与方程组（2），互为“H方程组”，求的取值范围．(3)方程组与方程组互为“H方程组”，求正整数，，的值．【答案】(1)②(2)；(3)【分析】（1）分别求得各方程组的解，利用互为“H方程组”定义判断即可；（2）设方程组的解点是，则方程组的解点是，得到方程组，根据解点在第三象限，列得不等式组求解即可；（3）设方程组的解点是，则方程组的解点是，得到，解方程组即可求得正整数，，的值．【解析】（1）解：解方程组得，，∴方程组的解点是，解方程组①得，，∴方程组的解点是，与不是关于y轴的对称点，∴①不符合题意；解方程组②得，，∴方程组的解点是，与是关于y轴的对称点，∴②符合题意；解方程组③得，，∴方程组的解点是，与不是关于y轴的对称点，∴③不符合题意；故答案为：②；（2）解：由于方程组与方程组，互为“H方程组”，设方程组的解点是，则方程组的解点是，∴，解得，∵解点在第三象限，∴，解得；（3）解：由于方程组与方程组互为“H方程组”，设方程组的解点是，则方程组的解点是，∴，①②得，，代入②得，，由③得，整理得，∵，为正整数，∴，∴，代入④得，∴，∴，【点睛】本题考查了新定义，三元一次方程组的解，解不等式，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解解点以及“H方程组”的定义是解题的关键．题型7：一次方程组的实际应用20．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜）甲乙丙每辆汽车能满装的吨数211.5每吨蔬菜可获得利润（百元）574公司计划用20辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜36吨到某地销售（每种蔬菜不少于1车），(1)试分析：有几种可能的方案？(2)如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)21种(2)安排装运甲种蔬菜的汽车为18辆，乙种蔬菜的汽车为1辆，装运丙种蔬菜的汽车为1利润，最大利润为193百元【分析】（1）设装运甲种蔬菜的汽车为x辆，乙种蔬菜的汽车为y辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出二元一次方程，根据每种蔬菜不少于1车得到不等关系，即可求解；（2）设利润为w元，可以得到出，然后x取（1）中的数值，并根据不等式的性质求解即可．【解析】（1）解：设装运甲种蔬菜的汽车为x辆，乙种蔬菜的汽车为y辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意，得，化简得，∴，∵每种蔬菜不少于1车，∴，，，∴，，∴当时，，2，3，4，5，6，当时，，2，3，4，5，当时，，2，3，4，当时，，2，3，当时，，2，当时，，∴一共有种方案；（2）解：设利润为w元，根据题意得，当时，，∵∴，∴w有最大值为，当时，，∵∴，∴w有最大值为，当时，，∵，∴，∴w有最大值为，当时，，∵∴，∴w有最大值为，当时，，∵∴，∴w有最大值为，当时，，∴，综上，安排装运甲种蔬菜的汽车为18辆，乙种蔬菜的汽车为1辆，装运丙种蔬菜的汽车为1辆时，公司获得最大利润，最大利润为193百元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用以及不等式组的应用，明确题意，正确列出方程与不等式，是解答本题的关键．21．为响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小军家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小军主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小军将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的25%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3(1)求爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比；(2)求爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比．【答案】(1)(2)【分析】（1）设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z．可列方程：，可得，则此时，A区：，B区：，C区：z，由爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，可列方程：，可得，从而可得答案；（2）设将C区面积的分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为．由三个区域的面积比变为2：1：3，可得方程：，从而可得答案．【解析】（1）解：设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z．则小军将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%，可列方程：，解得：，则此时，A区：，B区：，C区：z，由爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，所以A、B两区面积之和等于C区面积，可列方程：，解得：，∴爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比为．（2）设将C区面积的分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为．由三个区域的面积比变为2：1：3，可列方程：解得：，∴爸爸从C区划分给B区的面积为：，则爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为：，【点睛】本题考查二元一次方程的综合应用题，根据A、B、C三个区域分别设未知数，根据题干找到等量关系列出方程找出比值即可．22．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解；（2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解；②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解．【解析】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由题意得：，解得：，答：第一次购进