数值分析方法 课件 第四章 数值积分基础

数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第四章

数值积分基础目录/Contents4.1数值积分的基本思想

4.2机械求积公式

4.3二、三节点的高斯求积公式

4.4机械求积公式的误差估计

4.5牛顿-科茨公式

4.6复合求积公式及其误差估计

4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

引言4.1数值积分的基本思想引言引言为克服上述许多缺点，定积分计算的数值求解能弥补上述不足，并可带来满意的结果。由定积分中值公式，对于连续函数，有

从几何角度看曲边梯形的面积等于某一矩形的面积，但点取在哪里一般是未知的。如果取区间中,即，可以得到近似公式（中矩公式）如果取使，可以到近似公式（梯形求积公式）引言自然地问题是近似程度如何,即精确程度问题，这就提出了所谓的代数精度的概念。定义4.1如果用某一近似公式对于n次多项式可以计算出精确结果，而对于n+1次多项式该近似公式计算出的结果不再精确，则这个近似公式被称为具有n阶代数精度。可以验证梯形公式、中矩公式具有1阶代数精度。上述中矩公式、梯形公式都是计算定积分的近似公式谢谢数值分析方法主编

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4.2机械求积公式

4.3二、三节点的高斯求积公式

4.4机械求积公式的误差估计

4.5牛顿-科茨公式

4.6复合求积公式及其误差估计

4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

引言4.2机械求积公式近似，这样就得到了机械求积公式：如果在区间上适当多取几个点，然后用的加权平均值其中xk

称为求积节点，Ak称为求积系数，也是节点的函数值的权重系数机械求积公式特点：将求积分问题转化为被积函数的数值.引言一般地，对函数，利用机械求积公式，使其精确地成立，即可得到（1）显然公式（1）具有m阶代数精度。引言特别地，(1)取考虑（1）式中m=1的情况，容易得到，即梯形求积公式注意到时（1）的第三个式子不成立，即

从而梯形求积公式只能是1阶代数精度的。引言特别地，(2)取考虑（1）式中m=2的情况得梯形求积公式引言依据克拉姆法则，有从而（1）式给出了近似积分公式：

——抛物线求积公式，也称辛普森公式（2）几何意义：过平面上三点作一条抛物线，计算该抛物线和

以及x轴所围的面积注意到时（2）式给出的近似结果即显然抛物线求积公式至少是3阶代数精度的.例1分别利用梯形求积公式、抛物线求积公式，计算定积分解：此处，梯形公式、辛普森公式的计算分别是

可以看出两个公式给出的结果都与精确结果2相差甚远，尽管他们的代数精度分别是1，3，但结果也很不理想。谢谢数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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4.8数值微分

引言4.3二、三节点的高斯求积公式机械求积公式含有2n+2个待定参数，如果适当选择，有可能使求积公式具有更高（如2n+1）阶代数精度。

n=1时机械求积公式为

确定节点和系数，使其有尽可能高（

2n+1=3）的代数精度.（

1）（一）考虑n=1的情况引言对于函数，使（1）精确成立，则得到

解此方程组，取,得称为两点高斯求积公式显然此求积公式具有的代数精度为3.（

2）引言两点高斯求积公式节点和系数都与被积函数无关，由（2）知它们对于三次多项式都成立，不放假定三次多项式为积分得假设对任意一次多项式积分都成立，则（4）（3）另一方面由于（1）对于三次多项式成立，即有（5）结合（4）和（5）有考虑，它等价于（6）令得结合式（6）得.

n=2时求积公式

令（

7）（二）考虑n=2的情况对于五次多项式成立，为确定节点和系数，积分引言假设对任意二次多项式积分都成立，则另一方面由于（7）式对于任意五次次多项式成立，即有从而有考虑，它等价于（8）显然不妨设，从而因此代入（8）式得称为三点高斯求积公式可以证明此求积公式具有的代数精度为5.于是有事实上，上述方法可以进一步考虑更大的n，其中的节点完全由下式确定这一式子也称为与幂函数（积分）正交的，关于一般情况下的Guass求积公式,可参阅其他材料.例1分别利用二、三节点高斯公式，计算定积分解：此处，二节点高斯公式计算是

可以看出三节点高斯公式结果比二节点高斯公式结果更接近于精确结果2.三节点高斯公式计算是谢谢数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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4.6复合求积公式及其误差估计

4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

引言4.4机械求积公式的误差估计（一）插值型求积公式对于机械求积公式用过曲线上三点的一条抛物线来拟合，则若被积函数抛物线下面积即为近似所求的积分.考虑一组节点作插值函数则即其中系数Ak

是f(x)插值基函数在区间[a,b]上的积分插值型求积公式（二）求积公式的误差估计由插值函数的误差估计知，如果函数f(x)具有n+1阶导数，那么其中

依赖于x

，且插值型求积公式的误差显然次数不超过n的多项式，利用插值型求积公式，得到误差，即该求积公式至少具有

n阶代数精度.1、抛物线求积公式的误差估计注意到抛物线求积公式有3阶代数精度，故考虑构造一个三次插值函数p3(x)满足条件于是有积分得由于p3(x)是三次多项式，故可用抛物线型求积公式表示，即于是有由于函数f(x)

具有4阶连续导数，因此f(4)(

)在区间[a,b]

上连续,注意到，由积分中值定理，抛物线求积公式的误差估计为：例如

由抛物线求积公式计算得即计算误差小于0.0944，而由误差估计式（1），有（1）可见，估计式（1）只是给出了一个上界估计.2、梯形求积公式的误差估计如果函数f

(x)具有2阶连续导数,则梯形求积公式的误差估计是谢谢数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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4.6复合求积公式及其误差估计

4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

在插值型求积公式中，考虑节点是等距节点构造插值型求积公式为4.5Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式Cotes系数又由n次插值基函数为因而得当n=1时，仅有两个节点，此时Cotes系数为：此时得到梯形求积公式:当n=2时，Cotes系数为：得抛物线求积公式:当n=3时，Newton-Cotes公式：称为Newton公式当n=4时，Newton-Cotes公式为：称为Cotes求积公式例1利用Cotes求积公式计算定积分并与抛物线求积公式的结果进行比较.解：

此处，精确结果是.由Cotes求积公式计算得由抛物线型求积公式计算得显然抛物线求积公式给出的结果不如Cotes求积公式接近于真值.该例显示，n=4的Newton-Cotes公式给出了更精确地结果，考虑到Cotes系数是一些简单积分，便于计算，不妨取n=8，可以看出计算结果与真值相差0.000566，但是显然n越大计算越复杂，计算过程中也可能代入了一些误差.Newton-Cotes公式的代数精度Newton-Cotes公式是插值型求积公式，因而至少具有n

阶代数精度.注意到抛物线求积公式是n=2

时的Newton-Cotes公式，它具有3阶代数精度.事实上，可以证明，当n

是偶数时，Newton-Cotes公式具有n+1阶代数精度.考虑，有令，则有令显然q(u)是奇函数，因此，即Newton-Cotes公式具有n+1阶代数精度.谢谢数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

为了提高积分精确度，通常将区间[a,b]适当分割成若干个字区间，对每个子区间使用求积公式，构成所谓的复化求积公式。如在每一个子区间上应用简单的梯形求积公式、抛物线求积公式与两点高斯求积公式，得到对应的复合梯形求积公式、复合抛物线求积公式与复合高斯求积公式.4.6复合求积公式及其误差估计1.复化抛物线求积公式

考虑区间[a,b]分成n等份，分点为

在每一个子区间上利用抛物线求积公式，得2.复化梯形求积公式

考虑区间[a,b]分成n等份，分点为

在每一个子区间上利用梯形求积公式，得(1)复合梯形求积公式对应于二点高斯求积公式得3.复合高斯求积公式

对应于三点高斯求积公式得3.复合高斯求积公式

4.复合求积公式的误差估计

定理如果函数f(x)具有2阶连续导数，那么复合梯形求积公式（1）有如下误差估计

设函数f(x)具有4阶连续导数，那么复合抛物线求积公式有误差估计（2）（3）例4.6.1对于函数，取n=4,利用符合抛物线求积公式与Newton-Cotes公式计算积分.解：将区间进行4等分,用复合梯形求积公式(1)得到用Newton-Cotes公式得例4.6.2对于积分，利用复合梯形求积公式和复合抛物线求积公式,要使截断误差不超过，区间[0,

]应分多少等份?解根据复合梯形求积公式余项估计式（2）得解得因此.根据复合抛物线求积公式余项估计式（3）得解得因此即可满足条件.谢谢数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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4.6复合求积公式及其误差估计

4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

上节例4.6.2通过估计误差来确定积分区间的分点数目,一般而言,误差随分点数增加而减少,但这种方法不是对所有被积函数都易于使用.那么如何确定适当（最少）的分点数使真值与近似值之差在允许的范围之内是一个令人们关注的问题，将积分区间逐次分半是这类方法之一.4.7积分区间逐次分半求积方法1.梯形求积公式的逐次分半法对区间[a,b]用梯形公式：将区间[a,b]二等分，用梯形公式，得

其中将区间再等分，分别用梯形公式，再相加得其中是第二次等分区间三个分点.一般地有由复化梯形求积公式的误差估计式（2），可以看出这里c为常数，仅与被积函数及积分区间相关.再次二分区间后误差为以上两式相减得因此，可以利用估计误差由此，可以判断近似值是否以满足要求，只需考查是否满足，这里

是容许误差。如果该条件成立，说明近似值满足计算要求，否则可以将区间继续二分，直到满足为止。2.抛物线求积公式的逐次对区间[a,b]用抛物线求积公式：其中将区间[a,b]二等分，分别于上用抛物线求积公式，得（*）与（*）式比较，假定与近似相等，则有（**）与（**）式相比较得由此，可以判断近似值是否以满足要求，只需考查是否满足，这里

是容许误差。如果该条件成立，说明近似值满足计算要求，否则可以将区间继续二分，直到满足为止。例4.7.1对于积分,利用逐次分半的梯形求积公式,逐次分半的抛物线求积公式考察积分值。解逐次将区间分半，分别利用逐次分半的梯形求积公式,逐次分半的抛物线求积公式进行计算，将计算结果列于表中。可以看出，随着积分区间半分，计算结果逐步接近于真值2，如果考虑容许误差，那么梯形公式需要到小区间长度为时终止，因为

注意到例4.6.2给出复合梯形公式给出的结果是要将区间进行72等分，小区间长度远小于区间逐次半分的结果。对于抛物线公式，达到同样的精度，需要到小区间长度为时终止，因为注意到例4.6.2给出复合抛物线公式给出的结果是要将区间进行4等分，两者差不多一致.谢谢数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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4.5牛顿-科茨公式

4.6复合求积公式及其误差估计

4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

4.8数值微分1.差商求导公式

存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，记作：

上面三式分别被称为一阶导数的向前差商公式，向后差商公式和中心差商公式，中心差商公式也被称作中点公式.

借助Taylor展开式，取步长h为参数，将一阶展开：

则有：即于是有：

公式(4.8.2)计算导数时截断误差的与公式(4.8.1)的结论相同

将两式相减得

类似于一阶导数的中心差商公式，可以得到二阶导数的中心差商计算公式:2.插值型求导公式

基于插值方法的数值微分做法是，由已知建立拉格朗日插值多项式或Newton插值多项式，即或则有余项：

则有余项：

对余项公式两端求导得：

略去误差项有类似的有几种常用的求导公式(1)两点公式当n=1时，数据表如下表：则有插值公式

这正是一阶导数的向前差商公式和向后差商公式。下面考虑两点公式的截断误差，为了计算余项导数，先计算

此时截断误差分别为：

(2)三点公式当n=2时，数据表如下表：则有插值公式

则在插值点处的导数为：一阶导数的中心差商公式考虑三点公式的截断误差，计算

则截断误差分别为：

例已知函数由如下数据表给出，求各点处的导数值。

x-4-3-2-101234y0.05880.10.20.510.50.20.10.0588解：在Python中可以通过定义一个函数fun_diff_3points以实现三点插值型求导公式：例4.9.4角膜是眼球前部的透明组织，具有保护眼睛和屈光作用。角膜的屈光力约占全部眼球屈光力的70%，作为类似于旋转抛物面的角膜，其屈光力与角膜前后表面曲率密切相关。已知角膜前表面沿水平方向曲线弧的数据点坐标，求角膜前表面水平方向顶点的曲率和以顶点为中心3mm范围内的平均曲率。x(mm)y(mm)x(mm)y(mm)x(mm)y(mm)-1.9980.4144-0.6540.61330.6900.5761-1.9140.4342-0.5700.61780.7740.5659-1.8300.4529-0.4860.62140.8580.5547-1.7460.4706-0.4020.62400.9420.5426-1.6620.4873-0.3180.62581.0260.5295-1.5780.5030-0.2340.62671.1100.5155-1.