2024-2025学年高中数学第二章概率2.2超几何分布学案含解析北师大版选修2-3

PAGE§2超几何分布学问点超几何分布[填一填]一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品．用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．假如一个随机变量的分布列由上式确定，则称X听从参数为N，M，n的超几何分布．[答一答]如何正确理解超几何分布？提示：(1)超几何分布是不放回的抽样；(2)超几何分布中各参数k，n，M，N的意义分别为：k是取出的次品件数，n是取出的产品数，M是产品中的次品数，N是产品总数．1．如何推断随机变量X是否听从超几何分布？推断超几何分布时必需满意以下两条：(1)总数为N的物品只分为两类：M(M≤N)件为甲类(或次品)，其余的N－M件为乙类(或正品)．(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数．2．通过实例说明超几何分布及其推导过程构造以下数学模型：一箱内有N个小球，其中有红球n个，从箱中全部小球中任取M个(M≤N)，这M个小球中所含红球的个数X是一个随机变量．事务{X＝m}的概率P(X＝m)＝eq\f(C\o\al(m,n)C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M,N))(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)．则随机变量X的分布列即为超几何分布，推导如下：由于取到每个小球的概率都是相等的，属古典概型，故取M个小球的方法共有Ceq\o\al(M,N)种，其中含有m个红球的取法有Ceq\o\al(m,n)·Ceq\o\al(M－m,N－n)种，于是得取m个红球的概率为eq\f(C\o\al(m,n)·C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M,N))，令取到红球的个数X＝m即得超几何分布列．3．方程思想和分类探讨思想在超几何分布中的应用超几何分布是一种离散型随机变量的分布，其分布列的性质自然也具有一般随机变量分布列的两条性质，自然也可用方程思想求解分布列中的某些未知量，而在求解一些随机变量的概率时，有时须要进行分类探讨．题型一超几何分布的概率[例1]在10件产品中有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得的次品件数X的分布列．[思路探究]明显X听从超几何分布．[解]X的可能取值为0,1,2,3.X＝0，表示取出的5件产品全是正品，所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(5,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(21,252)＝eq\f(1,12)；X＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品，所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(4,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,12)；X＝2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品，所以P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(3,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,12)；X＝3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品，所以P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(2,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,12).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)规律方法解答本题的关键在于先分析随机变量是否满意超几何分布，假如满意超几何分布的条件，则干脆利用超几何分布模型解决．假如不满意，则应借助相应概率公式求解．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.(1)求得分数X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．解：(1)X的取值为8,7,6,5.P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35).∴得分数X的分布列为X8765Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)(2)P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).题型二超几何分布的应用[例2]在一次购物活动中，假设在10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从今10张中任取2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列．[思路探究]解答本题可先利用对立事务求出顾客中奖的概率，再分析X的全部可能取值，明确X取各个值的事务，利用组合及公式P＝eq\f(m,n)进行计算求解．[解](1)P＝1－eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3)，即顾客中奖的概率为eq\f(2,3).(2)X的全部可能值为0,10,20,50,60.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，故X的分布列为：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)规律方法本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算，离散型随机变量的分布列的求法及解决实际问题的实力．生产方供应50箱的一批产品，其中有2箱不合格品，选购 方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格品的箱数”，则X听从参数为N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品，所以被接收的概率为P(X≤1)，即P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(5,48),C\o\al(5,50))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(4,48),C\o\al(5,50))＝eq\f(243,245).即这批产品被接收的概率为eq\f(243,245)(约为0.99184)．[例3]甲、乙等5名大运会志愿者被随机分到A，B，C，D4个不同的岗位服务，每个岗位至少须要1名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参与A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)设随机变量ξ为这5名志愿者中参与A岗位服务的人数，求ξ的分布列．[思路探究]事务相当于把5名大运会志愿者安排到4个不同的岗位，针对不同的事务求出其包含的基本领件的个数，再依据古典概型的概率公式求解即可．[解]把5名大运会志愿者安排到4个不同的岗位，且每个岗位至少须要1名志愿者，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240种支配方法，所以基本领件的个数为240.(1)甲、乙两人同时参与A岗位服务的安排方案有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)．由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人同时参与A岗位服务的概率为eq\f(6,240)＝eq\f(1,40).(2)甲、乙两人不在同一岗位服务的安排方案有240－Aeq\o\al(4,4)＝216(种)．由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为eq\f(216,240)＝eq\f(9,10).(3)随机变量ξ的全部可能取值为1和2.“ξ＝1”表示“只有1人参与A岗位服务”，其安排方案有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(种)，故P(ξ＝1)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4).“ξ＝2”表示“有2人参与A岗位服务”，其安排方案有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝60(种)，故P(ξ＝2)＝eq\f(60,240)＝eq\f(1,4).故随机变量ξ的分布列为ξ12Peq\f(3,4)eq\f(1,4)规律方法解此类题的关键是在理解题意的基础上正确运用排列、组合学问计算出基本领件的个数．在列好分布列后，可依据分布列的性质检验结果是否正确．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求取出的3件产品中一等品件数X的分布列．解：由题意知X的全部可能取值为0,1,2,3，且X听从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，因此P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(35,120)＝eq\f(7,24)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(63,120)＝eq\f(21,40)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,120)＝eq\f(7,40)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).故X的分布列为：X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)——规范解答系列——[例4]甲、乙两人参与一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X的分布列；(2)乙所得分数Y的分布列．[解](1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).所以甲答对试题数X的分布列为X＝k0123P(X＝k)eq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)乙答对试题数可能为1,2,3.所以乙所得分数Y＝5,10,15.P(Y＝5)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(Y＝15)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).所以乙所得分数Y的分布列为Y＝ai51015P(Y＝ai)eq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：(1)取到的次品数X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率．解：(1)由于从100件产品中任取3件的结果数为Ceq\o\al(3,100)，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为Ceq\o\al(k,5)Ceq\o\al(3－k,95)，那么从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(3－k,95),C\o\al(3,100))，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,95),C\o\al(3,100))(2)依据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1－P(X＝0)≈0.144.1．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率约为(A)A．0.327 B．0.0326C．0.326 D．0.0327解析：一批产品共50件，其中有50×4%＝2件次品，48件正品，从中任取10件共有Ceq\o\al(10,50)种选法，其中抽1件次品有Ceq\o\al(9,48)Ceq\o\al(1,2)种方法．所以抽到1件次品的概率是p＝eq\f(C\o\al(9,48)C\o\al(1,2),C\o\al(10,50))≈0.327.2．12人的爱好小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参与竞赛，若随机变量X表示参与竞赛的“三好学生”的人数，则eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))为(C)A．P(X＝6)B．P(X＝5)C．P(X＝3)D．P(X＝7)解析：由题意可知随机变量X听从参数为N＝12，M＝5，n＝6的超几何分布，由公式P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))易知eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))表示的是k＝X＝3的取值概率．3．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中随意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列：ξ＝k012P(ξ＝k)eq\f(316,495)eq\f(32,99)eq\f(19,495)解析：ξ的可能取值为0,1,2，ξ听从参数为N＝100，M＝20，n＝2的超几何分布，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,20)C\o\al(2,80),C\o\al(2,100))＝eq\f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,80),C\o\al(2,100))＝eq\f(32,99)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(0,80),C\o\al(2,100))＝eq\f(19,495).4．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数