数学优化训练：8函数y=Asin：ωx+φ的图像

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§7函数y=Asin（ωx+φ）的图像5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1。（高考辽宁卷，文2)函数y=sin（)的最小正周期是（)A.B.πC.2πD。4π解析：y=sin（）的最小正周期T==4π答案：D2。将y=sinx的图像变换为y=3sin（）的两种变换方法如下,请在“"处填上变换方法。法一：y=sinxy=sin2xy=sin（2x+)y=3sin（2x+）;法二:y=sinxy=sin(x+）y=sin(2x+）y=3sin（2x+)。解法一：y=sinxy=sin2x图像上所有点向左平移个单位y=sin［2(x+)］=sin（2x+）y=3sin(2x+）。解法二：y=sinxy=sin（x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+)。3.已知函数y=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的简图(如图1—7图1-7-1解：因为T=,所以ω=2。又易知A=2，所以y=2sin（2x+φ).将点（，0）带入上式得0=2sin[2×（）+φ］,即sin(φ—）=0.由｜φ｜<得φ=，所以y=2sin（2x+).它的图像可由y=sinx的图像作如下变换得到：y=sinxy=sin(x+）y=sin（2x+)y=2sin(2x+).10分钟训练（强化类训练,可用于课中)1。为了得到函数y=3sin（x-）（x∈R）的图像，只需把y=3sinx上所有的点（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位解析：三角函数图像的平移变换，应遵循法则：“加左减右”，且移动的单位数仅对一个x而言.据由y=sinx的图像得到y=sin（x+φ）的图像的步骤可知，应把y=3sinx图像上所有的点向右平移个单位，即可获得y=3sin（x-）的图像.故选B.答案:B2.函数y=3sin（x+）图像上的点进行_____________变换，就可得到函数y=3sin(2x+)的图像（x∈R）（)A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C。纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变解析：横向伸缩变换又称周期变换,即周期发生了变化，因此,可先据周期的变大(小）确定横坐标的变化。由y=sinx的图像得到y=sinωx的图像，应是将y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的倍（0＜ω＜1时，伸长;ω＞1时，压缩）.故由y=3sin（x+)变为y=3sin(2x+）应是横坐标缩短为原来的.所以选B。答案：B3.下列函数中，周期为的是（）A.y=sin（）B。y=sin（）C.y=sin（）D.y=sin(2x+）解析：y=Asin（ωx+φ)的周期，注意运用T=求时需ω＞0.答案：B4。设y=sin（x+φ）(0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于()A.0B。C。D.π解析：函数的奇偶性，可用定义，还可借助于图像.f（x)为偶函数，则从代数式上应有f（—x)=f（x），从图像上应有图像关于y轴对称。答案：C5。正弦函数在一个周期内的图像如图1—7—2所示,求函数的表达式.图1—7—2解:由题图可知振幅A=2，又=π，所以周期T=2π，进而ω==1。再据第一个零点为（，0），代入可得φ=。所以y=2sin（x+)。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。函数y=cosx的图像经过怎样的变换才能变成函数y=cos（x+）（x∈R)的图像()A.向左平移个单位B。向左平移个单位C.向右平移个单位D。向右平移个单位解析：平移变换时,一是看准平移的方向；二是确定平移的单位数。根据题意知应把y=cosx的图像向左平移个单位.故选B。答案：B2。已知函数y=f（x）,现将y=f（x)图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍,然后把整个图像沿着x轴向左平移个单位，得到y=sinx的图像，则函数f(x)的解析式为（）A。f（x）=B.f（x）=C.f（x)=D.f（x)=解析:依题意，函数y=sinx的图像沿x轴向右平移个单位后，所得的函数是y=.再将其图像上点的横坐标变为原来的,可得函数y=。则y=，即y=f（x）。故选D.答案：D3。方程2sin2x=x—3的解有（）A。1个B。2个C。3个D.4个解析:在同一坐标系下，画出y=2sin2x和y=x—3的图像，如下图，易知有3个交点。故方程有3个实数解。所以选C.答案:C4。已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内,当x=时取得最大值，当x=时取得最小值，则该函数的解析式为（）A。y=2sin（—）B。y=sin（3x+）C。y=sin（3x-)D。y=sin（—）解析：由题意，知A=,∴T=.∴ω==3.将()视为第一个最高点，代入可求出φ=，∴y=sin（3x+）。故选B。答案：B5。函数y=sin（2x+5）的图像的一条对称轴方程是（)A.x=B。x=C.x=D.x=解析：函数y=sin（2x+）的对称轴垂直于x轴，有很多条，它们通过图像的最高点或最低点，即使函数取得最大值或最小值。所以一一代入验证,可得x=符合要求。故选A.答案：A6。函数y=cos（x+）（x∈R)（）A。是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析：除了用定义判断某一函数的奇偶性之外,还可用图像加以深化理解.如y=cos（x+φ）若为奇函数,则φ可取哪些值,不妨结合图像解决。由奇偶函数的定义或图像，易知y=cos（x+）既不是奇函数又不是偶函数.故选C.答案:C7。函数y=sin（-2x）的单调减区间为_______________。解析：令t=，易知原函数的单调减区间即是y=sint的单调增区间。由2kπ—≤t≤2kπ+（k∈Z)，知2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z）,∴kπ-≤x≤kπ+（k∈Z).因此函数y=sin(-2x）的减区间为［kπ-，kπ+]（k∈Z）。答案：［］(k∈Z)8.如图1-7—3,弹簧挂着的小球上下振动，时间与小球相对于平衡位置（即静止时的位置)的高度之间的函数关系式是h=2sin（t+），t∈[0,+∞）。图1—7—3画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题。(1）小球开始振动(即t=0）时的位置在哪里？(2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多长时间小球往复振动一次?(4）小球每1s能往复振动多少次？解:因为函数h=2sin（t+），t∈[0，+∞）的最小正周期是T=2π，它在[0，2π]上的简图如下.（1）小球开始振动（即t=0）时,h=2sin（0+）=2sin.（2)小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是2和—2。（3)小球往复振动一次，即是一个周期2πs.（4）小球每1s能往复振动的次数，即频率f=.9.已知函数y=Asi