2024年广西贵港市港南区中考数学四模试卷 （解析版）

2024年广西贵港市港南区中考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的绝对值是（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．【详解】解：的绝对值是，故选：C．2.习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：根据轴对称图形的定义，选项A、B、C中的图形都能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；选项D中的图形不是轴对称图形，符合题意，故选：D．3.近年来我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米（1纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为（）A.毫米 B.毫米 C.毫米 D.毫米【答案】C【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：5纳米毫米毫米，故选：C．4.如果经过点A，B的直线平行于y轴，则A，B两点坐标之间的关系是（）A.横坐标相等 B.纵坐标相等C.横坐标互为相反数 D.纵坐标互为相反数【答案】A【解析】【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于y轴的直线的横坐标相同，作答即可．【详解】解：∵经过点A，B的直线平行于y轴，∴A，B两点坐标的横坐标相等；故选A．5.如图，中，弦，相交于点，，，则的大小是（）A.45° B.35° C.55° D.25°【答案】B【解析】【分析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数，△APC中，由三角形的内角和求出∠C的度数，由此得解．【详解】解：∵，

∴∠C=180°-∠APC-∠A=180°-105°-40°=35°；

∴∠B=∠C=35°；

故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的内角和．能结合定理正确识图是解题关键．6.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）A.守株待兔 B.水中捞月 C.水滴石穿 D.百发百中【答案】B【解析】【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．7.下列运算正确的是（）A.（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B.（ab2）2＝ab4C.x6÷x2＝x3 D.（a+b）2＝a2+b2【答案】A【解析】【分析】直接利用乘法公式结合整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【详解】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正确，符合题意；B、（ab2）2＝a2b4，故原式错误，不合题意；C、x6÷x2＝x4，故原式错误，不合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原式错误，不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了平方差公式及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．8.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等求解即可．【详解】光线平行于主光轴，，，，，，．故选B．9.如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（）A. B.当时， C.当时， D.当时，【答案】D【解析】【分析】由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系，设电流与电阻之间的函数关系为，根据点在函数的图象上得，进行计算得电流与电阻之间的函数关系为，当时，则，解得，由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，则当时，；当时，则，得；当时，则，计算得，由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，当时，；综上，即可得．【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系，设电流与电阻之间的函数关系为，∵点在函数的图象上，∴，解得：，∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意；当时，则，∴，由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，∴当时，，故B选项错误，不符合题意；当时，则，∴，故C选项错误，不符合题意；当时，则，∴，由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x增大而减小，∴当时，，故D选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．10.孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》．按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．设每块条形石的重量为，根据题意可知：20块条形石的重量个搬运工的重量块条形石的重量个搬运工的重量，然后列出方程求解即可．【详解】解：设每块条形石的重量为，由题意可得：，解得，即每块条形石的重量为．故选：D．11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（）A.1米 B.2米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．【详解】解：连接，交于，由题意得：米，，米，（米），，（米），米，即点到弦所在直线的距离是米，故选：C．12.已知二次函数在时有最小值−2，则()A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线，进而分和两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数对称轴为直线，当m>0时，在时有最小值−2，当x=1时，，；当时，在时有最小值−2，当时，，；综上所述，或，故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分．13.单项式的次数是_________．【答案】3【解析】【详解】解：单项式的次数是2+1=3．故答案为3．14.若分式值为0，则x的值是______．【答案】1【解析】【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．【详解】解：根据题意，得x−1＝0且2x＋1≠0，解得：x＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，注意：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．15.在英语单词teacher中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是_____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．直接由概率公式求解即可．【详解】解：在英语单词teacher中任意选出一个字母，共有7种等可能的结果，其中选出的字母为的结果有1种，选出的字母为的概率是，故答案为：．16.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义可得，则去分母可得，再解方程后并检验即可得到答案．详解】解：∵，∴，∴，∴，解得，检验，当时，，∴，故答案为；．17.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为_____________（结果精确到0.1）（参考数据：，，）【答案】38.5【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点A作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解：过点A作，垂足为，则，，，，，在中，，．点A到的距离约为38.5．故答案为：38.518.如图，过点O作直线与双曲线（k≠0）交于A，B两点，过点B作轴于点C，作轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是________．【答案】【解析】【分析】过点A作轴于点M，得到，，证明，利用三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，列式解答即可．【详解】解：过点A作轴于点M，如图所示．∵轴，轴，轴，∴，，∵．轴，轴，∴，∴，，∴，，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键．三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.计算：．【答案】【解析】【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【详解】解：．20.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．【详解】解：原式，当时，原式．21.如图，在中，平分，交于点．（1）实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．【答案】（1）见解析（2），证明见解析【解析】【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定．（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图；（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：，证明如下：平分，，四边形是平行四边形，，，，．22.随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）b．七年级学生成绩在这一组的是：80，，81，82，82，83，，84，84，85，86，，87，88，89，89；c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：年级统计量平均数中位数七年级m八年级85根据以上信息，解答下列问题：（1）表中m的值为；（2）小航此次大赛的成绩为83分，在被抽取的50名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小航是哪个年级的学生，并说明理由；（3）若成绩90分及以上为优秀，七年级共有学生400名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数；（4）请对七、八年级学生这次大赛的成绩作出合理的评价．【答案】（1）82（2）小航是七年级的学生，理由见解析（3）本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人（4）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；（2）根据中位数的意义解答即可；（3）用400乘以样本中90分及以上的人数所占比例即可；（4）根据两个年级的平均数、中位数解答即可．【小问1详解】解：由题意得，把七年级学生成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩分别为82分，82分，故，故答案为：82；小问2详解】小航是七年级的学生，理由如下：因为83大于82，他的成绩超过了被抽取的七年级学生成绩的中位数；【小问3详解】（人），答：本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人；【小问4详解】八年级学生成绩的平均数比七年级学生成绩的平均数大，八年级学生成绩的中位数比七年级学生成绩的中位数大，所以八年级学生的成绩要比七年级学生的成绩好（答案不唯一）．【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数以及加权平均数，解答本题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23.如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．（1）求证：；（2）若，米，求车轮的直径的长．【答案】（1）见解析（2）直径【解析】【分析】（1）如图，连接，利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，进而三角形内角和定理证明即可；（2）过点作于点．设米，米，根据，构建方程求解即可．【小问1详解】证明：如图，连接，是切线，，是直径，，，，，，；【小问2详解】解：过点作于点．，可以假设米，米，（米），，（米），（米），，，解得，，直径．【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.根据以下素材，探索完成任务．如何设计板材裁切方案？素材1图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．素材2因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）我是板材裁切师任务一拟定裁切方案若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．任务二确定搭配数量若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？【答案】任务一：见详解；任务二，240张学生椅【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可；任务二：根据50张该型号板材,以及学生椅的尺寸列式，即可本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程．【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据题意得：，，，为非负整数，或或，则方法一：裁切靠背16张和坐垫0张；方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；任务二：依题意，（张，该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；25数学兴趣小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论，展示方法如下：小丽的方法：如图（1），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则．小丽的理由：，，．（依据是：______）小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点，的点，连接，，在和上分别取点和，使，，连接，测出的长，则．小强的理由：，，是的中位线，．（依据是：______）小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长．小方的方法：如图（4）在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度．请根据以上方法按要求完成以下问题：（1）填空：小丽的方法依据是；小强的方法依据是；（2）若按照小亮的方法，测出m，m，m，请你求出池塘的宽度；（3）若按照小方的方法，测得，的长度为34米，求池塘的宽度．【答案】（1）等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半（2）池塘的宽度为20m（3）池塘的宽度为米【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形的中位线定理可求解；（2）通过证明，可得，即可求解；（3）由特殊角的三角函数可求解．【小问1详解】解：小丽的理由：，，（依据是：等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合）；小强的理由：，，是的中位线，．（依据是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）；故答案为：等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；【小问2详解】解：，，，，，，，池塘的宽度为20m；【小问3详解】解：，，的长度为34米，，，池塘的宽度为米．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．26.综合与应用如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：水平距离x（m）011.5竖直高度y（m）10106.25根据上述数据，求出