2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课时作业含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE4课时作业23方程的根与函数的零点时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．函数y＝eq\f(1,x)－x的零点是(D)A．1 B．－1C．(1,0)，(－1,0) D．1，－1解析：由y＝0，即eq\f(1,x)－x＝0，解得x＝1或x＝－1.所以函数的零点为1，－1.故选D.2．已知函数f(x)的图象是连绵不断的，有如下的x，f(x)对应值表由表可知函数f(x)存在零点的区间有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．3．方程0.9x－eq\f(2,21)x＝0的实数解的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：设f(x)＝0.9x－eq\f(2,21)x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．4．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(B)A．a>0B．a≤0C．a≥0D．a<0解析：函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则该函数的零点个数是(B)A．1 B．2C．0 D．无法确定解析：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以该函数有两个零点，故选B.6．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是(B)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：依据零点存在性定理，看所给区间的端点值是否异号．因为f(－2)＝e－2－(－2)2＋8×(－2)<0，f(－1)＝e－1－(－1)2＋8×(－1)<0，f(0)＝1，所以f(－1)f(0)<0，那么函数f(x)的零点必在区间(－1,0)上．故选B.二、填空题7．函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为2.解析：令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，画图可得函数y＝lnx与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.8．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为(－1,0)．解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0<0，,f1>0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<0，,1＋b>0.))∴－1<b<0.9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是[0,1)．解析：函数f(x)的简图如下图，函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于f(x)＝m有三个零点，即函数y＝f(x)与函数y＝m的图象有三个交点．明显，由图象知，当直线y＝m在x轴和直线l：y＝l之间时符合题意，故0≤m<1.三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－eq\f(1,2)<0，f(0)＝20－02＝1>0，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．11．若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－1，符合题意；当a>0时，此函数图象开口向上，又f(0)＝－1<0，结合二次函数图象知符合题意；当a<0时，此函数图象开口向下，又f(0)＝－1<0，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋4a＝0，,－\f(－1,2a)<0，))即a＝－eq\f(1,4).综上可知，实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))∪[0，＋∞)．——实力提升类——12．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满意f(a)＝0，g(b)＝0，则(D)A．0<g(a)<f(b) B．f(b)<g(a)<0C．f(b)<0<g(a) D．g(a)<0<f(b)解析：由于函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，且f(a)＝0，所以a∈(0,1)，同理可知b∈(1,2)．由于函数g(x)，f(x)均在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)<g(1)＝－2<0，f(b)>f(1)＝e－1>0，于是有g(a)<0<f(b)，故选D.13．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋lgx－2，x>2，,10|x－1|，x≤2，))若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是(D)A．(0,10] B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，10))C．(1，＋∞) D．(1,10]解析：作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋lgx－2，x>2，,10|x－1|，x≤2))的图象如图：f(x)－b＝0有三个不等实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，由图可知，b的取值范围是(1,10]．14．若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝－2或1.解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝eq\f(1,x)，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝eq\f(1,x)的图象，如图所示．由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(1,2)内，所以k＝－2或k＝1.故填－2或1.15．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a2－16≥0，,f1＝5－2a>0，,a>1，))解得2≤a<eq\f(5,2).(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq\f(5,2).(3)因为方程x2－2ax＋4＝0