2022版新教材数学必修第二册（人教B版）分课时全册教学案（共34课时）含答案

4.1.1实数指数惠及其运算

m

通过对有理款指数基且；加，〃为整数，且〃、实数指

最新课aG(a>0,a#l>0)

程标准数寐且aWl:xWR)含义的认识，了解指数簌的拓展过程，掌

握指数幕的运算性质.

新知初探旧主学习一突出基础性

知识点一n次方)限及根式的概念

1.。的〃次方根的定义

如果,那么k叫做a的〃次方根，其中心1,且“GN*.

2.〃的〃次方根的表示

(I)当〃是奇数时，a的〃次方根表示为,共.

(2)当〃是偶数时，。的〃次方根表示为,其中________表示。的负的〃

次方根，.

3.根式

式子叫做根式，这里八叫做,a叫做.

状元随笔根式的概念中要求n>l,且n£N”.

知识点二根式的性质

(l)(Va)n=(〃£R+,且〃>1)；

_____(n为奇数，且n>1),

⑵W=.(n为偶数，且n>

状元随笔(%)”中当n为奇数时，a£R；〃为偶数时，心0,而府中a£R.

知识点三分数指数鞋的意义及有理数指数幕的

运算性质

1.分数指数幕的意义

分数指数基

正分数m

规定：a^=_______3>0,"I,〃£N',且〃>1)

指数累

负分数

规定：a"___________（。>0,加，〃£N*,且〃>1）

指数累a*n

性质0的正分数指数塞等于____一，0的负分数指数箱______

2.有理数指数基的运算性质

(1W=；(a>0,r,s£Q)

(2)(0$=:(公0,r,s£Q)

(3)W=.(a>0,b>0,r£Q)

3.无理数指数累

无理数指数幕。“伍>0,a是无理数)是一个.有理数指数基的运算性质对于

无理数指数塞同样适用.

基础自测

1.J（口-4）2+n等于（）

A.4B.2%一4

C.2兀—4或4D.4—2兀

2.6=3（">0）,则b等于（）

A.34B,3?

C.43D.35

3.（多选）下列各式错误的是（）

A.7（-3）2=-3B.V?=a

C.（g）3=-2D.（（-2尸=2

课堂探究素养提升强化创新性

利用根式的性质化简求值［经典例题］

例1(1)下列各式正确的是()

A.B.a0=\

C.V（-4）4=-4D.V（-5）s=-5

（2）计算下列各式：

①.

②4（3_71）6=_______.

展一侬--------.

③

首先确定式子府中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果.

方法归为

根式化简或求值的策略

(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用

根式的性质进行化简或求值.

(2)开偶次方时，先用绝对值是示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合

条件或分类讨论.

跟踪训练1求下列各式的值：

⑴7^2)3：

⑵y(^；

⑶V(3-TT)8；

(4)“2—2xy+y2+J7&(y-x)7.

由根式被开方数正负讨论x2y,x<y两种情况.

■码根式与分数指数幕的互化［经典例题］

例2(1)将分数指数幕aF3>0)化为根式为.

(2)化简：(滔炳十&I7^)=_______(用分数指数基表示).

(3)将下列根式与分数指数'幕进行互化.

①Va^.

②Va-4b2Vab2(a>0,Z?>0).

利用根式与分数指数基的性质意义化为根式或分数指数嘉.

方在拉的

根式与分数指数幕互化的方法及思路

(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数J地》分数指数的分

子.

(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数暴的形式，然后利用有理数指

数幕的运算性质解题.

提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数繇写出.

跟踪训练2下列根式与分数指数累的互化正确的是()

A.—Vx=(—x)2(x>0)

B.VF=yW()y。)

c.xT=犯7(x>0)

D.x~3=—弧(xRO)

A：—《先把4=x5再加上一.

B：注意yvO.

C：负指数次靠运算.

分数指数幕的运算与化简［教材P7例引

例3化简下列各式:

m+m-1+2

⑴

m-2+m2

_+1

【解析】⑴原式=等x5XX34XyH4=24x°y6=24y6.

22

八店｝_(ml)+2mlm4+(m4y_(ml+m4)

(2)原式=121=T7-

m2+m_2m2+m-2

=m2+m2.

状元随笔①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成帚的形式，再利用哥的

乘方进行运算；②对于零次暴，直接运用aO=l(aWO)得出结论；③底数为带分数的化成假

分数，进而将底数化成鬲的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，

再算乘除，最后算加减.

数材反思

利用指数幕的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数球的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分款指数球，化小数为分

数，同时兼顾运算的顺序.

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行

化简运算.

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数瓶的形式表示.

跟踪训练3计算:

(1)(-1.8)。+(|)2.与子一焉+回

⑵(/。＞0).

0.1-2(a3b~3)2

状元随笔先把根式化为分数指数箱再运用指数累的运算法则计算.

4.1.1实数指数幕及其运算

新知初探咱主学习

知识点一

1.xT=a

2.(1)y[aR(2)±Va~Va[0,+«>)

3.VS根指数被开方数

知识点二

⑴〃(2)a\a\

知识点三

L黄行卷0无意义

2.(\)ar+s(2)^(3)arhr

3.确定的实数

[基础自测]

1.解析：，(ir-4)2+兀=4一兀+兀=4.故选A.

答案：A

2.解析：因为〃=3(比>0),."=，5=3；.

答案：B

3.解析：由于#=3,V资=|。|,秋节=—2,故选项A,B,D错误.

答案：ABD

课堂探究•素养提升

例1【解析】(1)由于府=(同‘"为彳瞥’则选项A,C排除，D正确，B需要加

Ia,九为奇数

条件nWO.

Q)①

②((3-n)6=1(71-3)6=兀_3.

③斤得肾-肾-希=+W

【答案】(1)D⑵①一②兀-3©i

跟踪训练1解析：(1)及二取=—2；

(2)V(-3)2=V37=V3；

(3)7(3-n)8=|3-7t|=7r-3：

(4)原式=J(%—y)z+y—x=|x-y|+y—x.

当x^y时，原式=%—)，+>—x=0；

当x<y时，原式=y—x+y—i=2(y-x).

所以原式=f°,X-y，

12(y—x),x<y.

例2【解析】(1)a4=4=^

a彳Va

(2)(a2-7a3)-?(Va-1Va^)=(a2-a5)-?(a2-aw)=aT4-as==as

(S/Do3-V?=«3-a3=a3+i=aT.②Ja-4b2%b?=Ja-4b2(ab2)3=Ja-4b2a*bW=

_1181，4

a-Tb3=a~b3.

【答案】(1)七(2)at(3)@aT②a」舞

跟踪训练2解析：一五一"(Jf>0);y^2=(y2)Z=-y5(j'<0);

一=(%-3)；=衿(x>0)；

一=(**中)

答案：C

跟踪训练3解析：(1)原式=1+图2.仔r-]0+9\i+(|)2.C)2-]0+27=29-10

=19.

(2)原式=4次I?.需1=2X京X8=5

4.1.2指数函数的性质与图像

(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.

展折课

能用描点法或借助计算工具囱出具体指数函数的图像，探索并理解指

程标准(2)

数函数的单调性与特殊点.

新知初探店主学习——突出基础性

知识点一指数函数的定义

函数(a>0且aWl)叫做指数函数，其中x是自变量.定义域为R.

状元随笔指数函数解析式的3个特征

(1)底数a为大于0且不等于1的常数.

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.

(3)a、的系数是I.

知识点二指数函数的图像与性质

a>\0<«<1

y.Ey=tf*

'/(«>1)L

图像

8,1)(0.1)

0xF*

定义域

性值域

质过定点过点______,即刀=______时，y=______

函数值当心>0时，_______；当x>0时，________；

的变化当XV。时，________当XV。时，________

单调性是R上的________是R上的________

状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a>l时,

指数函数的图像是“上升”的；当0<a<l时，指数函数的图像是“下降”的.

第1课时指数函数的概念

基础自测

1.下列各函数中，是指数函数的是()

A.y=(一3尸B.y=~3x

C.y=31D.y=(9”

2.函数八%)=五餐的定义域为()

A.RB.(0,+C.［0,+―)D.(—8,0)

3.在同一坐标系中，函数y=2"与y=G尸的图像之间的关系是()

A.关于y轴对称B.关于彳轴对称

C.关于原点对称D.关于直线y=x对称

课堂探究•素养提升——强化创新性

指数函数概念的应用［经典例题］

例1(I)若指数函数/)=(2〃-iy是R上的减函数，则实数。的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,+8)

C.61)

D.(一8,))

(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且aWl,a*的系数是1.

(2)指数函数)，=/)的图像经过点(-2,》，那么人4)贝2)等于.

(2)先设指数函数为f(x)=ax,借助条件图像过点(一2,$求a,最后求值.

【解析】⑴由已知，得0<2°—1<1,则/<1,所以实数。的取值范围是g1).

(2)设y=y(x)=a*(4>0,且aWl),所以2=：,所以。=2,

所以人4)火2)=24乂22=64.

【答案】(1)C(2)64

方弦归附

(1)判断一个函数是指数函数的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合丁=炉(公>0,且。六1)这一结构特征.

②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数.

(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

跟踪训练1⑴若函数尸(3一%)，为指数函数，则实数。的取值范围是

1.指数函数系数为1.

2.底数)0且卢1.

(2)下列函数中是指数函数的是.(填序号)

®y=2-(V2)r©y=2x~}③y=(》"④y=V⑤y=3心⑥/=金

指数函数

例2已知指数函数九0="(心0,且aWl),且43)=兀，求40),贝1),3)的值.

状元随笔要求f(0),f(I),f(—3)的值，应先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值.

激材反思

求指数函数的解析式,of,一效采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用巳知

条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数由数的概念是解决这类

问题的关键.因为底数。是大于0且不等于1的实数，所以。=一3应舍去.

跟踪训练2若指数函数火彳)的图像经过点(2,9),求人力的解析式及人一1)的值.

设f(x)=ax,代入(2,9)求出a.

4.1.2指数函数的性质与图像

新知初探咱主学习

知识点一

y=ax

知识点二

R(0,+8)(0,I)01y>\0<><1(Xy<ly>\增函数减函数

第1课时指数函数的概念

［基础自测］

1.解析：根据指数函数的定义且〃W1)可知只有D项正确.

答案：D

2.解析：要使函数有意义，则2*—1>0,・・.2A,・・・Q0.

答案：B

3.解析：由作出两函数图像可知，两函数图像关于)，轴对称，故选A.

答案：A

课堂探究•素养提升

跟踪训练1解析：(I)若函数y=(3一勿尸为指数函数，

则［3一2。>0,解得“V；且不］

(3—2Q1,2

(2)①中指数式(遮》的系数不为1,故不是指数函数；②中y=21=；.2』，指数式2*的

系数不为1,故不是指数函数；④中底数为x,不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函

数；⑤中指数不是心故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是咤一确定的值，故不是

指数函数.故填③.

答案：(1)(一8,1)(2)@

例2【解析】因为人¥)=不，且43)=兀，则03=兀，解得。=疝，于是兀v)=市.

所以，<O)=7T0=1,/(I)=113=Vn»贝-3)=兀-1=，.

跟踪训练2解析：设於)=炉("0,且〃W1),将点(2,9)代入，得标=9,解得。=3

或。=—3(舍去).

所以人x)=3L所以人-1)=31=：

4.1.2指数函数的性质与图像

(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.

最新课

(2)能用描点法或借助计茸工具画出具体指数函数的图像，探索并理解指

程标灌

数函数的单调性与特殊点.

新知初探后主学习一突出基础性

知识点一指数函数的定义

函数(a>0且aHl)叫做指数函数，其中x是自变量.定义域为R.

状元随笔指数函数解析式的3个特征

⑴底数a为大于0且不等于1的常数.

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.

(39的系数是1.

知识点二指数函数的图像与性质

a>l0<«<1

定义域

性值域

质过定点过点______,即1=_____时，y=______

函数值当x>0时，_______；当4>0时，________；

的变化当x<0时，________当x<0时，________

单调性是R上的一是R上的一

状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a>l时,

指数函数的图像是“上升”的；当0<a<l时，指数函数的图像是“下降”的.

第1课时指数函数的概念

基础自测

1.下列各函数中，是指数函数的是()

A.尸(一3尸B.尸一3"

C.尸3门D.尸(：尸

2.函数的定义域为()

VZ八一1

A.RB.(0,+8)C.［0,+8)D.(一8,0)

3.在同一坐标系中，函数y=2,与丁=(｝》的图像之间的关系是()

A.关于y轴对称B.关于彳轴对称

C.关于原点对称D.关于直线y=x对称

课堂探究素养提升一强化创新性

睡里鼻指数函数概念的应用［经典例题］

例1(1)若指数函数於)=(2〃一1厂是R上的减函数，则实数。的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,+8)

C.(1,1)

D.(一8,1)

(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且aWl,ax的系数是1.

(2)指数函数)，=於)的图像经过点(・2,那么.44)火2)等于.

(2)先设指数函数为f(x)=ax,借助条件图像过点(一2,》求2,最后求值.

【解析】⑴由已知，得0<2°-1<1,则/<1,所以实数。的取值范围是弓，1).

(2)设了=火力="3>0,且。工1),所以2=%所以。=2,

所以八4)火2)=24乂22=64.

【答案】(1)C⑵64

方法但相

(1)判断一个函数是指数函数的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合)，=炉(心0,且1)这一结构特征.

②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数.

(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

跟踪训练1⑴若函数y=(3—2。为指数函数，则实数。的取值范围是

1.指数函数系数为1.

2.底数>0且NL

(2)下列函数中是指数函数的是,.(填序号)

①尸2・(近尸②尸2门③y=G尸④尸炉⑤尸3/©y=X3.

指数函数

例2已知指数函数人6="(心0,且aWl),且式3)=%，求人0)，犬1)，八一3)的值.

状元随笔要求f(0),f(l),f(—3)的值，应先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值.

数材反思

求指数函数的解析式时，一皴采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知

条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指教函数的概念是解决这类

问题的关键.因为底数4是大于0且不等于1的实数，所以。=一3应舍去.

跟踪训练2若指数函数段)的图像经过点(2,9),求«r)的解析式及人一1)的值.

设f(x)=ax,代入(2,9)求出a.

4.1.2指数函数的性质与图像

新知初探咱主学习

知识点一

y=ar

知识点二

R(0,+8)(0,I)01y>l0<}<1(Xy<ly>\增函数减函数

第1课时指数函数的概念

I基础自测］

1.解析：根据指数函数的定义y="(a>0且aW。可知只有D项正确.

答案：D

2.解析：要使函数有意义，则2、一1>0,・・・29,・・・Q0.

答案：B

3.解析：由作出两函数图像可知，两函数图像关于)，轴对称，故选A.

答案：A

课堂探究•素养提升

跟踪训练1解析：(1)若函数y=(3一加尸为指数函数,

3—2a>0,3,

则解传且aa#I.

3—2aH1,2

(2)①中指数式(遮》的系数不为1,故不是指数函数；②中丁=21=/2］，指数式2、的

系数不为1,故不是指数函数；④中底数为x,不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函

数；⑤中指数不是x,故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是

指数函数.故填③.

答案：（1）（一8,1）U（1,1）（2）③

例2【解析】因为人。=炉，且43)=兀，则苏=兀，解得。=彼，于是段)=n三.

所以，yco)=7t°=l,41)=市=诉，4-3)=兀一|=；.

跟踪训练2解析：设於)=/伍>0,且。工1),将点(2,9)代入，得标=%解得。=3

或。=—3(舍去).

所以外)=3].所以贝一1)=3一=：.

第2课时指数函数的图像和性质

基础自测

1.下列函数中是奇函数，且在(0,+8)上单调递增的是()

A.总B.y=|x|

C.y=2xD.y=x^

2.下列判断正确的是（）

A.1,5,5>1.52B.0.52<0.53

C.e2<V2eD.0.9°2>0.9°5

3.已知y=G)x，以=3"，9=10-"，川=10、则在同一平面直角坐标系内，它们的图

像为(）

4.已知函数/)=4+a'r(a>0且nW1)的图像恒过定点P,则点P的坐标是

课堂探究•素养提升——强化创新性

利用指数函数的单调性比较大小[教材P]2例1]

例1利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小:

(l)0.8-0J与0.8一。4(2)2.5。与2.5“”.

状元随笔对于(1)(2),要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可

以直接利用指数函数的单调性进行比较,可以利用函数y=0.8x和y=2.5x的单调性，以及“x

=0时，y=l”这条性质把它们联系起来.

数材以思

1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数

值的大小关系.

2.比较寐值大小的三种类型及处理方法

跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小:

⑴er"与©3；

⑵©)-0.5与(令-。.5；

(3)0.203与0.3。2.

底数相同，指数不同；

底数不同，指数相同：

底数不同，指数不同.

指数函数的图像问题［经典例题］

例2(1)如图所示是下列指数函数的图像：

⑴先由a>l,OVaVl两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像.

©y=av@y=bx

③),：d®y=dK

则a,b,c,d与1的大小关系是()

A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<dD.a<b<\<d<c

(2)当a>0且aWl时，函数44)=出一3一2必过定点.

(2)由y=ax过定点(0,1)来求f(x)过定点.

【解析】(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1,①②的底数一定小于1,然后再

由③④比较的大小，由①②比较a,8的大小.当指数函数的底数大于1时，图像上升，

且当底数越大，图像向上越靠近)轴；当底数大于。小于1时，图像下降，且当底数越小,

图像向下越靠近人轴，故选B.

(2)当。>0且“W1时，总有贝3)=〃-3-2=—1,所以函数兀0=炉一3一2必过定点(3,

-1).

【答案】(1)B(2)(3,-1)

方祛归购

指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为：

(1)无论指数函数的底数。如何变化，指数函数y=〃(a>0,a#l)的图像与直线x=l相

交于点(1,。)，由图像可知：在)，轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大.

(2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次

增大.

跟踪训练2(1)已知则指数函数①②/二次的图像为()

由底数的范围判断函数图像.

(2)若-1<6<0,则函数的图像一定在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限

解简单的指数不等式［经典例题］

例3(1)不等式3「2>1的解为；

(2)若优”>(》s-3x(a>o,且aWl),求x的取值范围.

状元随笔首先确定指数不等式对应函数的单调性,然后根据单调性确定X的取值范围.

方法扬他

解指数不等式应注意的问题

(1)形如的不等式，借助于函数)，=〃的单调性求解，如果〃的取值不确定，需

分与OVaVl两种情况讨论；

(2)形如的不等式，注意将b转化为以。为底数的指数寐的膨式，再借助于函数y

=〃的单调性求解.

跟踪训练3(1)解不等式G)”2-2<3；

(2)已知(小+2。+3尸>(Q2+2Q+3)1T,求x的取值范围.

⑴化成同底，确定指数函数的单调性.

(2)判断a2+2a+3的范围.

题型"指数函数性质的综合应用

例4已知函数«r)=a一荔匚(x£R).

(1)用定义证明：不论。为何实数，｛r)在(一8,十8)上为增函数;

(2)若贝工)为奇函数，求儿0在区间［1,5］上的最小值.

(1)用定义法证明函数的单调性需4步：

①取值：②作差变形；③定号；④结论.

(2)先由f(x)为奇函数求a,再由单调性求最小值.

方取旧时

(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数

的定义，根据五-x)=-/(x)或人一1)=外)，结合指数运算性质建立方程求参数；

(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用人0)=(),建立方程求参数.

跟踪训练4已知定义在R上的函数kr)=2x+S，。为常数，若«r)为偶函数,

Z*

(1)求。的值；

(2)判断函数应r)在(0,+8)上的单调性，并用单调性定义给予证明；

(3)求函数人》)的值域.

⑴由偶函数求a.

(2)4步法证明f(x)在(0,+8)上的单调性.

(3)利用单调性求最值，得值域.

第2课时指数函数的图像和性质

［基础自测］

1.解析：y=:在(0,十8)上单调递减，所以排除A；y=M是偶函数，所以排除B；y

=2、为非奇非偶函数，所以排除C.选D.

答案：D

2.解析：因为y=09，是减函数，且0.5>0.2,

所以0.90,2>0.9”

答案：D

3.解析：方法一>2=3、与)，4=@单调递增；川=(界与>3=10一"=(劫”单调递减，

在第一象限内作直线x=l,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.

方法二”=3"与山=10"单洞递增，且丁4=10'的图像上升得快，yi=G)x与”=3，的

图像关于y轴对称，与州=10"的图像关于y轴对称，所以选A.

答案：A

4.解析：令x—1=0,得x=l,此时/(1)=5.所以函数危)=4+a「i(a>0且。#1)的图

像恒过定点P(l,5).

答案：(1,5)

课堂探究•素养提升

例1【解析】⑴因为0.8一。」与0.8一。2都是以0.8为底的森值，声以考察函数y=0M

由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>—0.2,所以0.80,<0.8。2.

(2)因为2.5。与2.5“+i都是以2.5为底的森值，所以考察函数y=2.5],由于这个函数在实

数集R上是增函数，又因为所以2.5“<2.5内.

跟踪训练1解析：(1)因为OV^Vl,所以函数y=G尸在其定义域R上单调递减，又

-1.8>-2.5,所以

(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y=(g尸与)，=(:尸的图像，如图所示.当入二

一0.5时，由图像观察可得(§-°5>弓)-。£.

(3)因为0V0.2V0.3V1,所以指数函数y=0.2工与y=0.3，在定义域R上均是减函数，且

在区间(0,+8)上函数),=0.2、的图像在函数y=0.3、的图像的下方，所以0.2。・2<0.3。2.

又根据指数函数y=0.2、的性质可得0.2。，3<0.2。，2,所以0.2。3<0.3。&

跟踪训练2

解析：(1)由于OVznV〃V1,所以y=W与都是减函数，故排除A、B,作直线％

=1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y="的图像，故选C.

(2)Va>l,且一IVbVO,故其图像如右图所示.

答案：(1)C(2)A

例3【解析】(1)3-2>1=3'-2>3。=%一2>0=工>2,所以解为(2,+~).

(2)因为炉+|>(》5-30所以当时，y=炉为增函数，可得x+l>3x—5,所以xV

3.

当OVaVl时，y="为减函数，可得x+lV3x—5,所以x>3.

综上，当时，工的取值范围为(一8,3),

当0<。<1时，x的取值范围为(3,+8).

【答案】⑴(2,+8)(2)见解析

跟踪训练3解析：(1)(9/-2=(3-1濡-2=32一/，

，原不等式等价于32—/W3L

•・万=3,是R上的增函数，・・・2-/Wl.

1,即或xW—1.

・,・原不等式的解集是｛x|x21或-W-1｝.

(2)：々2+%+3=伍+1)2+2>1,

・・・y=32+2a+3》在R上是增函数.

解得

・・・x的取值范围是｛川力>，｝.

例4【解析】⑴证明：因为危)的定义域为R,任取为〈及，

则加)_*)=〃_岛'+嬴=(『；；')•

因为A1<A2,

所以25一2M<0,

又(1+2/)(1+2M)>0.

所以人为)一/(也)<0,即1为)</(%2).

所以不论4为何实数，氏丫)在(一8,+8)上为增函数.

(2)因为｛r)在x£R上为奇函数，

所以火0)=0,

即〃一£7=0，解得a=g.

所以府)=!一六，

由(1)知，为增函数，

所以弱造在区间口,5］上的最小值为逃1).

因为贝D=,_g=a

所以其t)在区间［1,5］上的最小值为;.

跟踪训练4解析：⑴由於)为偶函数得对任意实数x都有2、+葛=5+〃2成立，即

N八Lr

2P—4)=91—a),

23

所以1—a=0,

所以a=\.

⑵由⑴知危)=2叶表，段)在(0,+8)上单调递增.

证明如下：任取xi,x2e(0,+8)且X］V12,

则加)-M)=2'，+点—(2必+9)=(2右—20)+(2-9)=(2/—2&)+嘉嘉=

（2*'—2必）（1.）=（2%—2必）.^1

因为且汨，X2(0,+8),

所以2%〈2物，2MM>1,

所以/(X1)—/(X2)VO,即外1)〈/2),

所以逐X)在(0,+8)上单调递增.

(3)由(2)知人x)在［0,+8)上单调递增，

又由｛r)为偶函数知函数/U)在(-8,0］上单调递减,

所以人力利0)=2.

故函数式处的值域为［2,+<»).

第2课时指数函数的图像和性质

基础自测

1.下列函数中是奇函数，且在(0,+8)上单调递增的是()

A.YB.y=|x|

C.y=2xD.y=x^

2.下列判断正确的是（）

A.1,5,5>1.52B.0.52<0.53

C.e2<V2eD.0.9°2>0.9°5

3.已知y=G)x，以=3"，9=10-"，川=10、则在同一平面直角坐标系内，它们的图

像为(）

4.已知函数/)=4+a'r(a>0且nW1)的图像恒过定点P,则点P的坐标是

■;里行•坯卷.妄美坦并

利用指数函数的单调性比较大小［教材P］2例1］

例1利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小:

(l)0.8-0J与0.8一。4(2)2.5。与2.5“”.

状元随笔对于(1)(2),要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可

以直接利用指数函数的单调性进行比较,可以利用函数y=0.8x和y=2.5x的单调性，以及“x

=0时，y=l”这条性质把它们联系起来.

数材以思

1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数

值的大小关系.

2.比较寐值大小的三种类型及处理方法

跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小:

⑴er"与©3；

⑵©)-0.5与(令-。.5；

(3)0.203与0.3。2.

底数相同，指数不同；

底数不同，指数相同：

底数不同，指数不同.

指数函数的图像问题［经典例题］

例2(1)如图所示是下列指数函数的图像：

⑴先由a>l,OVaVl两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像.

©y=av@y=bx

③),：d®y=dK

则a,b,c,d与1的大小关系是()

A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<dD.a<b<\<d<c

(2)当a>0且aWl时，函数44)=出一3一2必过定点.

(2)由y=ax过定点(0,1)来求f(x)过定点.

【解析】(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1,①②的底数一定小于1,然后再

由③④比较的大小，由①②比较a,8的大小.当指数函数的底数大于1时，图像上升，

且当底数越大，图像向上越靠近)轴；当底数大于。小于1时，图像下降，且当底数越小,

图像向下越靠近人轴，故选B.

(2)当。>0且“W1时，总有贝3)=〃-3-2=—1,所以函数兀0=炉一3一2必过定点(3,

-1).

【答案】(1)B(2)(3,-1)

方祛归购

指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为：

(1)无论指数函数的底数。如何变化，指数函数y=〃(a>0,a#l)的图像与直线x=l相

交于点(1,。)，由图像可知：在)，轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大.

(2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次

增大.

跟踪训练2(1)已知则指数函数①②/二次的图像为()

由底数的范围判断函数图像.

(2)若-1<6<0,则函数的图像一定在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限

解简单的指数不等式［经典例题］

例3(1)不等式3「2>1的解为；

(2)若优”>(》s-3x(a>o,且aWl),求x的取值范围.

状元随笔首先确定指数不等式对应函数的单调性,然后根据单调性确定X的取值范围.

方法扬他

解指数不等式应注意的问题

(1)形如的不等式，借助于函数)，=〃的单调性求解，如果〃的取值不确定，需

分与OVaVl两种情况讨论；

(2)形如的不等式，注意将b转化为以。为底数的指数寐的膨式，再借助于函数y

=〃的单调性求解.

跟踪训练3(1)解不等式G)”2-2<3；

(2)已知(小+2。+3尸>(Q2+2Q+3)1T,求x的取值范围.

⑴化成同底，确定指数函数的单调性.

(2)判断a2+2a+3的范围.

题型"指数函数性质的综合应用

例4已知函数«r)=a一荔匚(x£R).

(1)用定义证明：不论。为何实数，｛r)在(一8,十8)上为增函数;

(2)若贝工)为奇函数，求儿0在区间［1,5］上的最小值.

(1)用定义法证明函数的单调性需4步：

①取值：②作差变形；③定号；④结论.

(2)先由f(x)为奇函数求a,再由单调性求最小值.

方取旧时

(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数

的定义，根据五-x)=-/(x)或人一1)=外)，结合指数运算性质建立方程求参数；

(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用人0)=(),建立方程求参数.

跟踪训练4已知定义在R上的函数kr)=2x+S，。为常数，若«r)为偶函数,

Z*

(1)求。的值；

(2)判断函数应r)在(0,+8)上的单调性，并用单调性定义给予证明；

(3)求函数人》)的值域.

⑴由偶函数求a.

(2)4步法证明f(x)在(0,+8)上的单调性.

(3)利用单调性求最值，得值域.

第2课时指数函数的图像和性质

［基础自测］

1.解析：y=:在(0,十8)上单调递减，所以排除A；y=M是偶函数，所以排除B；y

=2、为非奇非偶函数，所以排除C.选D.

答案：D

2.解析：因为y=09，是减函数，且0.5>0.2,

所以0.90,2>0.9”

答案：D

3.解析：方法一>2=3、与)，4=@单调递增；川=(界与>3=10一"=(劫”单调递减，

在第一象限内作直线x=l,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.

方法二”=3"与山=10"单洞递增，且丁4=10'的图像上升得快，yi=G)x与”=3，的

图像关于y轴对称，与州=10"的图像关于y轴对称，所以选A.

答案：A

4.解析：令x—1=0,得x=l,此时/(1)=5.所以函数危)=4+a「i(a>0且。#1)的图

像恒过定点P(l,5).

答案：(1,5)

课堂探究•素养提升

例1【解析】⑴因为0.8一。」与0.8一。2都是以0.8为底的森值，声以考察函数y=0M

由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>—0.2,所以0.80,<0.8。2.

(2)因为2.5。与2.5“+i都是以2.5为底的森值，所以考察函数y=2.5],由于这个函数在实

数集R上是增函数，又因为所以2.5“<2.5内.

跟踪训练1解析：(1)因为OV^Vl,所以函数y=G尸在其定义域R上单调递减，又

-1.8>-2.5,所以

(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y=(g尸与)，=(:尸的图像，如图所示.当入二

一0.5时，由图像观察可得(§-°5>弓)-。£.

(3)因为0V0.2V0.3V1,所以指数函数y=0.2工与y=0.3，在定义域R上均是减函数，且

在区间(0,+8)上函数),=0.2、的图像在函数y=0.3、的图像的下方，所以0.2。・2<0.3。2.

又根据指数函数y=0.2、的性质可得0.2。，3<0.2。，2,所以0.2。3<0.3。&

跟踪训练2

解析：(1)由于OVznV〃V1,所以y=W与都是减函数，故排除A、B,作直线％

=1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y="的图像，故选C.

(