九年级数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第1课时最大面积是多少教案新版北师大版

Page14二次函数的应用第1课时最大面积是多少1．探究长方形窗户透光最大面积的问题，能运用二次函数学问解决实际问题中的最大(小)值．2．感受二次函数是一类最优化问题的数学模型，能用二次函数刻画事物间的相互关系．重点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关学问解决最大面积问题．难点把实际问题转化为“函数”模型．一、复习导入1．二次函数的表达式常用的表示方法是什么？2．二次函数的最值如何求？师：本节课我们学习用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学学问，就可以一步步地得到问题的解．二、探究新知1．课件出示：如下图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD.其中AB和AD分别在两直角边上．(1)假如设矩形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相像求出BC.由△EBC∽△EAF，得eq\f(EB,EA)＝eq\f(BC,AF)，即eq\f(40－x,40)＝eq\f(BC,30).∴AD＝BC＝eq\f(3,4)(40－x)．(2)要求面积的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·eq\f(3,4)(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．解：(1)∵BC//AD，∴△EBC∽△EAF.∴eq\f(EB,EA)＝eq\f(BC,AF).又AB＝x，BE＝40－x，∴eq\f(40－x,40)＝eq\f(BC,30).∴BC＝eq\f(3,4)(40－x)．∴AD＝BC＝eq\f(3,4)(40－x)＝30－eq\f(3,4)x.(2)y＝AB·AD＝x(30－eq\f(3,4)x)＝－eq\f(3,4)x2＋30x＝－eq\f(3,4)(x2－40x＋400－400)＝－eq\f(3,4)(x2－40x＋400)＋300＝－eq\f(3,4)(x－20)2＋300∴当x＝20时，y最大＝300.即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2.师：下面我们换一个条件．设AD边的长为xm，则问题会怎样呢？与同伴沟通．分析：要求面积需求AB的边长，∵AB＝DC，而DC是△FDC中的一边，∴可以利用三角形相像来求．解：∵DC//AB，∴△FDC∽△FAE.∴eq\f(DC,AE)＝eq\f(FD,FA).∵AD＝x，FD＝30－x.∴eq\f(DC,40)＝eq\f(30－x,30).∴AB＝DC＝eq\f(4,3)(30－x)．y＝AB·AD＝x·eq\f(4,3)(30－x)＝－eq\f(4,3)x2＋40x＝－eq\f(4,3)(x2－30x＋225－225)＝－eq\f(4,3)(x－15)2＋300.∴当x＝15时，y最大＝300.即当AD的长为15m时，矩形的面积最大，最大面积是300m2.2．课件出示：把上面的问题中矩形ABCD改为如图所示位置，其他条件不变，那么矩形ABCD的最大面积是多少？处理方式：学生探讨后形成结论，老师让一名学生依据形成的结论板书过程，然后引导学生评价过程的正确性．解：由题意可求出斜边为50m，斜边上的高为24m，设矩形的长为xm，宽为am，矩形ABCD的面积为ym2，则eq\f(x,50)＝eq\f(24－a,24)，得a＝24－eq\f(12,25)x，∴y＝－eq\f(12,25)x2＋24x，当x＝25时，y的最大值为300.三、举例分析例某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中全部黑线的长度和)为15m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？分析：x为半圆的半径，则2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求窗户通过的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋eq\f(π,2)·x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝eq\f(15－7x－πx,4).面积S＝eq\f(1,2)πx2＋2xy＝eq\f(1,2)πx2＋2x·eq\f(15－7x－πx,4)＝eq\f(1,2)πx2＋eq\f(x（15－7x－πx）,2)＝－eq\f(7,2)x2＋eq\f(15,2)x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．解：∵7x＋4y＋πx＝15，∴y＝eq\f(15－7x－πx,4).设窗户的面积是S(m2)，则S＝eq\f(1,2)πx2＋2xy＝eq\f(1,2)πx2＋2x·eq\f(15－7x－πx,4)＝eq\f(1,2)πx2＋eq\f(x（15－7x－πx）,2)＝－eq\f(7,2)x2＋eq\f(15,2)x＝－eq\f(7,2)(x－eq\f(15,14))2＋eq\f(225,56)∴当x＝eq\f(15,14)≈1.07时，S最大＝eq\f(225,56)≈4.02.即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．四、练习巩固1．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是________．2．周长为16cm的矩形的最大面积为________，此时矩形的边长为________，事实上此时矩形是________．3．如图所示，已知△ABC是一个等腰三角形铁板余料，其中CA＝BC＝20cm，AB＝24cm.若在△ABC上截出一个矩形零件DEFG，使DE在边AB上，点F，G分别在CB，CA上，设EF＝xcm，矩形DEFG的面积为y.求y与x之间的表达式，并求出矩形零件DEFG面积的最值．五、课堂小结用数学学问解决实际问题，基本思想如下：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)利用函数求解；(5)检验结果的合理性、拓展等．六、课外作业1．教材第47页“随堂练习”．2．教材第47～48页习题2.8第1～4题．二次函数的应用是学习了二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学学问解决实际问题实力的一个综合考查，是本章的难点．本节课通过学习矩形和窗户透光最大面积问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利