数学热点-立体几何平行的证明与应用（等积变形截面探究性问题等12类题型）（解析版）

专题8-2立体几何中平行的证明与应用模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】平行关系的判断【题型2】构造平行四边形得到平行关系【题型3】由中位线得出平行关系【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）【题型5】由面面平行得出线面平行【题型6】两个平面交线相关的平行证明【题型7】证明线线平行【题型8】通过平行证明四点共面【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积【题型10】平行的存在性问题（确定点的位置）【题型11】平行的存在性问题（确定动点轨迹）【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）模块二模块二核心题型·举一反三平行关系思维导图序号图形展示符号语言文字语言1垂直于同一平面的两个直线平行如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行线段成比例两直线平行（中位线）平行四边形对面平行2平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行4一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行5如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行6一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行7两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行【题型1】平行关系的判断常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B．(4)若α∥β，m⊂α，则m∥β.【例1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．若则下列说法正确的是（）A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交【答案】C【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可.【详解】对于AB，平面，，则，同理可得，则AB错误；对于C，由AB知道，则C正确；对于D，由A知道平面，平面，则，故D错误.【例2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则；B．若，，则；C．若、是异面直线，，，，，则；D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．【答案】C【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理可判断C，从而得解.【详解】因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，，对于A，若，，则与可能相交，故A错误；对于B，若，，则可能在内，故B错误；对于C，因为，所以，又，所以由线面平行的性质定理可知在内存在，则，进而可得，因为是异面直线，，所以与相交，又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确；对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误．【例3】（多选）已知平面，且，则下列结论正确的是（）A．与可能是异面直线 B．若，则C．若，则 D．若两两垂直，则l，m，n也两两垂直【答案】BCD【分析】利用异面直线的意义判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理判断D.【详解】对于A，由，得，因此与不可能是异面直线，A错误；对于B，，，则，于是，又，，因此，B正确；对于C，由，得，由，得，则，又，因此，C正确；对于D，令，，在平面内取点（不与点重合），并在内作，而，则，又，于是，而，则，又，因此，则是二面角的平面角，由，得，即，因此l，m，n两两垂直，D正确.故选：BCD

【巩固练习1】下列关于平面平行的命题，正确的是（

）A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行【答案】B【分析】对A，两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B，根据平面平行的判定定理即可判断；对C，根据墙面三个角可判断；对D，两面相交一条直线，和直线平行的直线都平行两平面，故可判断.【详解】对A，假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一个平面平行，故A不正确；对B，根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故B正确；对C，若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误；对D，两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交线平行的直线平行于两个面，故D错误.【巩固练习2】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】对于A，根据已知条件推出或，对于B，可以推出或异面，对于C，可以推出或，对于D，根据判定定理可以得到结论.【详解】对于A，由，则或，故A错误；对于B，，则或与是异面直线，故B错误；对于C，，则或，故C错误；对于D，，则，故D正确.【巩固练习3】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（

）A．B．；C．D．.【答案】B【分析】根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D.【详解】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误；选项B：由面面平行的性质定理可知B正确；选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误；选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误【题型2】构造平行四边形得到平行关系【方法技巧】构造平行四边形找线线平行【例1】如图，在棱长为1的正方体中，E、F及G分别为棱、和的中点.求证：平面DEG；

【解析】在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点，，且，四边形是平行四边形，，平面平面DEG，平面DEG.【例2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.若为的中点，证明：平面；【解析】证明：由已知得，取的中点T，连接，由N为的中点知，．又，故，且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．【巩固练习1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．证明：平面PAD；【解析】在PD上取中点G，连接AG，EG，如图：∵G和E分别为PD和PC的中点，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四边形ABEG为平行四边形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD【巩固练习2】（24-25高三上·青海西宁·期中）如图，平面，，，，，点分别为的中点．求证：平面【分析】（1）连接，可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得；【详解】（1）连接，因为，，所以．又因为，所以四边形为平行四边形，又因为点分别为的中点，所以且，因为，，所以且，又因为点分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．【巩固练习3】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：：平面；【解析】证明：取的中点，连接，，根据题意可得，且，，由三棱柱得性质知，所以，则四边形是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．【题型3】由中位线得出平行关系涉及中点条件时考虑利用三角形中位线找线线平行.【例1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且，求证:平面MCD【解析】取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点，所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面，由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故，又平面平面MCD，因此平面MCD【巩固练习1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且.求证：平面【分析】（1）连接交于，则是的中点，连接，由中位线性质知，根据线面平行的判定可证平面；【详解】（1）连接交于，则是的中点，连接，因为是线段的中点，所以是的中位线，则，又因为平面，平面，所以平面.【巩固练习2】（2024·浙江金华·一模）如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.

求证：平面；【分析】连，利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.【详解】连，由为中点，为中点，得，又平面，平面，所以平面.【巩固练习3】已知在正四棱柱中，，，点是的中点，求证：平面【分析】根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明；【详解】连接，交于点，则为的中点，又因为为的中点，连接，则，平面，平面，平面【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE【例1】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形．点为的中点，点为AB的中点．

证明：平面【简析】找一点和MN构成平面，该平面与平面有2个位置确定的交点，图中去掉MN和平面中的点后满足条件的点只有A点了，AM与平面交于点C1，AN与平面交于点B，故MN∥BC1，找出了平面中和MN平行的那条线【详解】连接，如图所示：

因为为菱形，点为的中点，所以，又点为的中点，点为中点，所以，而平面，平面，所以平面.【例2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点.证明：平面.【解析】连接,因为底面是正方形，所以是的中点，又因为是的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面【例3】（2024·浙江·一模）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面【分析】（1）根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论；【详解】（1）连接交于点，由重心性质可得是的中点，又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心；连接，可知点在上，如下图所示：由重心性质可得，，所以；又平面，平面，所以平面法二：连接CG交AB于H，易证FG∥EH【巩固练习1】（2024·山东济南·三模）如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，.若点为的中点，证明:平面；【解析】连接PC，交DE于，连接MN为矩形为的中点在中，M，N分别为PA，PC的中点,因为平面平面,所以平面.【巩固练习2】在直三棱柱中，已知D为的中点.求证：平面.

【分析】连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】证明：连接交于点，连接，如下图所示：

在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，因为，则为的中点，又因为为的中点，所以，，因为平面，平面，因此，平面.【巩固练习3】（24-25高三上·福建泉州·期中）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，是的延长线与CB的延长线的交点．(1)求证：平面；(2)若点在线段AP上，且点E为靠近点A的三等分点，求直线与平面所成的角的正弦值．【分析】利用全等思想来证明中点，从而得证线线平行，即可证明线面平行；【详解】连接交于点，连接MD，如下所示：因为是直三棱柱，故可得是矩形，故为的中点，又是的中点，所以，又，，，，即是的中点，故在中，M，D分别为，的中点，故可得，又平面，平面，故面．【巩固练习4】如图，三棱柱中，E，P分别是和CC1的中点，点F在棱上，且，证明：平面EFC．【答案】证明：连结PB1，交CE于点D，连结DF，EP，CB1，因为E，P分别为B1C1，CC1的中点，故EP∥CB1且EP＝CB1，

故，又B1F＝2，A1B1＝3，故，

所以FD∥A1P，又FD⊂平面EFC，A1P⊄平面EFC，

故A1P∥平面EFC；【题型5】由面面平行得出线面平行本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行思路比较简单不过书写步骤会繁琐一些，一般不做第一选择【例1】如图，已知三棱柱为直三棱柱，为AC的中点.证明：平面【简证】取中点【例2】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

求证：平面；【解析】连接、，由分别为的中点，则，又平面，平面，故平面，正四棱台中，且，则四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；【巩固练习1】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，．（1）求证：平面；【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，，因为平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，所以平面，

因为，、平面，则平面平面，因为平面，所以，平面．【巩固练习2】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面；【解析】证明：设中点为，连接，为中位线，，又平面，平面，平面，为梯形中位线，，又平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面．【巩固练习3】（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面；

【解析】因为，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，平面，所以平面【题型6】两个平面交线相关的平行证明两个平面交线相关的平行证明可以考虑补全图形得到交线，也可以先找一个线面平行，得出线线平行来代换交线，原理是由线面平行得出线线平行【例1】如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．证明：l∥CB【证明】证明：因为ABCD为正方形，∴BC∥AD，又∵BC平面PAD，AD平面PAD．∴BC∥平面PAD又∵BC平面PCB，平面PAD∩平面PCB＝l，∴l∥CD．【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，,设平面与平面的交线为，求证：；【分析】由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；【详解】因为，，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.【巩固练习1】在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面.【答案】证明见解析【分析】利用三等分点得中位线可得线线平行，再应用线面平行判定与性质定理证明即可；【详解】由知为中点，又为中点，所以，平面，平面，所以平面，又平面，由平面平面，且，故由线面平行的性质定理可得，由点与不重合，可知平面，故平面，又平面，所以平面.【巩固练习2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，侧面为矩形.记平面与平面交线为，证明：；【答案】证明见解析【分析】根据平面，进而根据线面平行的性质即可求解.【详解】因为在三棱柱中，，由于平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以【巩固练习3】如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可；（2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可.【详解】（1）取的中点，连接，因为分别为的中点，底面为平行四边形，则，且，所以四边形为平行四边形，即，显然平面，平面，则平面；（2）易知，平面，平面，所以平面，又平面，平面与平面的交线为m，所以.【题型7】证明线线平行利用线面平行和面面平行证明线线平行【例1】如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：．【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．【例2】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.【解析】在直四棱柱中，平面平面，平面，平面，则，而且，又，因此且，则四边形是平行四边形，所以，又，，所以．【巩固练习1】如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.求证：.

【解析】证明：圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.母线与母线的延长线必交于一点，四点共面.圆面圆面，且平面圆面，平面圆面..【巩固练习2】（2024·甘肃·一模）如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.求证：；【解析】平面平面，平面.为正方形，，同理可得平面.平面平面，平面平面.平面平面平面平面，.【题型8】通过平行证明四点共面通过线线平行得出四点共面【例1】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点(1)求证：平面；(2)求证：、、、四点共面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先证四点共面，再证明，由线线平行得到线面平行.（2）连接，结合条件可证，从而证明.【详解】（1）如图：连接，因为分别为的中点，所以在三棱柱中，.所以四点共面.因为分别为的中点，所以，.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面，所以平面.（2）如图：连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点，所以，又，所以，所以、、、四点共面.【巩固练习1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：∥平面，且，，，四点共面；【分析】由中位线得，结合线面平行的判定定理即可证得∥平面，要证，，，四点共面，只需，只需，连接，结合条件证明四边形是平行四边形即可；【详解】（1）因为F，G分别为的中点，所以，又平面CFG，平面，所以平面．连接HE，在中，，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又，所以，故C，E，F，G四点共面．【巩固练习2】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．【详解】取DG中点P，连接PA，PF，如图示：

在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE．

又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF

∴四边形ABFP为平行四边形，∴AP∥BF

在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，

∴B，C，F，G四点共面．【巩固练习3】如图，在长方体中，点分别在棱上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，证明：点在平面内．【解答】证明：在EQAA\S\DO(1)上取点M，使得EQA\S\DO(1)M＝2AM，连接EQEM,B\S\DO(1)M,EC\S\DO(1),FC\S\DO(1),在长方体EQABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQDD\S\DO(1)∥AA\S\DO(1)∥BB\S\DO(1),且EQDD\S\DO(1)＝EQAA\S\DO(1)＝EQBB\S\DO(1)．又2DE＝EQED\S\DO(1),A\S\DO(1)M＝2AM，BF＝EQ2FB\S\DO(1),∴DE＝AM＝EQFB\S\DO(1)．∴四边形EQB\S\DO(1)FAM和四边形EDAM都是平行四边形．∴EQAF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQMB\S\DO(1),AD∥ME,且AD＝ME．又在长方体EQABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQAD∥B\S\DO(1)C\S\DO(1),且AD＝EQB\S\DO(1)C\S\DO(1),∴EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)∥ME且EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)＝ME，则四边形EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)EM为平行四边形，∴EQEC\S\DO(1)∥MB\S\DO(1),且EQEC\S\DO(1)＝EQMB\S\DO(1),又EQAF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQMB\S\DO(1),∴EQAF∥EC\S\DO(1),且AF＝EQEC\S\DO(1),则四边形EQAFC\S\DO(1)E为平行四边形，∴点EQC\S\DO(1)在平面AEF内【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积等积变形求体积，即形状改变但体积不变。通过计算变形前后的体积相等【例1】已知正方体的棱长为是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？请说明理由【答案】是定值【详解】

根据正方体的性质可知，，且，所以，四边形为平行四边形，则.因为平面，平面，所以，平面.又，所以点到平面的距离为定值.又的面积确定，，所以，三棱锥的体积为定值.【例2】如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则三棱锥的体积为________【答案】【详解】易得，因为平面MNB，平面MNB，所以平面MNB，所以【例3】（多选）如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（

）A．B．平面C．三棱锥的体积为定值D．的最小值为【答案】ABD【分析】对于A,由线面垂直的判定定理证明平面即可;对于B,根据面面平行的判定定理证明平面平面即可;对于C,根据线面平行将点到平面的距离等于点到平面的距离,再利用等体积法求解即可;对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,利用余弦定理求解即可判断.【详解】对于A,连接,如图:

平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,连接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正确;对于B,连接,如图:

,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面,同理四边形为平行四边形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正确;对于C,如图:

由B知,平面,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离, 【巩固练习1】在正方体中，为的中点，点满足，，则三棱锥的体积与的值是否有关？请说明理由.【答案】无关【详解】因为在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，所以平面，因此棱上的所有点到平面的距离都相等，又是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，三棱锥的体积为________【答案】【详解】正方体中有，平面，平面，平面，，即三棱锥的体积为【巩固练习3】如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内，则三棱锥的体积为________.

【答案】【分析】可证得面面，则点到面的距离相等，三棱锥的体积为【详解】∵，面，面，∴面，∵，面，面，∴面，又∵，面，∴面面，点在平面内，则点到面的距离相等，三棱锥的体积为

【题型10】平行的存在性问题（确定点的位置）平行存在性问题：过定点构造出平行平面（过相关点作2次平行）通过面面平行的性质来得到线面平行【例1】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2.在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】在平面中，过点E作，交于，在平面中，过点作，交于，连接，如图所示，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，平面，所以平面，即为所求的点，在中，，即，如图所示，所以，在中，，所以，即此时.【例2】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】如图所示：因为，所以，所以所以，所以，则，设三棱柱的侧棱长为6，则，，又为的中点，取的中点，连接，则。过作，且，连接，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以，所以，所以，则【例3】在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别取的中点，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得平面，所以点在线段上，当点为的交点时，可得答案.【详解】如图，分别取的中点，连接，则，所以，易知四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，故平面，又点为正方形内一点，平面平面，所以点在线段上，又,当即点即为的中点，也即点为的交点时，此时最短，因为的中点分别是，所以，，所以.【例4】如图，在正方体中，点为线段上的动点，，分别为棱，的中点，若平面，则．【解答】解：如图所示，取A1D1，D1C1的中点E，F，则有平面DEF∥平面，则平面DEF与D1B的交线即为点P，取EF中点M，则DM交于P，易知△D1MP∽△BDP，故,故【巩固练习1】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.【解析】连接交于点，连接，如下图所示：由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，，则为的中点，则，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，，因此，.【巩固练习2】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.【详解】如图，连接交于点，连接因为平面平面，平面平面所以，所以，因为为AD的三等分点，则即.【巩固练习3】在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.【巩固练习4】如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，.【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面；（2）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出.【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以，又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形，从而，沿着AE翻折成后，有又平面，所以平面，由题意，易知，所以四边形是平行四边形，故，所以平面.（2）假设线段上存在点，使得平面，过点作交于，连接，如图所示：所以，所以四点共面，又因为平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，故在线段上存在点，使得平面，且.【题型11】平行的存在性问题（确定动点轨迹）动点轨迹即为两个平面的交线【例1】如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为________【答案】2【详解】过点A1作平面的平行平面，即点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为【例2】如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可.【详解】取的中点，的中点，连接，，，根据正方体的结构特征，易得，，因为平面，平面，故平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，又平面，且面，所以平面，即点在平面与平面的交线上，由题知，所以动点的轨迹长度为.故选：B.【例3】（23-24高三上·北京朝阳·期末）如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】点是平面内一点，且平面，先考虑平面平面，从而得在直线上，取最大值时取最小值，此时，求解即可.【详解】正方体中，连接，交于点，再连接和由于，且，∴四边形是平行四边形，所以，又平面，且平面，，所以平面，同理证明平面，因为平面，平面，平面，平面，且，所以平面平面，且平面平面，从而得，若平面，点是平面内一点，且平面，则，即在直线上时，都满足平面，因为平面，所以，显然，当最大时，即取最小值时，此时点满足，连接，可设正方体的棱长为，所以．【巩固练习1】如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可.【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，

因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.【巩固练习2】（2023高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为（）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先根据题中几何体特征，找到平面平面，然后可确定点位置在线段，即可求线段的最大值即.【详解】如图，取的中点，取的中点，连接，，，因为，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以在线段上，则线段的最大值即，在正三棱柱中，为边长为2的正三角形，其中线，又在正三棱柱中，平面，平面，所以，所以为直角三角形，又，所以，所以线段MN的最大值为．【巩固练习3】如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【详解】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示因为是的中点，是的中点，所以,因为平面,平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,线段扫过的图形是,由,得,,,,所以,即为直角，所以线段长度的取值范围是：,即.【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）一、如何做截面？作出过EFG三点的截面法一：作平行线并标出棱上的交点法二：作延长线并标出棱上的交点 二、如何确定截面是否已经“搞定”？题目所要求的点是否都用上？你所画的线是否围成了一个封闭图形？这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？【例1】（23-24高三下·甘肃·开学考试）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明）【答案】(1)截面，作图过程见解析【详解】（1）连接并延长交延长线于点，连接并延长交于点，交延长线于点，连接交于点，则截面即为所求.

【例2】如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为________【答案】等腰梯形【详解】连接，，易得，所以平面BMN截正方体所得截面为梯形【例3】（2024·江西赣州·一模）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，作出并证明过点，且与平面平行的正方体的截面，再求出面积.【详解】在棱长为1的正方体中，取中点，中点，连结，而为棱中点，显然，，得四边形，四边形都是平行四边形，则，，平面，平面，于是平面，平面，又，平面，因此平面平面，又，，即四边形是平行四边形，则，显然平面平面，从而过且平行于平面的平面截正方体所得截