2022届 一轮复习 数学 新高考版第五章 平面向量、复数

第五章平面向量、复数

第一节平面向量的概念及线性运算

核心素养立意下的命题导向

1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养.

2.结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养.

3.结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养.

基础-在微点清障中全面落实

［理清主干知识］

1.向■的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的大小平面向量是自由向量，可在平面

向量

叫做向量的K度（或称模）内自由平移

零向量长度为0的向量记作0,其方向是任意的

a

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±—

|a|

方向相同或相反的非零向量（又叫做

平行向量。与任一向量平行或共线

共线向量）

两向量只有相等或不相等，不能

相等向量长度相等且方向蛔的向量

比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向■的线性运算

向量

运算定义法则（或几何意义）运算律

（1）交换律:a+b=b

会+a；

加法求两个向量和的运算三角形法则

⑵结合律：（a+b）

平行怖边形法则

+c=a+（b+c）

求a与b的相反向量

减法-b的和的运算叫做a—b=a4"(—b)

三角方法则

a与b的差

Ra|=|Z||a|,当2>0时，za

的方向与a的方向相同；如a)=(i")a；

求实数2与向量a的

数乘当心0时，xa的方向与aG+〃)a=2a+"a；

积的运算

的方向相反;当i=0时，；.ia+b)=za+2b

；.a=0

3.共线向■定理

向量a（aWO）与b共线，当且仅当有唯一一个实数九使得b=Aa.

［澄清盲点误点】

一、关键点练明

1.（向量的有关概念）下列说法正确的是（）

A.方向相同的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度等于0

D.无？〃员就是高所在的直线平行于W方所在的直线

解析：选C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相

反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正

确；当前〃百时，春所在的直线与a所在的直线可能重合，故D不正确.

2.（多选•向量线性运算）下列各式中结果为零向量的为（）

A.~AB+BCVCA

B.^AB+MB+'BO+OM

C.~0A+0B+B0+CO

D.~AB-~AC¥BD-~CD

答案：AD

3.(共线向量定理)设a与b是两个不共线向量，且向量a+xb与一(b-2a)共线，则工

答案：弓

二、易错点练清

1.（多选•忽视零向量）下列命题中，正确的是（）

A.向量瓶的长度与向量前的长度相等

B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

D.零向量与任意数的乘积都为零

答案：AC

2.（忽视向量相等的条件）若四边形满足前〃就且|前|=|反则四边形

ABCD的形状是.

解析：当|入方|=|就|时，四边形A8CD是平行四边形；

当|茄|工|就|时，四边形4BC&是等腰梯形.

答案：平行四边形或等腰梯形

能力—在题点全析中补齐短板

考点一平面向量的基本概念

［典例］(1)已知a,b是两个非零向量，K|a+b|=|a|4-|b|,则下列说法正确的是()

A.a+b=OB.a±b

C.a与b共线反向D.存在正实数九使a=2b

(2)下列说法中，正确的是()

A.a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

［解析］(l)Va,b是两个非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,.♦.向量a与b的方向相同，即

存在正实数2,使a=2b,故选D.

(2)A错，当b=0时，由a与b共线，b与c共线推不出a与c共线；B错，任意两个

相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上；c正确，当a与b中有零向量时，它

们一定共线；D错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，即可以共线.故选C.

［答案］(1)D(2)C

［方法技巧］解决向量问题的关键点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(3)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向

量未必是相等向量.

(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象

的平移混为一谈.

aa3

(5)非零向量a与一的关系：一是a方向上的单位向量，因此单位向量一与a方向相同.

|a||a||a|

(6)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能.但向量的模是非负实数，可以

比较大小.

(7)在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量

的方向；②考虑零向量是否也满足条件.

［针对训练］

ab

1.设a,b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使一十1=0成立的是（）

|a||b|

A.a=2bB.a/7b

C.a=—jbD.a±b

ababb

解析：lie由一4--=0得-------W0,即a=-------lal^O,则a与b共线且方向相

|a||b||a||b||b|

ab

反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使一+—=0成立,对照各个选项可知，

|a||b|

选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b

的方向相反；选项D中a与b互相垂直.

2.设a。为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=|a|a。；②若a

与a（）平行，则a=|a|a（）；③若a与ao平行且|a|=l,则a=a0,假命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a。的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命题；若a与a。平行，则a与a。的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向

时a=一|a|a（）,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3・

考点二平面向量的线性运算

考法（一）平面向量的线性运算

［例1］（1）（2020•新高等全国卷U）若。为的边A"的中点，则而=（）

A.2CD-~CAB.2CA-7JD

C.2CD4-CAD.2C4+CD

点M是A3的中点，且前=乔小，/X

（2）如图所示，在△ABC中,

5N与CM相交于点E,设防二=a,AC=b,则3等于（）

A./a+jbB.|a+|b

C.1a+|bD.^a+^b

［解析］(1)VD为△ABC的边A3的中点，

/.CD=1(C44--CB),：JCB=2CD-~CAt故选A.

——>1——>1——>1——>I

(2)由题意得4N=3AC=中,AM=2^B=2^»

由N,E,8三点共线可知，存在实数机，满足

AE=mAN+(V—m)AB=1/nb+(l—〃i)a.

由C,E,M三点共线可知，存在实数〃，满足

AE=nAM+(l—n)AC=lna+(l—n)b,

所以&ib+(1—m)a=Ina+(1—n)b.

解叫

因为a,b为基底，所以＜4

；m=］一

/，=5-

所以AE=|a+1b,故选A.

［答案］(DA(2)A

［方法技巧］

向量线性运算的解题策略

(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形

法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与巳知向量转化到同一个平行四边

形或三角形中求解.

(3)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三

角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

考法(二)利用向量的线性运算求参数

［例2］如图，一直线£户与平行四边形ASC。的两边A5,AO分9

别交于E,尸两点，且交其对角线AC于K,其中，~AE=fABr~AF=AE-一B

J

TAD,~AK=^ACt则7的值为()

A.|2

B.7

2

D.3

［解析］vAF=|AD,

：.'AB=^AEf~AD=2AF.

*：~AC=~AB+AD,：J~AK=iAC=z（AB++2AF^=|x4E+2x4F.

由E,F,K三点共线可得，|；.4-2z=l,解得故选A.

［答案］A

［方法技巧］

利用向■的线性运算求参数的方法

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形

法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数.

［针对训练］

1.（2021•羯•建模拟）设M是△43C所在平面上的一点，而3+沐X+笳？=0,D是

4c的中点，标=戏，则实数，的值为（）

1n1

A2B.3

C.2D.1

解析：选B因为。是AC的中点，所以应T+求=2诟，又因为应1+淑X+:求

［.A1->->［.>->］->->->->

=0,所以爹（AM+MC）=3/WB+MO=0,所以=因为fMb=OM,所以

1

t=y

2.（多选）如图所示，在△A5C中，。是AB的中点，下列关于向量下方）/\

表示不正确的是（）

RC

A.~CD=~CA+~DBB.~CD^BC+DA

c.~CD=^ABYACD.~CD=^CA+^CB

解析：选BC对于A,因为。是AB的中点，所以下方=万不，

因为罚=7才+茄，所以而=前十万方，所以A正确；

对于B,由三角形法则得，~CD=~CBVBD=~CB4-DA=-~BC+DA,所以B不正

确；

对于C,CD="C44-AD=1AB-AC,所以C不正确；

对于D,因为却是48的中点，所以而=笈彳+先万，

所以D正确.

3.在正六边形4BCDE/中，对角线BO,C/相交于点P,若方则

x+j=.

解析：如图，记正六边形A6C&E"的中心为点O,连接05,

易证四边形OBCO为菱形且P恰为其中心.

*

一2

3

-

2»

答案：I

考点三共线向量定理的应用

［典例］(1)已知a,b是不共线的向量，AB=；.a-l-b,AC=a+//b(2,〃£R),若A,

B,C三点共线，则九〃的关系一定成立的是()

A.2〃=1B.Aft=­\

C.x—//=-1D.2+〃=2

(2)(2021•石家庄模拟)设a与62是两个不共线向量，9=3a+2e2,,=Aa+e2,而

=3©i-2Ae2,若A,B,〃三点共线，则A的值为.

［解析］(1),・•封与就有公共点A,,••若A,B,C三点共线，则存在一个实数/使方

=tACt即ja+b=ra+〃/b,则消去参数，得，/=1；反之，当时，~AB=

，+b,此时存在实数声薪工故下9和N共线.丁京与就有公共点A,

B,。三点共线.故选A.

(2)由题意，A,B,。三点共线，故必存在一个实数九使得下背=大前.

又46=361+26,CB=Aei4-62,CD=3ei—2A:62,

所以BD=CD-CB=3ei-2Are2-(/tei+e2)

=(3—A)e1—(2k+1)62,

所以3ei+2e2=2(3-k)Qi—2(2〃+l)e2,

又a与金不共线，

9

解得

所4-

4

9

剽^-

1)A4

［方法技巧］平面向■共线定理的3个应用

证明向

若存在实数九使a=2b,则a与非零向量b共线

量共线

证明三若存在实数心使三=7就，7方与就有公共点A,则A,BtC三点共

点共线线

求参数

利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值

的值

［针对训练］

1.(2021•南京、盐城模拟)已知向量a=(l,3),b=(m,6),若2〃，贝lj〃尸.

解析：因为a〃b,所以3Xm=6Xl,解得〃］=2.

答案：2

2.设两个非零向量a与b不共线.

(1)若而=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证：A,。三点共线;

⑵试确定实数上使&a+b和a+Ab共线.

解：(1)证明：V4B=a+b,-flC=2a+8b,CD=3(a-b),

/.BD="5C+CD=2a+8b4-3(a-b)=5(a+b)=5AB,

说共线，又它们有公共点&

AA,B,&三点共线.

(2)；Aa+b与a+Ab共线，

，存在实数儿使Aa+b=2(a+Ab),即仅一2)a=qA-l)b.

又a,b是两个不共线的非零向量,

k一2=0,

；・A2-I=O..・.A=±I.

x^-l=O.

素养—在科学思维中参悟提升

一、创新思维角度——融会贯通学妙法

结论“/=嬴万T+〃笳(tn,〃£R),/w+〃=lOA,P,B三点共

线”的妙用.

1.如图，在中，就=；就，尸是BN上的一点，若方=ni~AB

+帝才，则实数加的值为()

An

解析：选B注意到N,P,B三点共线，

因此A户=mAB=111AB+^A2V,

从而加+寺=1,所以m=今.

2.A,B,。是圆0上不同的三点，线段CO与线段AB交于点9点。与点O不重合),

若&=2员+〃万声U，〃WR),则2+〃的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(1,y[2]D.(-1,0)

解析：选B设友:二帆万方，则，〃:>1,

因为/=zO4+〃而，

所以ni~OD=XOA+〃笳,

即万方=("凉+2苏,

又知A,3,。三点共线，

所以5+5=1，即2+4=小，

所以幺+〃>1,故选B.

二、创新考查方式——领悟高考新动向

1.已知平面上点。与线段A8,若线段A3上有〃(〃>1)个异于端点A,B的互异动点

P|，P2，…，Pn，且满足不了=为/万？+"而，"，"KWRJWKW",K£Z,则

（九彳2…词•（〃W2…“"）的取值范围是（）

A.（0,羽B.（0,/）

C.（0,D.击+8）

…m且a+b,a2—2ab-}-b2（a-4一

解析：选B因为（二一户一面=~.>0,

所以GbW（小户对任意叫OCR均成立，并且当且仅当。=力时等号成立.

由于人,4,8共线，所以加+〃A=1,

由于PA在线段AB上且异于端点A,B,结合而;=2而7+〃K苏以及平行四边形法

则可知公>0,〃/>0.若■〃“=；,此时'为线段A8的中点，仅有1点，但〃>1,所以

21+//I,七+〃2、幺"+〃”,1,,.

0<（九处…乙）31〃2・・・〃〃）=（4〃1）・（2盟2）.........（入心力<（—一声（一耳—）2••…（—~了=万，故选

B.

2.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周

解算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为

边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组

成的）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三

角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AFt贝?）（）

A.AD=-^AC+^ABB.AD=|AC-\-^AB

C.AD=^AC+行篇D.AD=.A(?+石46

选

解析：C由题意知AD=3A产，CF=3CEtBE=3BD,

则罚=3AF=3(AC+-CF)=3AC+9铳=3AC+9CB+9笳

=3就+9（前一就）+27说

=一6AC-18AB+27AO,

所以AC=AAC+4/4良

1DI，

3.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、

借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从

窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在

平面直角坐标系X。），中，0为正八边形PiP2…尸8的中心，PiA_Lx轴，

现用如下方法等可能地确定点M：点M满足2就+万江+同=0（其中iWi,尺8且i,j

GN0,i关/）,则点M（异于点O）落在坐标轴上的概率为（）

C.]2

D.

O7

解析：选D由题意可知。公+。?所有可能结果有：

就+就，OPi+OPifoFJ+oK,oH+oK,祐+就，成+旗，南+就,

OPi+OP3fOP2+OP4,曲+诚旗+旗,OPi+OP^t市+砒就+晚，~OPi

+旗,o^+oK,存+成,证+福,市+旗,南+砾,就+话,话+祐,

旗+不£,5K+成，不及+南，砾+正，砾+砾,南+济，共有28种.

点M（异于点O）落在坐标轴上的结果有:苏；+苏;，苏;+就，吊+砾,成+旗，

万芯+砒，凉;+旗，万贯+苏，砒+苏，共有8种，

82

所以点M（异于点0）落在坐标轴上的概率为尸===7•故选D・

I课时跟踪检测I

一、基础练一练手感熟练度

L（多选）设a,b是非零向量,记a与b所成的角为&下列四个条件中，使合=1成

立的充要条件是（）

A.a/7bB.夕=0

C.a=2bD.0=n

解析：选BC合=1等价于非零向量a与b同向共线，即。=0,故B正确.对于选

项C,a=2b,则a与b同向共线，故C正确.

2.设0,E,尸分别为△A〃C的三边BC,CAtA〃的中点，则无为+京=（）

A.ADB.

1—►

C.^BCD.~BC

解析：选A由题意得四+京=去南+王万)+*大+/)=｝焉+就尸防.

3.设a是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是()

A.a与检的方向相反B.a与#a的方向相司

C.|-xa|^|a|D.|-2a|^|；.|-a

解析：选B对于A,当久＞0时，a与2a的方向相同，当2Vo时，a与2a的方向相反;

B正确；对于C,|一冽=|一川⑶，由于|一刁的大小不确定，故|一然|与⑶的大小关系不确定;

对于D,M|a是向量，而|一命|表示长度，两者不能比较大小.

4.如图，在正六边形ABCDE尸中，~BA+~CD+~EF=()

A.0B.BE

C.~ADD.~CF

解析：选D由题图知/+司+/=亩+方+7方=7范+不咨=K.

5.在4A5c中，。为4A5c的重心，若50=248+〃AC,则幺-2"=()

-1

A.B.

D.

44

C--

3-3

解析：选D如图，延长BO交AC于点M,,・•点。为〃。的重心,

・・・M是AC的中点，

・・・同=海=翡前+握)

1---->1---->1---->1---->---->

=§B4+qBC=—+§(AC—AB)

=—^AB4-|AC,

—>—>—>21

又30=746+〃AC,//=r,

4

.*.x-2//=—故选D.

二、综合练一练思维敏锐度

1.己知两个非零向量a,b互相垂直，若向量m=4a+5b与n=2a+2b共线，则实数

X的值为（）

A.5B.3

八5

C，2D.2

解析：选C・・・a,b是非零句量，且互相垂直,

・・.4a+5bW0,mWO.

Vm,n共线，，n=〃m,即2a+2b=〃(4a+5b),

2=M,解得）.=*

'=5〃.

2.设平面向量a,b不共线，若焉=a+5b,就=-2a+8b,9=3（a-b）,贝ij（）

A.AfB,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

解析：选A*："AB=a+5b,~BC=-2a+8b,~CD=3(a-b),/.AD=~XSVBC4-CD

=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2A3,，A。与43共线，即A,B,。三点

共线.

3.已知点O,A,〃不在同一条直线上，点尸为该平面上一点，且2万7=2苍T+京,

则（）

A.点尸在线段上

B.点尸在线段Ab的反向延长线上

C.点尸在线段的延长线上

D.点尸不在直线上

解析：选B因为2凉=2京+石彳，所以2方=京，所以点尸在线段A〃的反向

延长线上.

4.（多选）在△A3C中，点E,尸分别是边8c和AC的中点，。是AE与5尸的交点，

则有（）

A.AE=|AB+|ACB.~AB=2EF

，a1—►11>—>2>2—

C.CP=QCA+WCBD.CP=\CA+^CB

解析：选AC如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，泉

~AE=~AB+BE=~AB4-j-fiC=~AB+|（AC-AB）=1（AC+

AB

~AB)tA是正确的；因为E户是中位线，所以焉=2下声，B是错误的；设的中点为G,

则根据三角形重心性质知，(7尸=2?6,所以|(7^4-TB)=3

(CA4-CB\所以C是正确的，D错误.

5.设向量a,b不共线，7X=2a+pb,^BC=a+b,^D=a—2b,若4,B,。三点

共线，则实数p的值为()

A.-2B.—1

C.1D.2

解析：选B因为就=a+b,CD=a-2b,所以说=就+7^=22—〉又因为4,

Bt0三点共线，所以说共线.设笈=幺诟，所以2a+pb="2a-b),所以2=2A,

P=­A.,即2=1,p=-1.

6.(多选)已知向量万才=(1,-3),而=(一2,1),0C=(/+3,r-8),若点A,B,C

能构成三角形，则实数，可以为()

A.—2B.1

C.1D.-1

解析：选ABD若点4,B,。能构成三角形，则A,B,C三点不共线，故向量其，

就不共线..由于向量万1=(1,-3),员=(-2,1),OC=U4-3,Z-8),故苗=前一百

=(-3,4),左=衣一前=(什5"-9),若A,8,C三点不共线，则一3(£—9)-4(f+5)W0,

•【HL

7.已知点O为△A5C的外接圆的圆心，且万：+下不+/=0,贝必为。。的内角A

等于()

A.30°B.45。

C.60°D.90°

解析：选A由京+加+而=0,得万^+而=/，由。是△ABC外接圆的圆

心，结合向量加法的几何意义知，四边形0AC3为菱形，且NC4O=60。，故NCAb=30。，

选A.

8.已知向量a,b不共线，且c=2a+b,d=a+(22-l)b,若c与d共线反向，则实

数幺的值为(

C.1或gD.-1或g

解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数/HiLc=Ad(AvO),于是2a+b=A[a+

俗-1)6],

整理得2a+b=Aa+(2M—A)b.

2=A,

由于a,b不共线，所以有1

2xA—A=l,

整理得如一2一1=0,解得)=1或幺=一;.

又因为AvO,所以7v0,故2=一：.

9.在△ABC中'&为叱所在平面内一点'且9=透+菱AC,则就=()

B.§

D.1

解析：选B如图，由已知得，点。在△4BC中与A3平行的中位

线上，且在靠近5C边的三等分点处，从而有S^BD=y^ABCfSAACI)=

/△ABC,SgCD=11_“SABCD1

1t-2―所以

10.如图，点。是正六边形A3CDE尸的中心，在分别以正六边形的顶点

和中心为始点或终点的向量中，与向量亩相等的向量有个.

解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量市相等的

向量有言，~DOt~EFt共3个.

答案：3

11.如图，在△A8C中，点。，E是线段6c上两个动点，KAD4-AE=

XAB+JAC,贝的最小值为________.

Ry

解析：易知1,y均为正数,

设防=/£S^+/i/，3=2京+〃就，

•:R,C,O共线，・・・利+〃=1,同理，Ji+〃=1.

VAD+7E=X^4B+J7?=(/W+2)成+(〃+")就，

••・x+y=〃2+〃+2+〃=2.

注+4KM)a+>)=l(5+"学学牛+2够f)K，当且仅当产友时等号成

立，则十1+?4的最小值为9宗

xy，

fg9

答案：2

12.在△4BC中，P为BC的中点,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c就十

aPA+b~PB=(h则△ABC的形状为.

解析：二•在曲叱中，产为5c的中点，：J~PA=-\{AB+AC),

又,.,c*+a五彳前=0,"PB=^CB=|(7B-7c),

:.cAC-|a(AB4-AC)+%面-AC)=0,

(a+C—►a—b—►

..tc-----2~JAC—^~AB=0,

即=^-^AB,

'a-b

_>_>_2_=0»

又下方，AC不共缓，.,・<,解得。=》=c,

1c-a亍-rb=0,

•••△4BC为等边三角形.

答案：等边三角形

13.在直角梯形A3C&中，ZA=90°,N3=30。，AB=2y[3tBC=2,点E在线段CD

上，若右=茄+〃/方，则〃的取值范围是.

解析：由题意可求得AO=1,CD=V3,：.~AB=2DC.

V点E在线段C。上，

：.~DE=ADC(0WK1).

VAE=AD4-D£,

又AE=AO+〃AB=AD+2〃DC=AD+-fDE，

AL乙

答案:[o,I]

14.如图，O,At8三点不共线，7)C=2OAf~OD=3OBf

设了X=a,=b.

(1)试用a,b表示向量OE；

(2)设线段A3,OEfCD的中点分别为L,M,N,试证明：L,W,N三点共线.

解：(l)・・・b,EtC三点共线，

：JOE=x7)C+(1-x)OB=2.ra+(l-x)b,①

同理，VA,E,。三点共线，可得万百=ya+3(l-y)b,②

2x=yf24

由①②，得'解得X=g,y=M，

1一工=3。一力,

_—►a-\rb—►1—►4。+3力

(2)证明：VOL=—,OM=^OE=10,

—►1—>.—>2。+3b

ON=T(OC-^-OD)=-—,

—>—►—►6Q+12^—>—>—>Q+2b

：.MN=ON-OM=-—,ML=OL~

：.~MN=6MLt

又丁就与南有公共点M,:,L,MtN三点共线.

15.已知a,b不共线，O4=a,OB=b,OC=c,OD=d,~OE=ef设f£R,如

果3a=c,2b=d,e=/(a+b),是否存在实数，使C,D,E三点在一釜直线上？若存在，求

出实数，的值；若不存在，请说明理由.

解：由题设知，CD=d-c=2b-3a,~CE=e-c=(r-3)a+/b,C,D,E三点在一条

直线上的充要条件是存在实数A,使得益方，即3)a+/b=-3Aa+2Ab,

整理得(，-3+3A)a=(2A-f)b.

f-3+3A=0,£

因为a,b不共线，所以有，解得『与

［L2A=0,5

故存在实数，=/使C,D,E三点在一条直线上.

第二节平面向量基本定理及坐标表示

核心素养立意下的命题导向

1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养.

2.与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养.

3.与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养.

基础-在微点清障中全面落实

［理清主干知识］

1.平面向■基本定理

如果6,e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,2

且只有一对实数的,右，使a=2向+右62.

其中，不共线的向量a,金叫做表示这一平面内所有向量的一蛆基彘

2.平面向量的坐标运算

(1)向■加法、减法、数乘及向■的模

设a=(x”yi),b=(x2,刃)，则

a+b=(xi+x2,yi+)‘2)，a-b=(xi-xz*yi~V2)*

2a=(Ari,刖i),\a\=yjxx+yi

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(X1,J1),3(X2,J2),则工^=(工2—X1,力一力),\AB|=yl(X2—xi)2+(y2—yi)2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=Cn,ji),b=(x2，yi)f则a〃bOxiy2-x2yi=0.

［澄清盲点误点］

一、关键点练明

1.(基底的判断)下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.ei=(0,0),A=(L—2)

B.6i=(-1,2)»e2=(5,7)

C.61=(3,5),e>=(6,10)

D.61=(2,—3),e2=(j，一：)

答案：B

2.(数乘运算)已知向量a=(T,3),b=(2,D，则3a—2b=()

A.(-7,7)B.(-3,-2)

C.(6,2)D.(4,-3)

答案：A

3.(向量共线的应用)已知向量a=(叫4),b=(3,-2),且2〃也则血=.

答案：一6

二、易错点练清

L(混淆基底的选择)如图，在正方形A5CD中，E为。C的中点，若笈D\—//C

=；.AB4-//AC,则7+〃的值为()\//

11----------

A.zB.—z

C.1D.-1

解析：选A因为E为OC的中点，所以就=前+诟=打了+V区+防=打9

1>>1>，>'>[A>]|

,即所以;一彳，所以；〃=子

+DE+AD=T/AB4-AEAE=-3/88+AC,1=///=1,1+/

2.(混淆单位向量的方向)已知A(-5,8),5(7,3),则与向量7G反向的单位向量为

解析：由已知得了密=(12,-5),所以|融|=13,因此与防反向的单位向量为一■^适

■1J

=(-13>S.

答案:(T，S

3.(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a