2025年上海市高校春季招生考试数学模拟试卷试题（含答案解析）

年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学仿真模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合，，，，，，若，则实数．2．若向量，，则．3．不等式的解集是．4．圆的半径大小为．5．已知，且，则．6．在的展开式中，的系数为．7．在中，已知，则其外接圆的直径为．8．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数之和为5，则这样的偶数共有个．9．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为．10．在平行四边形中，，向量在方向上的投影为1，且，点在线段上，则的取值范围为．11．双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为．12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．下列四个函数中，不具有奇偶性的是A． B． C． D．14．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．2016年与2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不达线的人数有所增加15．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是A． B． C． D．16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是A．，，，，，为等差数列，，，，，，为等比数列 B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列 C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列 D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为．（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成的角．18．记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，求的面积．19．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为13万元辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润（万元）关于的函数关系式．（2）若年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？20．已知椭圆且．（1）若，求椭圆的离心率；（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值；（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．21．已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，．（1）若，求实数的取值范围；（2）求函数的值域，并求满足的实数的取值范围；（3）设，，若对于任意的、、，，都有，求实数的取值范围．答案解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合，，，，，，若，则实数2．【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合，，，，，，，则，解得或，当时，，，，，，，不符合题意，当时，，1，，，1，，符合题意，故．故答案为：2．【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．2．若向量，，则．【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可．【解答】解：向量，，所以，，．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．3．不等式的解集是．【分析】去掉绝对值符号，求解即可．【解答】解：不等式化为，可得，所以不等式的解集为．故答案为：．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，是基础题．4．圆的半径大小为2．【分析】已知能求出圆的标准方程，即可求解圆的半径．【解答】解：圆化为标准方程为，圆的半径为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的半径的求法，是基础题．5．已知，且，则．【分析】根据条件及三角函数的诱导公式得出，然后根据同角三角函数的基本关系得出，然后可求出，根据两角和的正切公式即可求出答案．【解答】解：，且，，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，考查了计算能力，属于基础题．6．在的展开式中，的系数为40．【分析】先求出在的展开式的通项公式，令的系数为2，即可求解．【解答】解：的展开式通项公式为，令，解得，故的系数为．故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．7．在中，已知，则其外接圆的直径为4．【分析】设外接圆半径为，利用正弦定理即可求解．【解答】解：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，所以，所以外接圆直径为4．故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数之和为5，则这样的偶数共有72个．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①四位数的千位和百位数字为1和4，①四位数的千位和百位数字为2和3；由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求千位和百位上的数之和为5，分2种情况讨论：①四位数的千位和百位数字为1和4时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能，此时，可以有个符合题意的四位偶数；①四位数的千位和百位数字为2和3时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能，此时，可以有个符合题意的四位偶数；故共有个符合题意的四位偶数；故答案为：72．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．9．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为．【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案．【解答】解：若函数有三个零点，即与的图象有三个交点，当时，，当时，在，有最大值4，画出函数的图象，如下图，由图可知，．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的性质、转化思想及数形结合思想，属于基础题．10．在平行四边形中，，向量在方向上的投影为1，且，点在线段上，则的取值范围为，．【分析】通过题意分析可知，三角形，三角形皆为等腰直角三角形，据此建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算问题，最终化为函数的值域问题求解．【解答】解：如图：因为，，所以，所以向量在方向上的投影为，且，易知．如图建立平面直角坐标系，则，，，．因为在线段上，故设，，，所以，，所以，，．令，，，该函数为增函数，所以．所以的范围为，．故答案为：，．【点评】本题考查平面向量的综合应用以及函数思想的应用．属于中档题．11．双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为．【分析】设直线与直线相交于点，由，可得，，再过作于点，进而得和的长，然后根据双曲线的定义，推出，然后求解离心率．【解答】解：设直线与直线相交于点，则，直线的斜率为，即，又，，，过作于点，则，为的中点，，，在中，由，知，，由双曲线的定义知，，，化简得，．可得．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则2．【分析】是周期为4的周期函数，作出图像，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，是周期为4的周期函数，图像如图：将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．下列四个函数中，不具有奇偶性的是A． B． C． D．【分析】分别判断选项中的函数是具有奇偶性即可．【解答】解：对于，函数，是定义域上的偶函数；对于，函数，是非奇非偶的函数，不具有奇偶性；对于，函数，是定义域上的奇函数；对于，函数，是定义域上的奇函数，也是偶函数．故选：．【点评】本题考查了函数的奇偶性判断问题，是基础题．14．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．2016年与2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不达线的人数有所增加【分析】设2016年该校参加高考人数为，则2019年该校参加高考人数为，观察柱状图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案．【解答】解：设2016年参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为．对于选项年一本达线人数为，2019年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项错误；对于选项年二本达线人数为，2019年二本达线人数为，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项错误；对于选项年和2019年艺体达线率没变，但是人数是不同的，故选项错误；对于选项年不上线人数为，2019年不上线人数为，不达线人数有所增加，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．15．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是A． B． C． D．【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．【解答】解：对于，当是的中点时，与是相交直线；对于，根据异面直线的定义知，与是异面直线；对于，当点与重合时，与是平行直线；对于，当点与重合时，与是相交直线．故选：．【点评】本题考查了两条直线间的位置关系应用问题，是基础题．16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是A．，，，，，为等差数列，，，，，，为等比数列 B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列 C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列 D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列【分析】由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列，若，，则，矛盾；若，，当，，使得，矛盾；若，，当，，必有使得，矛盾；若，当，，必有使得，矛盾；若，当，，，必有使得，矛盾；即可判断．【解答】解：由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列，因为若，当，，，必有使得，矛盾；若，，则，矛盾；若，，当，，使得，矛盾；若，，当，，必有使得，矛盾；若，当，，必有使得，矛盾；所以选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；由排除法可得正确．故选：．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为．（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成的角．【分析】（1）作于，可证平面，求得的长即可求得点到平面的距离；（2）作于，连接，可证为与平面所成的角，求解即可．【解答】解：（1）作于，平面，平面，，，，平面，平面，，，，平面，为到平面的距离，根据二面角的定义知，则，，，解得，点到平面的距离为；（2）作于，连接，，，，，，平面，平面，，，，平面，为与平面所成的角，中，，，得，．直线与平面所成的角为．【点评】本题考查点到面的距离的求法，考查线面角的求法，属中档题．18．记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，求的面积．【分析】（1）由正弦定理边化角计算可得结果．（2）由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：，整理得，因为，，所以，所以或，所以或（舍，所以；（2）解：由及余弦定理得：，整理得，又因为，可解得，，则，所以是直角三角形，所以的面积为．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．19．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为13万元辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润（万元）关于的函数关系式．（2）若年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？【分析】（1）分别求出上年度的利润，本年度每辆车的投入成本，本年度每辆车的出厂价，本年度年销售量，再根据年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量求解即可；（2）求出本年度年利润，再根据导函数求出的极大值即为最大值．【解答】解：（1）由题意得：上年度的利润为万元；本年度每辆车的投入成本为；本年度每辆车的出厂价为；本年度年销售量为，因此本年度的利润为，故本年度的年利润（万元）关于的函数关系式为；（2）本年度的利润为，则，由，解得或（舍去），当时，，是增函数；当，时，，是减函数，当时，取极大值万元，因为在上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．20．已知椭圆且．（1）若，求椭圆的离心率；（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值；（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．【分析】（1）由题意可得，，，可求离心率；（2）由已知得，，设，