数值分析方法 课件 2-1 线性方程组的直接解法

数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

李冬果李林高磊首都医科大学生物医学工程学院智能医学工程学学系第二章

数值代数基础2.1线性方程组的直接解法2.2向量与矩阵的范数2.3线性方程组的迭代解法2.4矩阵特征值计算2.5

Python程序在数值代数中的应用

目录/Contents

2.1线性方程组的直接解法

记2.1.1Gauss消去法消元过程

Gauss消去法的消元过程由n-1步完成第一步：则消元过程

Gauss消去法的消元过程由n-1步完成第二步：则消元过程

Gauss消去法的消元过程由n-1步完成重复上述步骤直至n-1步回代求解Gauss消去法总的计算量为例用Gauss消去法求解线性方程组解

Gauss消去法的消元过程是将方程组的增广矩阵进行下列一系列的初等行变换由此得到与方程组同解的上三角形方程组回代求解，得适用条件定理：若A的各阶顺序主子式不等于0，则高斯消去法能顺序进行消元，得到唯一解。存在问题如果某个,但很小，会引入较大的误差。1.在高斯消去法消去过程中可能出现的情况，这时高斯消去法将无法进行2.1.2Gauss列主元素消去法基本思想在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）具体步骤如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.Gauss全主元素消去法例用Gauss列主元消元法和全主元消去法解线性方程组解

（1）列主元素消去法第一步，选择-20作为该列的主元素，（2）全主元素消去法在所有系数中选择绝对值最大的40作为主元素，交换第一、二行和交换第一、二列使该主元素位于对角线的第一个位置上，得2.1.3矩阵的三角分解法若矩阵A有分解：A=LU，其中L为下三角阵，U为上三角阵，则称该分解为A的LU分解，又称为Doolittle分解若矩阵A有分解A=LU，则解线性方程组Ax=b就等价于求解定理利用矩阵的乘法运算介绍Doolittle分解法求解线性方程组的具体计算过程。

设A=LU由矩阵乘法规则得由此可得U的第1行元素和L的第1列元素:

①

计算U的第k行元素从而有②计算L的第k列元素，由于于是由得自此就可以利用上述公式逐步求出U与L的各元素，因此Gauss消元法解线性方程组就等价于解两个三角方程组

例

用Doolittle分解法求解方程组解：（1）用分解公式（2.1.8）~（2.1.11）计算A=LU，令（2）解方程Ly=b（3）解方程Ux=y2.1.4对称矩阵的楚列斯基分解（平方根法）

，i=1,2,...,n;j=i+1,...,n对称矩阵的楚列斯基分解（平方根法）

其中D为对角阵，U0为上三角阵，于是有A=L1U=L1DU0，又A为对称阵，A=AT=(

L1DU0)T=U0T

DT

L1T=

U0T

D

L1T，有分解唯一性得U0T

=L1，即A=

L1DL1T.因为A是正定阵，A的各阶顺序主子式为正，故于是对角阵D可以分解为利用待定系数法来计算Cholesky分解中下三角阵L的元素lij.由根据矩阵乘法运算，比较上式两边元素：由，因为A是正定阵，设A为n

阶对称正定阵，由定理可知，A可以唯一的分解为A=LDLT

其中矩阵L为单位下三角阵，D为非奇异阵.设A=LDLT

为了减少乘除运算次数，删除重复计算，令

，则

例

用Cholesky分解法求解方程组解：利用公式对系数矩阵进行Cholesky分解平方根法与改进的平方根法不仅计算量是Gauss消元法的一半，其数值稳定性良好，是求解中小型稠密对称正定线性方程组的好方法.2.1.5解三对角线性方程组的追赶法该类方程组中除了对角线和两条相邻的对角线外，其他元素都为零，称该类方程组为三对角方程组解三对角线方程组的追赶法，其计算公式如下：第一步

对三对角阵A做Doolittle分解，则有第二步解方程组Ly=f（“追”的过程），得（2.1.20）（2.1.21）第三步解方程组Ux=y（“赶”的过程）得追赶法的基本思想与Gauss消元法及三角分解法相同，只是由于系数矩阵的特殊性，使得求解的计算公式简化，计算量减少，仅为5n-4次乘除法.此法是一种具有最优运算量且具有良好的数值稳定性.（2.1.22）例

用追赶法解下面三对角方程组解：由公式(2.1.20)得于