初中中考数学函数专题专题25利用二次函数解决实际问题含答案及解析

专题25利用二次函数解决实际问题知识对接考点一、怎样解二次函数的最值在实际问题中的应用问题二次函数的最值在现实生活中应用广泛，通常是先列出二次函数关系式，然后利用或将二次函数的解析式化成项点式进行求解.考点二、怎样解生活中的“抛物线型”问题抛物线是人们最为熟悉的曲线之一，诸如抛出球的运动路线、抛物线型大门、抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型栏杆等，都:是抛物线型.解此类问题，主要是建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质解决相关问题.专项训练一、单选题1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（）A．4 B．5 C．6 D．72．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（）A．甲车超速 B．乙车超速C．两车都超速 D．两车都未超速3．如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（）A． B． C． D．4．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为，若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（）A． B． C． D．5．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π6．如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A． B．C． D．7．用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（）A． B． C． D．8．如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（）A．16 B．8 C．2 D．49．设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A． B． C． D．110．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1二、填空题11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．12．如图，用一段长为10米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园，设为米，则菜园的面积（平方米）与（米）的关系式为______．（不要求写出自变量的取值范围）13．二次函数（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为________．14．某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是___米．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．三、解答题16．已知抛物线y＝ax2＋bx过点A（4，0）和B（－，－）．（1）求抛物线的解析式；（2）C、D为第一象限抛物线上的两点，CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，直线BC、BD交y轴于M、N．求证：ME∥NF；（3）将抛物线向左平移3个单位，新的抛物线交y轴于Q，直线y＝kx（k＜0）交新抛物线于G、H．当∠GQH＝90°时，求k的值．17．如图1，已知直线，交轴于点，交轴于点，且．（1）求直线的解析式；（2）如图2，动点以1个单位/秒的速度从点出发沿向运动，动点以2个单位/秒的速度从点出发沿向运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，求与的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，将向右平移得到，交于点，若的面积被直线分成两部分，求线段的长度．18．某矩形工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为，求丝绸花边的宽度．（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，不考虑其他情况，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？19．某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．20．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？21．已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，交轴于点．（1）求点的坐标和抛物线的解析式；（2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，当取得最大值时，求点的坐标；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的边时，求点的坐标．22．一座古老的石拱桥的侧面形状可以用如图抛物线刻画，OB为水平面，距O点水平距离1米的AC处立着一个水泥柱加固桥梁，拱桥在距O点水平距离3米处达到最大高度9米．（1）求此抛物线的解析式．（2）一只蜻蜓落在水泥柱左侧的拱桥内壁P处，且它飞到C点和A点的距离相同，求这只蜻蜓到水泥柱的水平距离．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，﹣3a)．（1）求点B的坐标；（2）若a＝，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标；（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．

专题25利用二次函数解决实际问题知识对接考点一、怎样解二次函数的最值在实际问题中的应用问题二次函数的最值在现实生活中应用广泛，通常是先列出二次函数关系式，然后利用或将二次函数的解析式化成项点式进行求解.考点二、怎样解生活中的“抛物线型”问题抛物线是人们最为熟悉的曲线之一，诸如抛出球的运动路线、抛物线型大门、抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型栏杆等，都:是抛物线型.解此类问题，主要是建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质解决相关问题.专项训练一、单选题1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先求得抛物线的顶点坐标，再根据AB=4,得出点B的横坐标，代入抛物线解析式得出点B的纵坐标，从而可求得CD的值，则利用CE=CD+DE计算即可得出答案。【详解】∵=（x-1）2+3，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），∵AB=4，∴BC=2，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher点B的横坐标为x=3，把x=3代入得y=7，∴CD=7-3=4，∴CE=CE+DE=4+2=6，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并求得顶点D和点B的坐标是解题的关键2．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（）A．甲车超速 B．乙车超速C．两车都超速 D．两车都未超速【答案】B【分析】先由题意分别求解不等式，求解甲、乙两种车型的事发前的车速得答案．【详解】解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即或．由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即或．由于，从而可得：，．经比较：乙车超过限速．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次不等式的解法，利用数形结合的思想得出结果，正确理解其与二次函数的关系是解题的关键．3．如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．【详解】解：当在上时，即点在上时，有，此时阴影部分为等腰直角三角形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；当点在弧上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，设，则，，，当时，，，，当时，，，，在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．4．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为，若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（）A． B． C． D．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】D【分析】将（0，1）代入求得函数解析式为，再由题意可得方程，由存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，故△，即可求出相应的范围．【详解】解：将（0，1）代入，得：，解得：，∴，令，则可得方程，∵存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，∴方程有两个不相等的实根，整理得：，△，解得：，又，∴的取值范围为：，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题．5．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣)2+π，再根据二次函数的性质即可求解．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：∵2r+l＝6，∴l＝6﹣2r，∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴当r＝时，S侧有最大值．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:是解题的关键．6．如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．，，，，是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，四边形CMPN是平行四边形，，，，如图2中，当时，过点M作于K，则，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher．如图3中，当时，，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．7．用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设矩形的长为am，宽为bm，可得a+b＝10（m），由菜园的对角线长为xm，根据勾股定理a2+b2＝x2更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，由三角形成立条件与两数差平方非负性可得，由公式配方可得即可．【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，根据题意，得a+b＝20÷2＝10（m），∵菜园的对角线长为xm，∴a2+b2＝x2，∵x，，∴x2=a2+b2≥,仅当取等号，∴x2≥2×5×5，∴x≥，，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴102＝x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x＝时，y＝25，∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线．故选：B．【点睛】本题考查列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积，掌握列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积是解题关键．8．如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．16 B．8 C．2 D．4【答案】D【分析】根据正方形与等腰直角三角形的性质得到AH=AD=AB=BC，根据图象分析最大面积为，再根据路程与时间的关系得到，最后得到结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△FGH为等腰直角三角形，∴AH=AD=AB=BC，∵△FGH向右移动时，重合部分的面积越来越大，直至△FGH完全在正方形ABCD内部，此时，接着往下运动的话，不完全在正方形ABCD内，则面积减小，∴图2中是重合部分的面积最大值，∴，∵以的速度向右移动，由图2可知从开运动到结束用了（a+4）s，∴2AB=(a+4)×1,∴AB=,∵,解得：a=4或者a=-4，∴a=4，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键在于分析等腰直角三角形的运动过程，找出运动时间与路程，列出方程求解．9．设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，∴，即，，设AB的解析式为：，代入A(a，a²)，解得：，∴，∵，即，∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，故CH的最大值为，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，解得：；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher综上可得：的最大值和最小值分别是，．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．二、填空题11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．【答案】11【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，则，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．12．如图，用一段长为10米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园，设为米，则菜园的面积（平方米）与（米）的关系式为______．（不要求写出自变量的取值范围）【答案】y=-2x2+10x更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】根据AB的长为x米可以得出BC的长为（10-2x）米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．【详解】解：∵AB的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC=10-2x，∵菜园的面积=AB×BC=x•（10-2x），∴y=-2x2+10x．故答案为：y=-2x2+10x．【点睛】本题考查了函数关系式．解题的关键是能够正确利用矩形的周长公式用含x的代数式表示BC，然后利用矩形的面积公式即可解决问题．13．二次函数（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为________．【答案】2【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），根据抛物线与x轴的两交点的连线段的长度公式得到抛物线y=-x2+2mx+n（m，n是常数）的图象与x轴两个交点的距离为，根据等边三角形的性质得解得m2+n=3，则此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得，解得m2+n=1，则此时抛物线的顶点的纵坐标为1，从而得到k的值．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，抛物线与x轴的两交点的连线段的长度．当抛物线与轴的两个交点及顶点构成直角三角形时，由抛物线的对称性可知该直角三角形为等腰直角三角形，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher则，若将这条抛物线向上平移k个单位后，图象与轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，此时顶点的纵坐标为．所以，则，所以．故k的值为2．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．14．某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是___米．【答案】24

【分析】设抛物线的解析式为，由题意可得A（-24，0），E、F的纵坐标为9，且E、F对称，据此求解即可.【详解】解：设抛物线的解析式为，有题意可知A（-24，0），E、F的纵坐标为9，且E、F对称，∴，解得，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴抛物线的解析式为，把代入解析式中得，解得，∴米，故答案为：24.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识进行求解.15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．【答案】1264【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．三、解答题更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher16．已知抛物线y＝ax2＋bx过点A（4，0）和B（－，－）．（1）求抛物线的解析式；（2）C、D为第一象限抛物线上的两点，CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，直线BC、BD交y轴于M、N．求证：ME∥NF；（3）将抛物线向左平移3个单位，新的抛物线交y轴于Q，直线y＝kx（k＜0）交新抛物线于G、H．当∠GQH＝90°时，求k的值．【答案】（1）y=-x2+4x；（2）见解析；（3）-1【分析】（1）将点A、B代入抛物线的解析式中可得答案；

（2）设、，两点确定一条直线，即可得BC、BD的解析式．OE、OM、OF、ON线段可以m、n来表示，可以求出，，即可得ME∥NF．

（3）由题意得新抛物线的解析式为：，与直线联立方程可得G、H的横坐标．由勾股定理得，，即可得k的值．【详解】解：（1）将点A（4，0）和B（－，－）代入中，

得可解得，

∴抛物线解析式为：；

更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）证明：设、，

则直线BC的方程可设为，

BD的方程设为，

将B、C坐标代入y1中得，

解得，∴OE=m，，，

同理将B、D坐标代入y2=k2x+b2中

得，

可解得，

∴OF=n，ON=，∴，

∵tan∠OEM=tan∠OFN，且均为锐角，

∴ME∥NF；

（3）由（1）知，，则向左平移3个单位后，新的解析式为，

联立，

解得，

设G点的坐标（x1，kx1），H点横坐标为（x2，kx2），

更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherx1+x2=-=-（k+2），

x1+x2=-3，

Q点是新抛物线与y轴交点，把x=0，代入中，

得y=3，∴Q的坐标为（0，3），

∴，，当∠GQH=90°时，由勾股定理得，GQ2+QH2=GH2，

即9-6k（x1+x2）=-（2+2k2）x1x2，

得k=-1，

即k的值为-1．【点睛】本题主要考查二次函数、平行的相关知识．解本题的关键是熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数解析式锐角三角函数、勾股定理、解方程组等．17．如图1，已知直线，交轴于点，交轴于点，且．（1）求直线的解析式；（2）如图2，动点以1个单位/秒的速度从点出发沿向运动，动点以2个单位/秒的速度从点出发沿向运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，求与的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，将向右平移得到，交于点，若的面积被直线分成两部分，求线段的长度．【答案】（1）；（2）；（3）线段的长为或【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）先根据解析式，可得，再由，可求出，然后利用待定系数法，即可求解；（2）过点作轴于点，根据题意可知：，，，由，可得，利用相似三角形的对应边成比例，可得，即可求出与的函数关系式；（3）作轴于点，由（2）可得当时，有最大值，再由，可得，，再利用勾股定理可求出，再由∽，可得，然后根据直线把的面积分成两部分，可得或，即可求解．【详解】解：（1）对于直线，当时，，∴，∴，∵∴，∴，把代入，解得，∴直线的解析式是；（2）解：如图，过点作轴于点，根据题意可知：，，∴，在中，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵，∴，∴，即，解得：∴；（3）解：由（2）可知，∴当时，有最大值则，，如图，作轴于点，由（2）知，∴，即，解得：，，∴，在中，，∴，∵向右平移得到，∴，∴∽，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，∵直线把的面积分成两部分，∴或，①当时，；②当时，；综上所述，线段的长为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，图形的平移等知识，学会构建二次函数解决最值问题和分类讨论思想是解题的关键．18．某矩形工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为，求丝绸花边的宽度．（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，不考虑其他情况，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）；（2）应该把销售单价定为75元，能使每天所获的利润最大，最大利润为24500元【分析】（1）设丝绸花边的宽度为xcm，根据长方形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；（2））设销售单价降低m元，利润为W，求出W关于m的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】解（1）设丝绸花边的宽度为xcm，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher由题意得：即，解得或（舍去），答：丝绸花边的宽度为；（2）设销售单价降低m元，利润为W，由题意得：，∴当时，W取得最大值，最大值为24500，销售单价为100-25=75元，答：应该把销售单价定为75元，能使每天所获的利润最大，最大利润为24500元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．【答案】（1）w＝−10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）当外卖每份售价45元，每月的销售利润最大利润6250元；（3）35≤x≤50【分析】（1）根据“总利润＝单份利润×月销售数量”列出函数解析式，（2）将函数配方成顶点式，利用二次函数的性质可得；（3）先求得W＝4000元时x的值，再结合二次函数的性质确定W≥4000时x的范围即可得．【详解】（1）设该外卖每份售价x元，则每份的利润为（x-20）元，每月的销售量为200＋（50-x）×10，根据题意得w＝（x-20）[200＋（50-x）×10]＝−10x2+900x-14000，∵每月最多制作该外卖350份∴200＋（50-x）×10≤350更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得x≥35∵x≤50，∴自变量x的取值为35≤x≤50，∴w与x之间的函数关系式为w＝−10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）∵w＝−10x2+900x-14000=-10（x-45）2+6250∴当x=45时，每月的销售利润最大w=6250；（3）当W＝4000时，得：−10x2+900x-14000＝4000，解得：x1＝30，x2＝60，∵35≤x≤45时，w随x的增大而增大；45≤x≤50时，w随x的增大而减小∴要使每月的销售利润不低于4000元，x的取值为35≤x≤50．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的图象和性质．20．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？【答案】他垂直起跳的高度至少要达到米【分析】设抛物线的解析式为：，根据题中给出的顶点坐标以及抛出点的坐标求得解析式，将代入解析式可得答案．【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，与抛出点的坐标为，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher设抛物线的解析式为：，顶点坐标代入得：，抛出点坐标代入得：，解得：，∴抛物线得解析式为：，当时，，米，故他垂直起跳的高度至少要达到米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．21．已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，交轴于点．（1）求点的坐标和抛物线的解析式；（2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，当取得最大值时，求点的坐标；（3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的边时，求点的坐标．【答案】（1）y＝−x2＋5x＋6，C（0，6）；（2）P（3，12）；（3）（，）或（，）【分析】（1）当x＝0时，y＝6，可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）先求出直线AC的解析式，再设D（t，−t＋6）（0＜t＜6），知P（t，−t2＋5t＋6），从而得PD＝−（t−3）2＋9，据此可得答案；（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（6，0），B（−1，0），∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，∴抛物线的解析式为y＝−x2＋5x＋6，当x＝0时，y＝6，∴点C（0，6）；（2）如图（1），∵A（6，0），C（0，6），∴直线AC的解析式为y＝−x＋6，设D（t，−t＋6）（0＜t＜6），则P（t，−t2＋5t＋6），∴PD＝−t2＋5t＋6−（−t＋6）＝−t2＋6t＝−（t−3）2＋9，当t＝3时，PD最大，此时，−t2＋5t＋6＝12，∴P（3，12）；（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x轴，由（2）知，直线AC的解析式为y＝−x＋6，由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x=当x＝时，y＝，∴F（，），∴点N的纵坐标为，设N的坐标为（m，−m2＋5m＋6），∴−m2＋5m＋6＝，∴m＝或m＝，∴点N的坐标为（，）或（，）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD＝PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．22．一座古老的石拱桥的侧面形状可以用如图抛物线刻画，OB为水平面，距O点水平距离1米的AC处立着一个水泥柱加固桥梁，拱桥在距O点水平距离3米处达到最大高度9米．（1）求此抛物线的解析式．（2）一只蜻蜓落在水泥柱左侧的拱桥内壁P处，且它飞到C点和A点的距离相同，求这只蜻蜓到水泥柱的水平距离．【答案】（1）y=-（x+3）2+9；（2）米【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;