531函数的单调性课件（3）高二下学期数学人教A版选择性

5.3.1函数的单调性（3）复习引入1.一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:（1）在某个区间(a,b)上,如果

,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果

,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.如果在某个区间上恒有

，那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.（2）如果f(x)在(a,b)内单调递增，则

在(a,b)内恒成立；如果f(x)在(a,b)内为单调递减，则

在(a,b)内恒成立.2.判断函数y=f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.例题反思归纳证明：xyO1π练习课本P97例题例2：已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，若当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是________________________.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析:由题意设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x).∵当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴g(x)是定义在R上的偶函数.又f(2)＝0，则g(2)＝2f(2)＝0，∴不等式xf(x)>0等价于g(x)>0＝g(2)，∴|x|>2，解得x<－2或x>2，∴不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞).求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形状，因此熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果.①对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)，一般地，遇到f′(x)>a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数a(若a＝0，则无需构造)，则可构造h(x)＝f(x)－ax.②对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x).③对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x).反思归纳练习解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.例题由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数f(x)的单调区间.反思归纳练习①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.随堂检测4.当x≥1时，证明≤1.证明：要证≤1,因为x≥1.故只需证明lnx+1≤x,令h(x)=x-lnx-1,则h′(x)=1-,∵x≥1,∴h′(x)≥0,∴h(x)在［1，+∞)单调递增，∴x≥1时，h(x)≥h(1)=0.即lnx+1≤x成立，∴当x≥1时,≤1.课堂小结1.利用函数单调性证明不等式.

2. 对于解有关函数的不等式