2024秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程达标练习含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-求曲线的方程A级基础巩固一、选择题1．已知A(－2，0)，B(2，0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是()A．一个点 B．两个点C．一条直线 D．两条直线解析：设顶点C到边AB的距离为d，则eq\f(1,2)×4×d＝10，所以d＝5.所以顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.答案：D2．若点M到两坐标轴的距离的积为2019，则点M的轨迹方程是()A．xy＝2019 B．xy＝－2019C．xy＝±2019 D．xy＝±2019(x>0)解析：设M(x，y)，则由题意知：|x|·|y|＝2019，所以xy＝±2019.答案：C3．与点A(－1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝3 B．x2＋2xy＝1(x≠±1)C．y＝eq\r(1－x2) D．x2＋y2＝9(x≠0)解析：设动点P(x，y)，则eq\f(y,x＋1)＋eq\f(y,x－1)＝－1，化简得x2＋2xy＝1.又因为直线的斜率存在，所以x≠±1.答案：B4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.因为M，N，P不共线，所以x≠±2，所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D5．假如命题“坐标满意方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，那么以下命题正确的是()A．曲线C上的点的坐标都满意方程f(x，y)＝0B．坐标满意方程f(x，y)＝0的点肯定有些在曲线C上，有些不在曲线C上C．坐标满意方程f(x，y)＝0的点都不在曲线上D．肯定有不在曲线C上的点，其坐标满意方程f(x，y)＝0解析：“坐标满意方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确就是说方程f(x，y)＝0的解所对应的点有的不在曲线上．答案：D二、填空题6．直线x－3y＝0和直线3x－y＝0的夹角的平分线所在直线方程为________．解析：设P(x，y)为角平分线上随意一点，依据角平分线的性质，P到直线x－3y＝0和3x－y＝0的距离相等，所以eq\f(|x－3y|,\r(12＋（－3）2))＝eq\f(|3x－y|,\r(32＋（－1）2))，所以|x－3y|＝|3x－y|，所以x－3y＝±(3x－y)，所以x－3y＝3x－y或x－3y＝－(3x－y)，所以所求直线方程为x＋y＝0或x－y＝0.答案：x＋y＝0或x－y＝07．动点P与平面上两定点A(－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0)连线的斜率的积为定值－eq\f(1,2)，则动点P的轨迹方程为________．答案：x2＋2y2－2＝0(x≠±eq\r(2))8．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是______________________________．解析：数形结合可知P到点(1，0)的距离为定值eq\r(2)，P轨迹为圆，方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝2三、解答题9．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程．解：设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|，到点A的距离|PA|＝eq\r(（x－2）2＋y2)，由已知d＝2|PA|得：|x－8|＝2eq\r(（x－2）2＋y2)，化简得：3x2＋4y2＝48.故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.10．已知B(－3，0)，C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长度为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．解：设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，当A的坐标为(x，3)时，因为AB⊥CH，所以kAB·kCH＝－1，即eq\f(3－0,x－（－3）)·eq\f(y－0,x－3)＝－1(x≠±3)．化简，整理，得y＝－eq\f(1,3)x2＋3(x≠±3)．又x＝±3，y＝0时也适合此方程，所以方程y＝－eq\f(1,3)x2＋3为所求轨迹方程．当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝eq\f(1,3)x2－3.综上所述，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－eq\f(1,3)x2＋3或y＝eq\f(1,3)x2－3.B级实力提升1．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为()A．f(x－3，y)＝0 B．f(y＋3，x)＝0C．f(y－3，x＋3)＝0 D．f(y＋3，x－3)＝0解析：设P(x，y)为对称曲线上随意一点，它关于直线x－y－3＝0对称点的坐标为(x′，y′)，依据题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－y′,x－x′)＝－1，,\f(x＋x′,2)－\f(y＋y′,2)－3＝0，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝y＋3，,y′＝x－3.))又(x′，y′)适合方程f(x，y)＝0，故所求对称曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.答案：D2．直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是__________________．解析：(参数法)直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1与x，y轴交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB中点为M(x，y)，则x＝eq\f(a,2)，y＝1－eq\f(a,2)，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)3．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲