初中中考数学函数专题专题26二次函数中的有关线段、角的问题含答案及解析

专题26二次函数中的有关线段、角的问题知识对接考点一、与线段有关的问题类型一:已知共线的线段关系-----------------转化为A字型或8字型类型二:已知不共线的两条线段关系---------利用三角函数解决问题类型三:等腰+直角-----------构造中点直角三角形类型四:利用已知线段构造可解的三角形-考点二、与角有关的问题类型一:与已知直线成定角问题类型二:倍角问题(倍角与半角之间的转化)类型三:转化为基本图形类型四:2∠A+3∠B=180°---------转化为等腰的问题专项训练一、单选题1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜2．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为（

）A． B． C． D．3．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是()A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对4．抛物线（其中，是常数）过点A(2，6)，且物线的对称轴与线段有交点，则的值不可能是（）A． B． C． D．145．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连结，当最短时，点的坐标为（）A． B． C． D．6．已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．7．如图①，在矩形中，当直角三角板的直角顶点在上移动时，直角边始终经过点，设直角三角板的另一直角边与相交于点．在运动过程中线段的长度为，线段的长为，与之间的函数关系如图②所示．则的长为（）

A．2.25 B．3 C．4 D．68．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣1 B．2 C．25 D．49．抛物线（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段（）有交点，则c的值不可能是（）A．5 B．7 C．10 D．1410．如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题11．如图，中，，，，点在边上运动（与点、不重合），以为圆心，长为半径的与相交于点，线段的中垂线交于点，则长的最小值等于______．12．已知抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，是的中点．在抛物线上，关于直线的对称点为，关于点的对称点为．当时，线段的长随的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应的取值范围）13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．14．已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若点M在y轴上，且满足∠BCO＋∠BMO＝∠ACO，则M点的坐标为_______．15．若抛物线y＝x2﹣2x与x轴分别交于A、B两点，则线段AB的长为_____．三、解答题16．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，连接AD、AC、CD，CD交x轴于E．

（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S△DAE=S△ACD时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求抛物线的对称轴及线段的长．（2）若点的坐标为，点在抛物线上，连接后满足，将直线上下平移，平移后的直线与抛物线交于，两点（在的左侧），若以点，，为顶点三角形是直角三角形，求平移后的直线解析式．（3）若，且在抛物线上存在点，使得，直接写出的取值范围．19．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过，，与轴交于点．（1）求地物线的解析式．（2）如图2，点为拋物线第四象限上一点，交轴于，设点的横坐标为，求线段的长与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．20．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d的最大时点P的坐标．21．已知二次函数．（1）若二次函数图象的对称轴为直线，求的值；（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围；（3）已知，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围．22．已知函数y＝x2﹣2x+2a﹣1（a为常数）．（1）当函数图象与y轴交于点（0，1）时，①求a的值．②直线y＝m与函数图象交于A、B两点，当AB＝3时，求m的值．（2）当a＞0，x≥2时，函数图象上的最低点到直线y＝a距离为1，求a的取值范围．（3）函数图象与直线x＝2a交于点P，把点P向左平移4个单位得到点Q，以PQ为直角边作等腰直角三角形RPQ，点R与抛物线顶点始终在PQ两侧，线段QR与函数图象交于点G，时，直接写出a的值．23．若抛物线对应方程的一个根为．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若抛物线与x轴的一个交点是A（左交点），与y轴交于点C，点P是线段上一动点，过点P作平行于y轴的直线与交于点Q，设的面积为S，求S的最大值及取得最大值时点P的坐标；（3）若点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D，M在线段上，点N在线段上，是的垂直平分线，求点M的坐标．

专题26二次函数中的有关线段、角的问题知识对接考点一、与线段有关的问题类型一:已知共线的线段关系-----------------转化为A字型或8字型类型二:已知不共线的两条线段关系---------利用三角函数解决问题类型三:等腰+直角-----------构造中点直角三角形类型四:利用已知线段构造可解的三角形-考点二、与角有关的问题类型一:与已知直线成定角问题类型二:倍角问题(倍角与半角之间的转化)类型三:转化为基本图形类型四:2∠A+3∠B=180°---------转化为等腰的问题专项训练一、单选题1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜【答案】C【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜①当a＜0时，解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，解得：a≥1∴1≤a＜综上所述：1≤a＜或a≤﹣2故选C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数表达式可得对称轴为直线，由及二次函数的对称性可得，进而可得的等量关系式，然后根据得出的值，所以得出C的坐标，最后根据求解即可．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher如图所示：抛物线，对称轴为直线抛物线与轴的交点为和，OA=5当y=0时，-5与2是方程的两个根根据韦达定理可得：即即，解得．故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可．3．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是()更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对【答案】A【分析】由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣，根据二次函数的性质可得﹣，由此可得a=3，继而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得当E在AB上时，y=时，x=，据此即可作出判断．【详解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，∵E作EF⊥AE，∴△ABE∽△ECF，∴，∴，∴y=﹣，∴当x=时，﹣，解得a1=3，a2=（舍去），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴y=﹣，当y=时，=﹣，解得x1=，x2=，当E在AB上时，y=时，x=3﹣=，故①②正确，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．抛物线（其中，是常数）过点A(2，6)，且物线的对称轴与线段有交点，则的值不可能是（）A． B． C． D．14【答案】A【分析】用函数经过的点得到c=2-2b，结合对称轴所在的区间，得到，从而求出c的范围判断选项即可．【详解】解：∵抛物线过点A(2，6)，∴，即：c=2-2b，∵抛物线的对称轴为直线：与线段有交点，∴，即：，∴，∴6≤c=2-2b≤14，∴5不可能取到，故选A．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是找到b的取值范围以及c=2-2b．5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连结，当最短时，点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设C点坐标为(m，n)，即，，根据勾股定理表示出DE的长度，根据二次函数图像性质求出最小值即可．【详解】解：设C点坐标为(m，n)，即，，∴故当m时，最小，即DE最小，∵直线分别与轴、轴交于，两点，C是AB上的一点，∴点A的坐标为（4,0），∴，∴当时，DE的长度最小，此时点C的坐标为，故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数点的特征，勾股定理，利用二次函数解决最值问题，熟练掌握函数图像的性质，列出相应的二次函数解析式是解题关键．6．已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：由题意得：线段（除外）位于第四象限，过点且平行轴的直线在轴的下方，抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，，画出函数图象如下：结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即，解得，又，，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键．7．如图①，在矩形中，当直角三角板的直角顶点在上移动时，直角边始终经过点，设直角三角板的另一直角边与相交于点．在运动过程中线段的长度为，线段的长为，与之间的函数关系如图②所示．则的长为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

A．2.25 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】设AB=m，由函数图像x最大值为6，可得BC=6，由四边形ABCD为矩形，可得∠B=∠C=90°，由直角三角板，可得∠APQ=90°，证明△ABP∽△PCQ，可求，当x=3时函数取最大值2.25，代入函数解析式，即可求解．【详解】解：设AB=m，由函数图像x最大值为6，∴BC=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠C=90°，又∵直角三角板，∠APQ=90°，∴∠APB+∠BAP=∠APB+∠QPC=90°，∴∠BAP=∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ，∴即，∴，当x=3时函数取最大值2.25，∴，∴．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher故选择：C．【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角板的性质，三角形相似判定与性质，二次函数的图像信息获取，正确读懂图象信息、灵活应用所学知识是解题关键．8．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣1 B．2 C．25 D．4【答案】D【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，得出b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，由AB＝4，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，即可得出4n＝16，解得n＝4．【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，∴4n＝16，∴n＝4，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与方程的关系，根与系数的关系，根据题意得出（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16是解题的关键．9．抛物线（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段（）有交点，则c的值不可能是（）A．5 B．7 C．10 D．14更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】A【分析】利用函数经过的点以及对称轴所在的区间，列出方程以及不等式，求出c的范围，再判断选项即可．【详解】解：∵抛物线过点A（2，6），∴代入解析式得：6＝4＋2b＋c，即c＝2−2b，…①．又∵抛物线的对称轴：直线x＝＝与线段（）有交点，即1≤≤3，∴−6≤b≤−2…②．将②代入①可得：6≤c≤14，因此5不在取值范围内．故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数图像的对称轴方程，是解题的关键．10．如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接CN．首先证明∠MCN＝90°，设AC＝a，则BC＝4﹣a，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：连接CN，∵△ACD和△BCE为等边三角形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝∠B＝60°，∠DCE＝60°，∵N是BE的中点，∴CN⊥BE，∠ECN＝30°，∴∠DCN＝90°，设AC＝a，∵AB＝4，∴CM＝a，CN＝（4﹣a），∴MN＝＝＝，∴当a＝3时，MN的值最小为．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．二、填空题11．如图，中，，，，点在边上运动（与点、不重合），以为圆心，长为半径的与相交于点，线段的中垂线交于点，则长的最小值等于______．【答案】2【分析】连接DE，FE，结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠FED==90°，从而证明FE为⨀D在点E的切线，设AD的长为x，结合等边三角形的判定和性质以及锐角三角函数求得CF=，然后根据勾股定理列出DF2关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求其最值【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：如图所示，连接DE，FE，∵点A、E在⨀D上，∴DE=DA，∴∠DEA=∠DAE（等边对等角），又线段BE的垂直平分线FM与线段BC交于点F，与线段BE的交点为M，∴BF=EF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴∠FBE=∠FEB（等边对等角），∴∠FED=180°-∠FEB-∠DEA=180°-∠FBE-∠DAE=∠C=90°，又DE为为⨀D半径，∴FE为⨀D在点E的切线，设AD的长为x，则CD=AC-AD=2-x，DE=AD=x，又∠B=30°，∠C=90°，∴∠CAB=180°-∠C-∠B=60°，∴△DEA为等边三角形，∴AE=AD=x，∴AB＝＝4，BC＝，∴BE=AB-AE=4-x，又MF为线段BE的垂直平分线，∴BF＝，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴CF=BC-BF=，在Rt△CDF中，根据勾股定理，DF2=CD2+CF2DF2=(2−x)2+(2+x)2DF2=（x-1）2+4，∴当x=1时，DF2取得最小值为4，∴DF的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查圆的综合问题，二次函数的性质及解直角三角形，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．12．已知抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，是的中点．在抛物线上，关于直线的对称点为，关于点的对称点为．当时，线段的长随的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应的取值范围）【答案】当时，的长随的增大而减小；当时，的长随的增大而增大．【分析】根据函数关系式求出顶点坐标和对称轴方程，得到点A坐标，根据M与C关于N（3，2）对称求出点C，最后根据BC的取值确定m的取值即可．【详解】解：=则P(3,4)∴A（3，0）∴N（3，2）如图，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher由图知，BC的长随着m的增大先减小，后增大，∵∴∵M与C关于N（3，2）对称∴解得∴C∴∵∴当n=2时，BC最小值=0，此时当n=0或4时，BC最大值=4，此时m=1或3，所以，当时，的长随的增大而减小；当时，的长随的增大而增大．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，对称性，求出BC的取值是解本题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，，抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，设点的坐标为，则点的坐标为，，抛物线，解得，．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若点M在y轴上，且满足∠BCO＋∠BMO＝∠ACO，则M点的坐标为_______．【答案】（0，2）或（0，﹣2）【分析】证明∠BMO＝∠ACD，由，即（3﹣1）×3＝3×DH，解得DH＝，求出，即可求解．【详解】解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（﹣1，0）、（0，3），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher由点B、C的坐标知，CO＝OA＝3，则∠OAC＝∠OCA＝45°，则，如图，当点M在x轴上方时，连接BM，作点B关于y轴的对称点D（1，0），则∠BOC＝∠DOC，，∵∠BCO+∠BMO＝∠ACO＝45°，∠OCA＝∠DCO+∠ACD＝∠BCO+∠ACD＝45°，∴∠BMO＝∠ACD，在△ADC中，过点D作DH⊥AC于点H，则，即，解得，则，解得，则，即点M的坐标为（0，2）；当点M在x轴下方时，根据函数的对称性，则点M（0，﹣2）；综上，点M的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，证明∠BMO＝∠ACD是解题关键．15．若抛物线y＝x2﹣2x与x轴分别交于A、B两点，则线段AB的长为_____．【答案】2【分析】根据抛物线解析式求得A、B两点坐标，然后由两点间的距离公式求线段AB的长度．【详解】解：由抛物线y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）知，A（0，0），B（2，0），则AB＝2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查了抛物线与x更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher轴的交点，二次函数的性质，解题时，运用了抛物线解析式的两种形式间的转换，难度不大．三、解答题16．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，连接AD、AC、CD，CD交x轴于E．

（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S△DAE=S△ACD时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）P点坐标为综上所述：，、、、，．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，再根据可得，然后利用三角形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据对称求出直线AP1的解析式，进而求出得，再由平行得，由垂直平分线得等腰三角形，求直线、得P2、P3，再由RD垂直AP3交垂直平分线于点R，根据距离相等列方程（四次方程，两根已知求出内外两根即可）求出P5P6．【详解】解：（1）由题意，设这个抛物线的解析式为，将点代入得：，解得，则这个抛物线的解析式为，即；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）设点的坐标为，则的边上的高为，，，，，，即，解得或（舍去），此时，则点的坐标为；（3）存在，求解过程如下：如图：P点可能有六种可能，∵点A坐标为（-6，0），点的坐标为，∴直线AD解析式为：，作线段AD的垂直平分线MN交线段AD于M点，则线段AD中点M坐标为，即，设线段AD的垂直平分线MN为，代入可求得，I．当，而且在AD上方时，∴，∴直线AP与直线AD是关于x轴对称，∴直线解析式为：，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher联立函数解析式得：，解方程求得点坐标为,II．当，而且在AD下方时，如图：此时直线，易求，联立函数解析式得解方程求得点坐标为，III．设直线MN与直线交于N点，联立解析式得：，解得：，即点N坐标为，为了简化计算，以下按保留两位小数进行计算，故：点N坐标为（-1.64，0.51），由待定系数法可求直线DN解析为，设直线DN与抛物线交于点，联立解析式得，解方程求得点坐标为，此时，IV．当，而且在AD下方时，如图：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher此时直线，易求，联立函数解析式得解方程求得点坐标为，V．过点作DR垂直于直线，交MN于R点，∵MR⊥AD，∴由待定系数法易求直线DR解析式为：，联立直线MN和DR解析式得：，解方程可得R坐标为：，当时，点P在以R为圆心，以AR为半径的圆上，设点P坐标为（x，y）则：解方程可求得坐标为，，P点坐标为综上所述：，、、、，．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题主要考查了二次函数与几何综合，解题关键是掌握二次函数的性质和利用平行垂直的k值特点求直线解析式的方法，本题难点在于计算，17．如图，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2或．【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解答：解：（1）将A（−1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2＋bx＋c得：，解得：故抛物线的解析式为．（2）如图2，过点D作DM∥BC，交y轴于点M，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，CM=3×2÷4＝1.5，则m＝2＋1.5＝，M（0，）∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝−x＋2，∴DM的解析式为y＝−x＋，联立抛物线解析式，解得，．∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）分两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，如图3所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．∵点B（4，0），F（0，−2），∴直线BF的解析式为y＝x−2，∴直线CD的解析式为y＝x＋2．联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵∠OCH＝90°−∠OHC，∠OBF＝90°−∠BHN，∠OHC＝∠BHN，∴∠OCH＝∠OBF．在△OCH与△OBF中，∴△OCH∽△OBF，∴，即，∴OH＝1，H（1，0）．设直线CN的解析式为y＝kx＋n（k≠0），∵C（0，2），H（1，0），∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝−2x＋2．连接直线BF及直线CN成方程组得：，解得：，∴点N的坐标为（）．∵点B（4，0），C（0，2），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴直线BC的解析式为y＝−x＋2．∵NP⊥BC，且点N（），∴直线NP的解析式为y＝2x−．联立直线BC及直线NP成方程组得：，解得：，∴点Q的坐标为（）．∵点N（），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（）．∵点C（0，2），P（），∴直线CP的解析式为y＝x＋2．将y＝x＋2代入整理，得：11x2−29x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点D的横坐标为．综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式和待定系数法求出点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．18．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher轴交于点．（1）求抛物线的对称轴及线段的长．（2）若点的坐标为，点在抛物线上，连接后满足，将直线上下平移，平移后的直线与抛物线交于，两点（在的左侧），若以点，，为顶点三角形是直角三角形，求平移后的直线解析式．（3）若，且在抛物线上存在点，使得，直接写出的取值范围．【答案】（1），AB=5；（2）或；（3）【分析】（1）先根据抛物线对称轴公式求出对称轴，然后令，则即，从而求出A、B的坐标，即可求得AB的长；（2）射线AP与y轴交于，先求出的坐标从而求出直线AP的解析式，即可得到P点的坐标，然后分当时和当时两种情况讨论求解即可；（3）根据∠ANB=90°，即可得到点N在以AB为直径的圆上，求出N所在的圆的半径为，再根据N在抛物线上，则抛物线的顶点必须在圆上或在圆外，由此求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为，令，则即，∴，解得或，∴A（-2，0），B（3，0），∴AB=3-（-2）=5；（2）如图，射线AP与y轴交于，∵C（0，-3），∴OC=3，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher在△ACO和中，，∴△ACO≌（ASA），∴，∴（0，3），设直线AP的解析式为，∴，解得，∴直线AP的解析式为，∵抛物线经过点C（0，-3），∴即，∴抛物线的解析式为，联立∴即更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，∴或（舍去，因为与A点重合），∴当时，，∴P（6，12），设直线BC的解析式为，∴，解得，∴直线BC的解析式为，∵直线是经过直线BC平移得到的，∴可设直线的解析式为，如图所示，当时，取的中点E，连接PE，则，∴，设，，联立，∴，∴，，∴，∵∴，∵，∴即，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得或（舍去，因为此时P在直线上），∴此时直线的解析式为；当时，如图延长交BC于H，交x轴于G，由平行线的性质可知，∠BHG=90°，∵OB=OC=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∴∠PGO=45°，过点P作PQ⊥OG于Q，则GQ=PQ=12，∴OG=OQ+QG=18，过G（18，0），设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，联立，解得：或（舍去），∴，∴，解得，∴此时直线的解析式为；当时，很显然不存在，综上所述，直线的解析式为或；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）把代入中，∴抛物线的顶点坐标为，∵∠ANB=90°，∴点N在以AB为直径的圆上，∵AB=5，∴N所在的圆的半径为，又∵N在抛物线上，∴抛物线的顶点必须在圆上或在圆外，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过，，与轴交于点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求地物线的解析式．（2）如图2，点为拋物线第四象限上一点，交轴于，设点的横坐标为，求线段的长与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图2中，过点作轴于．设，则，，利用相似三角形的性质求出即可解决问题．【详解】解：（1）经过，，，解得，．（2）如图2中，过点作轴于．设，则，．对于抛物线，令，得到，，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，，，，．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．20．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d的最大时点P的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：y=-x2+2x+6，（2，8）；（2）存在，点M的坐标为（2-2，-6）或（2+2，-6）或（4，6）．（3）当x=3时，d取得最大值，此时点P（3，）．【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B的坐标代入函数表达式即可求解；（2）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况分别求解即可；（3）先求出AB解析式，可求d=PH=PG=，即可求解．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：（1）由抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B（6，0）代入函数表达式得：0=36a+12+6，解得：a=-，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+6，∵y=-x2+2x+6=，∴函数图象的顶点坐标为（2，8）；（2）设点M（m，n），n=-m2+2m+6，点N（s，0），①当AB是平行四边形的一条边时，点A向右、向下均平移6个单位得到B，同理点N右、向下均平移6个单位得到M，故：s+6=m，0-6=n，∴-m2+2m+6=-6解得：m=2±2，故点M的坐标为（2-2，-6）或（2+2，-6）；②当AB是平行四边形的对角线时，则AB的中点即为MN的中点，则s+m=6，n+0=6，∴-m2+2m+6=6解得：m=4，m=0(不合题意舍去)故点M的坐标为（4，6），综上，点M的坐标为（2-2，-6）或（2+2，-6）或（4，6）．（3）如下图，过点P作PG∥y轴交AB于点G，作PH⊥AB交于点H，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵OA=OB=6，则∠OAB=∠OBA=45°，∵PG∥y轴，则∠PGH=∠OAB=45°，直线AB的表达式为：y=-x+6，设点P（x，），则G（x，-x+6），，当x=3时，d取得最大值，此时点P（3，）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、点的平移、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．21．已知二次函数．（1）若二次函数图象的对称轴为直线，求的值；（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围；（3）已知，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）且，【分析】（1）直接根据二次函数对称轴公式可得答案；

（2）根据二次函数的性质可得问题的答案；

（3）分两种情况，结合根的判别式可得答案．【详解】（1）由题意得，，解得；（2）由题意得，时，y随x的增大而减小，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher二次函数开口向下，且对称轴位于x=2的左侧或对称轴为直线x=2,，解得；（3）当时，二次函数与AB只有一个交点，，∴AB在x轴上，，当时，；当时，，，且综上，且，．【点睛】考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质及判别式是解决此题关键．22．已知函数y＝x2﹣2x+2a﹣1（a为常数）．（1）当函数图象与y轴交于点（0，1）时，①求a的值．②直线y＝m与函数图象交于A、B两点，当AB＝3时，求m的值．（2）当a＞0，x≥2时，函数图象上的最低点到直线y＝a距离为1，求a的取值范围．（3）函数图象与直线x＝2a交于点P，把点P向左平移4个单位得到点Q，以PQ为直角边作等腰直角三角形RPQ，点R与抛物线顶点始终在PQ两侧，