数学微专题27之17-双变量的“任意性”与“存在性”五种题型的解题方法

第第页双变量的“任意性”与“存在性”五种题型的解题方法1.“存在=存在”型∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集不为空集,即A∩B≠⌀.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.典例1已知函数f(x)=x2-23ax3,a>0,x∈R.g(x)=1x2(1-x).若∃x1∈(-∞,-1],∃x解析∵f(x)=x2-23ax3,∴f'(x)=2x-2ax2令f'(x)=0,得x=0或x=1a.∵a>0,∴1a>0,∴当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递减,f(x)在(-∞,-1]上的值域为1+2a3,+∵当x<-12时,g'(x)>0,∴g(x)在-∞,-12上单调递增,∴g(x)<g-∴g(x)在-∞,-12上的值域为若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈-∞,-12,使得f(x1)=g(x2),则1+2a3<故实数a的取值范围是0,已知函数f(x)=-16x+112,0≤x≤12,xA.12,32B.[1,2)解析：选C设函数f(x),g(x)在[0,1]上的值域分别为A,B,则“存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立”等价于“A∩B≠⌀”.当0≤x≤12时,f(x)=-16x+112当12<x≤1时,f'(x)=x2(2x+3)(x故f(x)在[0,1]上的值域A=0,当x∈[0,1]时,π6x∈0,π6,y=sinπ6由A∩B≠⌀,得0≤1-a≤12或0≤1-a2≤122.“任意=存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集,即A⊆B.其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的值域之中.典例2已知函数f(x)=4x(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解析(1)f'(x)=-4x2令f'(x)=0,解得x=12或x=7x00111f'(x)-0+f(x)-7↘-4↗-3所以f(x)的递减区间是0,12f(x)min=f12=-4,又f(0)=-72,f(1)=-3,所以f(x)(2)“对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立”等价于“在x∈[0,1]上,函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集,即B⊆A”.因为a≥1,且g'(x)=3(x2-a2)<0,所以当x∈[0,1]时,g(x)为减函数,所以g(x)的值域A=[1-2a-3a2,-2a].由B⊆A,得1-2a-3a2≤-4且-2a≥-3,又a≥1,故1≤a≤32已知函数f(x)=x2-23ax3(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.解析(1)由已知,有f'(x)=2x-2ax2(a>0).令f'(x)=0,解得x=0或x=1a当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0011f'(x)-0+0-f(x)↘0↗1↘所以,f(x)的单调递增区间是0,1a当x=0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=1a时,f(x)有极大值,且极大值f1a=(2)由f(0)=f32a=0及(1)知,当x∈0,设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=1f(x)|x∈(1,+∞),f(x下面分三种情况讨论:①当32a>2,即0<a<34时,由f3②当1≤32a≤2,即34≤a≤32时,有f(2)≤0,且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞,f(2)),因而A⊆(-∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),即(-∞,0)③当32a<1,即a>32综上,a的取值范围是343.“任意≥(≤、>、<)任意”型∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,等价于f(x)min>g(x)max,或等价于f(x)>g(x)max恒成立,或等价于f(x)min>g(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均大于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)<g(x2)恒成立,等价于f(x)max<g(x)min,或等价于f(x)<g(x)min恒成立,或等价于f(x)max<g(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均小于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)>k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]min>k恒成立,也等价于f(x)min-g(x)max>k.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)<k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]max<k恒成立,也等价于f(x)max-g(x)min<k.典例3设函数f(x)=x3-x2-3.(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=ax+xlnx,如果对任意的x1,x2∈12,2,都有f(x解析(1)f'(x)=3x2-2x.f'(x)>0时,x<0或x>23,f'(x)<0时,0<x<2所以,f(x)的递增区间是(-∞,0),23,+(2)由(1)知,函数f(x)在12,2而f12=-258,f(2)=1,故f(x)在区间12“对任意的x1,x2∈12,2,都有f(x1)≤g(x2)成立”等价于“对任意的x∈12,2,g(x)≥f(x)max恒成立”,即当x∈12,2时,g(x)=au'(x)=1-x-2xlnx,可知u'(1)=0.当x∈12所以u(x)在12当x∈(1,2)时,1-x<0,2xlnx>0,则u'(x)<0,所以u(x)在(1,2)上递减.故u(x)在区间12,2点拨(1)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,通常等价转化为f(x)min>g(x)max.这是两个独立变量——双变量问题,不等式两边f(x1),g(x2)中自变量x1,x2可能相等,也可能不相等;(2)对任意的x∈[m,n],不等式f(x)>g(x)恒成立,通常等价转化为[f(x)-g(x)]min>0.这是单变量问题,不等式两边f(x),g(x)的自变量x相等.函数f(x)=mxx2+1+1(m≠0),g(x)=x2(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当m>0时,若对于任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范围.解析(1)当m>0时,f(x)的递增区间是(-1,1);递减区间是(-∞,-1),(1,+∞).当m<0时,f(x)的递增区间是(-∞,-1),(1,+∞);递减区间是(-1,1).(2)当m>0时,“对于任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立”等价于“对于任意的x∈[0,2],f(x)min≥g(x)max成立”.当m>0时,由(1)知,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,因为f(0)=1,f(2)=2m5+1>1,所以f(x)min=f(0)=1,故应满足1≥g(x)因为g(x)=x2eax,所以g'(x)=(ax2+2x)eax.①当a=0时,g(x)=x2,此时g(x)max=g(2)=4,不满足1≥g(x)max.②当a≠0时,令g'(x)=0,得x=0或x=-2a(i)当-2a≥2,即-1≤a<0时,在[0,2]上,g'(x)≥0,g(x)在[0,2]上单调递增,g(x)max=g(2)=4e2a.由1≥4e2a(ii)当0<-2a<2,即a<-1时,在0在-2g(x)max=g-2a=4a2e(iii)当-2a<0,即a>0时,显然在[0,2]上,g'(x)≥0,g(x)单调递增,于是g(x)max=g(2)=4e2a>4,此时不满足1≥g(x)max综上,a的取值范围是(-∞,-ln2].4.“任意≥(≤、>、<)存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)min>g(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求大于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等价于f(x)max<g(x)max.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值小于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求小于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等价于f(x)min-g(x)min>k.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等价于f(x)max-g(x)max<k.典例4函数f(x)=lnx-14x+34x-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1解析“对任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立”等价于“f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在[1,2]上的最小值,即f(x)min≥g(x)min(*)”.f'(x)=1x-14-34当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故当x∈(0,2)时,f(x)min=f(1)=-12.又g(x)=(x-b)2+4-b2①当b<1时,g(x)min=g(1)=5-2b>3,此时与(*)矛盾;②当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4-b2≥0,同样与(*)矛盾;③当b∈(2,+∞)时,g(x)min=g(2)=8-4b,由8-4b≤-12,得b≥17综上,实数b的取值范围是178已知函数f(x)=13x3+x2(1)若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的最小值;(2)若g(x)=xex,∀x1∈12,2,∃x2∈1解析(1)由题设知f'(x)=x2+2x+a≥0,即a≥-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立,而y=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,则ymax=-3,∴a≥-3,∴amin=-3.(2)“∀x1∈12,2,∃x2∈12,2,使f'(x1)≤g(x2)成立”等价于“x∈∵f'(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在12∴f'(x)max=f'(2)=8+a,又g'(x)=ex-x∴g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减.∴当x∈12,2时,g(x)max=g(1)=1e,由8+a≤1e5.“存在≥(≤、>、<)存在”型若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)max≥g(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的某一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,即只要有这样的函数值即可.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等价于f(x)min<g(x)max.其等价转化的基本思想是函数f(x)的某一个函数值小于函数g(x)的某一个函数值,即只要有这样的函数值即可.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等价于[f(x1)-g(x2)]max>k,也等价于f(x)max-g(x)min>k.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等价于[f(x1)-g(x2)]min<k,也等价于f(x)min-g(x)max<k.典例5已知函数f(x)=4lnx-ax+a+3(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当a≥1时,设g(x)=2ex-4x+2a,若存在x1,x2∈12,2,使f(x1解析(1)当a=0时,函数f(x)的递减区间为0,34当0<a<1时,函数f(x)的递减区间为0,2--(a当a≥1时,f(x)的递减区间为(0,+∞).(2)“存在x1,x2∈12,2,使f(x1)>g(x2)”等价于“当x∈12,由(1)知,当x∈12f(x)max=f12=-4ln2+3由g'(x)=2ex-4>0,得x>ln2,所以g(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,故当x∈12g(x)min=g(ln2)=4-4ln2+2a,由f(x)max>g(x)min,得-4ln2+32又a≥1,所以1≤a<4.设函数f(x)=xln(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数a的最小值;(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立,求实数a的取值范围.