第01讲 勾股定理（原卷版）-八年级数学

第01讲勾股定理掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。知识点1勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点2勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.考点一：一直直角三角形的两边，求第三边长例1．（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（）A．10 B．234 C．27 D．4.8【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（）A．234 B．12 C．9 【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（）A．13 B．119 C．169 D．119或169考点二：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题例2.（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（）A．7 B．5 C．25 D．1【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（）A．13 B．17 C．7 D．169【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．48 C．65 D．72【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．考点三：等面积法求直接斜边上的高问题例3.（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B． C． D．【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．13 D．【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．考点四：作无理数的线段例4.（2022八上·兴平期中）如图，△ABC是直角三角形，点C在数轴上对应的数为−2，目AC=3，AB=1，若以点C为圆心，CB为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（）A．0.4 B．10−2 C．10−3 【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点A表示的数为x，则x=（）A．2−1 B．-1 C．1−2 【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（）A．13 B．3 C．5−2 【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（）A．−5 B．﹣1−5 C．1−5考点五：勾股定理的证明例5.勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，若AE=5，AB=13，则中间小正方形EFGH的面积是．【变式5-2】（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．1．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．60m C．60m D．120m2．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．3．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝．4．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．5．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．1．（2022八上·大田期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（）A．12cm B．15cm C．17cm D．20cm2．（2023八上·渠县期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，CB⊥AB于点B，且BC=2.连接AC，在AC上截取CD=BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（）A．25−2 B．25−4 C．3．（2022八上·杏花岭期中）如图，作一个正方形，使其边长为单位长度，以表示数1的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．−12 B．−13 C．4．（2021八上·侯马期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是9cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64cm2 B．81cm2 C．5．（2022八上·泗县期中）若直角三角形的两条边长为a，b，且满足a−2+|b−3|=06．（2022八上·大田期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49，②a−b=4，7．（2022八上·源城期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．8．（2022八上·代县期末）如图，△ABC是张大爷的一块小菜地，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC=5，9.（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．10．（2022八上·太原期中）阅读与应用：下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．2022年9月22日天气：晴无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．回顾梳理：要在数轴上找到表示±2的点，关键是在数轴上构造线段OA=OA′=2．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，A′，则点A对应的数为2，点A′拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB与OB′，其中O仍为原点，点B，B′分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与O按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！任务：（1）“拓展思考”中，线段OB的长为，OB′的长为；点B表示的数为，点B′（2）请从A，B两题中任选一题作答．我选择