（新教材适用）高中数学第6章平面向量及其应用测评

第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知OA=(2,8),OB=(7,2),则13AB等于(A.(3,2) B.C.(3,2) D.解析:∵AB=OB-∴13AB=答案:C2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=1,则a·(2ab)等于()A.4 B.3 C.2 D.0解析:a·(2ab)=2a2a·b=2|a|2(1)=2+1=3,故选B.答案:B3.设D为△ABC所在平面内一点,AD=13AB+43AC,若BC=λDC(λA.2 B.3 C.2 D.3解析:因为AD=13所以3AD=AB+4AC,则3AD3AC=AB+AC,即3故BC=3DC,则λ=3.答案:D4.在△ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则PA·(PB+PCA.49 B.43 C.解析:由题意可知点P是△ABC的重心,则PA+PB+PC=0,故PA·(PB+PC答案:A5.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为()A.23 B.42 C.522 D解析:由三角形的面积公式,得2=12acsinB=12c×22∵b2=a2+c22accosB=1+322×1×42×2∴b=5.∵bsinB=2R(R为∴R=b答案:C6.设a,b均为单位向量,则“|a3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:|a3b|=|3a+b|⇔|a3b|2=|3a+b|2⇔a26a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a26a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,即“|a3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.答案:C7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析:由bcosC+ccosB=asinA及正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A.∵B+C=πA,∴sinA=sin2A.又A为△ABC的内角,∴sinA=1,A=90°,∴△ABC为直角三角形.答案:A8.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15min时,两船的距离是()A.7km B.C.19km D.解析:如图,由题意知AM=8×1560=2,BN=12×1560=3,由余弦定理得MN2=MB2+BN22MB·BNcos120°=1+92×1×3×-12=13,故MN=答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设向量a=(1,0),b=12,1A.|a|=|b| B.|ab|=2C.ab与b垂直 D.a∥(a2b)解析:|a|=1,|b|=22∵ab=12∴|ab|=22∴(ab)·b=12,-∴(ab)⊥b,故C正确;∵a2b=(0,1),∴a·(a2b)=0,∴a⊥(a2b),故D不正确.答案:BC10.在△ABC中,下列说法正确的是()A.“AB·AC>0”是“△ABCB.“AB·AC<0”是“△ABCC.“|AB+AC|=|BC|”是“A为直角D.“|AB+AC|>|BC|”是“A为锐角解析:∵AB·AC>0,∴|AB||AC|∴cosA>0,∴A为锐角,但是并不能判定△ABC是锐角三角形,故A不正确.由AB·AC<0,可得A为钝角,即△ABC反之,△ABC是钝角三角形不一定能得出A为钝角,故B正确.|AB+AC|=|BC|⇔|AB+AC|=|AB-AC|⇔|AB+AC|2=|故C正确.同样地,|AB+AC|>|BC|⇔AB·AC答案:BCD11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若AM=12AB+B.若AM=2AB-AC,则点M在边C.若AM=BM-CM,则点M是△D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则△MBC的面积是△ABC面积的解析:A项,AM=12AB+12B项,AM=2AB-AC⇒AM-AB=C项,如图,设BC的中点为D,则AM=BM-CM=MBD项,AM=xAB+yAC,且x+y=12⇒2AM=2xAB+2yAC,2x+2设AD=2AM,因为AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的12,所以D正确答案:ACD12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,bsinA=3acosB,sinC=2sinA,则()A.B=πB.a=3C.△ABC的面积S=33D.△ABC的外接圆半径R=3解析:A项中,∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB,∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴tanB=3∵0<B<π,∴B=π故A正确.B项中,∵sinC=2sinA,∴c=2a.由选项A知B=π3,又b2=a2+c22accosB∴a2+(2a)22a·2a·12∴a=3,c=23故B正确.C项中,S△ABC=12acsinB=12×3D项中,2R=bsinB=23,则R=3答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a=(1,0),b=(1,m),若a⊥(mab),则m=.

解析:∵a=(1,0),b=(1,m),∴mab=(m,0)(1,m)=(m+1,m).由a⊥(mab),得a·(mab)=0,则a·(mab)=m+1=0,即m=1.答案:114.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asinB=3b,b+c=5,bc=6,则a=.

解析:因为2asinB=3b,所以2sinAsinB=3sinB,所以sinA=3因为△ABC为锐角三角形,所以cosA=1因为bc=6,b+c=5,所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a2=b2+c22bccosA=7,所以a=7(负值舍去).答案:715.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a5b,设a,c的夹角为θ,则cosθ=.

解析:∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a5b,∴|c|2=4|a|2+5|b|245a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|25a·b=2,∴cosθ=a答案:216.在△ABC中,∠ABC=π2,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=π4,则BD=,cos∠ABD=解析:在△ABD中,由正弦定理,得AB因为AB=4,∠ADB=3π4,AC=A所以sin∠BAC=BCAC=35,cos所以BD=12cos∠ABD=cos(∠BDC∠BAC)=cosπ4·cos∠BAC+sinπ4sin答案:12四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<α<β<π.(1)求|a|的值;(2)求证:a+b与ab互相垂直.(1)解:∵|a|=sin2∴|a|=1.(2)证明:∵|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=sin2β+cos2β=1,∴(a+b)·(ab)=a2b2=|a|2|b|2=0,∴a+b与ab互相垂直.18.(12分)设OA=(2,1),OB=(3,0),OC=(m,3).(1)当m=8时,将OC用(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.解:(1)当m=8时,OC=(8,3),设OC=λ1OA+λ2OB,则(8,3)=λ1(2,1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,λ1),得2解得λ故OC=3OA(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有AB与AC不共线,又AB=OBAC=OC-OA=(m,3)(2,1)则有1×4(m2)×1≠0,得m≠6.19.(12分)已知向量a=3e12e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:(1)a·b,|a+b|;(2)a与b的夹角的余弦值.解:(1)∵a=3e12e2=3(1,0)2(0,1)=(3,0)(0,2)=(3,2),b=4e1+e2=4(1,0)+(0,1)=(4,0)+(0,1)=(4,1),∴a·b=4×3+(2)×1=10.∵a+b=(7,1),∴|a+b|=72+(-(2)设a与b的夹角为θ,则cosθ=a20.(12分)在①3c2=16S+3(b2a2);②5bcosC+4c=5a这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,然后解答补充完整的题目.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知.

(1)求tanB的值;(2)若S=42,a=10,求b的值.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.解:选择条件①:(1)由题意得8acsinB=3(a2+c2b2),即4sinB=3·a2整理可得3cosB4sinB=0,因为cosB≠0,所以tanB=sinB(2)由tanB=34得sinB=35因为S=42,a=10,所以S=12acsinB=12×10c×3解得c=14.将S=42,a=10,c=14代入3c2=16S+3(b2a2)中,得3×142=16×42+3(b2102),解得b=62.选择条件②:(1)因为5bcosC+4c=5a,由正弦定理,得5sinBcosC+4sinC=5sinA,5sinBcosC+4sinC=5sin(B+C),即sinC(45cosB)=0.因为在△ABC中,sinC≠0,所以cosB=45又0<B<π,sinB=1-所以tanB=3(2)由S=12acsinB=12×10c解得c=14.又a=10,由余弦定理,得b2=a2+c22accosB,即b2=100+1962×140×45=72,得b=21.(12分)如图,A,B两个小岛相距21海里,B岛在A岛的正南方,现甲船从A岛出发,以9海里/时的速度向B岛方向行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间时,两船相距最近?求出两船的最近距离.解:设行驶t时后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.①当9t<21,即t<73时,C在线段AB上,此时BC=219tBD=6t,∠CBD=180°60°=120°,由余弦定理知CD2=BC2+BD22BC·BD·cos120°=(219t)2+(6t)22×(219t)·6t·-12=63t2252t+441=63(t2)2当t=2时,CD取得最小值321②当t=73时,C与B则CD=6×73=14>③当t>73时,BC=9t则CD2=(9t21)2+(6t)22·(9t21)·6t·cos60°=63t2252t+441=63(t2)2+189>189.综上可知,当t=2时,CD取最小值321故行驶2时时,甲、乙两船相距最近,为321海里.22.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2bc)sinB+(2cb)sinC.(1)求角A的大小;(2)若sinB+sinC=3,试判断△ABC的形状.解:(1)由2asinA=(2bc)sinB