2025届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题二十四数学文化理含解析

PAGE专题二十四数学文化本试卷满分50分，考试时间40分钟．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2024·泉州模拟)《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端起先的其次尺的重量是()A.eq\f(7,3)斤B.eq\f(7,2)斤C.eq\f(5,2)斤D．3斤答案B解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－eq\f(1,2).∴a2＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).故选B.2．(2024·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金分割比例))，闻名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人满意上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至颈项下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm答案B解析设某人身高为mcm，颈项下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得eq\f(m－105,105)>eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，解得m>169.890.由头顶至颈项下端的长度为26cm，可得eq\f(26,n)>eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，解得n<42.071.由已知可得eq\f(26＋n,m－n＋26)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，解得m<178.218.综上，此人身高m满意169.890<m<178.218，所以其身高可能为175cm.故选B.3．(2024·商丘二模)祖暅是南北朝时代的宏大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，假如截面面积都相等，那么这两个几何体的体积肯定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满意祖暅原理的两个几何体为()A．①②B．①③C．②④D．①④答案D解析设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－eq\f(h,2)，则截面圆的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(h,2)))2；④中截面圆的半径为eq\r(R2－h2)，则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.4．(2024·黄冈模拟)刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A.eq\r(3)πB.eq\f(\r(3)π,2)C．3πD．4π答案B解析由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P－ABCD，其中底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD且PA＝1，所以PC＝eq\r(3)，PC是四棱锥P－ABCD的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2)，故选B.5．(2024·江西省九江市一模)河图是上古时代神话传闻中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，并结合自己的视察所画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到非常成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,21)D.eq\f(1,252)答案C解析现从这十个数中随机抽取4个数，基本领件总数n＝Ceq\o\al(4,10)，能成为两组的基本领件个数m＝Ceq\o\al(2,5)，则能成为两组的概率是P＝eq\f(m,n)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,21).故选C.6．(2024·晋冀鲁豫名校联考)我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的探讨与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额肯定值的最小值是()A.eq\f(6,78)斤B.eq\f(7,39)斤C.eq\f(7,78)斤D.eq\f(1,11)斤答案C解析设首项为a1，公差为d，则依据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝4，,4a1＋30d＝3，))解得a1＝eq\f(37,26)，d＝－eq\f(7,78).7．(2024·陕西榆林一模)《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发觉当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限靠近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则结束程序时，输出的n为(eq\r(3)≈1.7321，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)()A．6B．12C．24D．48答案C解析模拟执行程序，可得，n＝3，S＝eq\f(1,2)×3×sin120°＝eq\f(3\r(3),4)，不满意条件S＞3，执行循环体；n＝6，S＝eq\f(1,2)×6×sin60°＝eq\f(3\r(3),2)，不满意条件S＞3，执行循环体；n＝12，S＝eq\f(1,2)×12×sin30°＝3，不满意条件S＞3，执行循环体；n＝24，S＝eq\f(1,2)×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满意条件S＞3，退出循环，输出n的值为24.故选C.8．(2024·新乡一模)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为()A.eq\f(119,1077)B.eq\f(160,359)C.eq\f(958,1077)D.eq\f(289,359)答案C解析设一大二小与一大四小样式的灯球数分别为x，y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝360，,2x＋4y＝1200，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝120，,y＝240，))若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为1－eq\f(C\o\al(2,120),C\o\al(2,360))＝eq\f(958,1077).9．(2024·沈阳质量监测)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满意|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π答案D解析以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，故圆的面积为4π.故选D.10．(2024·岳阳市高三质检)中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是