数学优化训练：两角和与差的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章三角恒等变形§1两角和与差的三角函数1。1两角差的余弦函数1。2两角和与差的正、余弦函数5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.cosα=，sinβ=，α∈（，π)，β∈(,2π），则cos（α-β）的值是（)A。1B.—1C。2D。0解析：由α∈(,π），β∈（，2π）,cosα=,sinβ=得sinα=，cosβ=cos(α—β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ==—1.答案：B2。化简sin（A—B）·cosB+cos（A—B）·sinB的结果应为(）A.1B。cosAC.sinAD。sinA·cosB解析:原式=sin(A—B+B)=sinA。答案:C3.已知cosθ=，θ∈(,π）,则sin（θ+)=_______________.解析:∵cosθ=,θ∈(，π），∴sinθ=。∴sin（θ+)=sinθcos+cosθsin=×+（）×=。答案：4。已知锐角α，β满足sinα=,cosβ=，求cos（α—β）的值.解：∵sinα=,α为锐角,∴cosα=.∵cosβ=,β为锐角，∴sinβ=。∴cos(α—β）=cosαcosβ+sinαsinβ=。10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.的化简结果为（）A。B。C。D。解析：原式=。答案：A2。sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为(）A.B.C.D.解析:原式=—（cos23°cos22°-sin22°sin23°）=—cos45°=。答案：D3.sin=__________________。解析：，。原式变形为。答案:4.已知＜β＜α＜,cos（α—β）=，sin（α+β）=，求sin2α的值与cos2α的值.解：（α+β）+(α-β）=2α，＜β＜α＜,则π＜α+β＜，0＜α-β＜。∵cos（α—β)=,sin（α+β）=,∴sin（α-β）=，cos（α+β）=，sin2α=sin[（α+β)+（α-β）］=，cos2α=cos［(α+β）+(α—β）］=.5.化简:sinα—cosα。解：sinα-cosα=2（sinαcosα)=2(sinα·cos-cosα·sin）=2sin（α—）.6。已知α、β均为锐角，cosα=,cos（α+β）=，求cosβ的值。解:∵α、β均为锐角,∴0〈α+β<π.∵cosα=,cos（α+β）=,∴sinα=，sin（α+β)=.∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知sinα·sinβ=1，那么cos（α+β）的值等于（)A.-1B。0C.1D.±1解析：正弦函数的值域为［—1，1］。由sinα·sinβ=1，得sinα=1且sinβ=1或sinα=-1且sinβ=-1，只有这两种情况。∴cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ=—1.答案：A2.要使sinα—cosα=有意义,则m的取值范围是（)A。（-∞，］B.（1，+∞）C。［—1，］D。（-∞，-1］∪［,+∞）解析：sinα-cosα=2sin(α-)=。利用三角函数的有界性，由-1≤sin（α—）≤1,求得—1≤m≤.答案：C3.若cosα=,α∈（,2π）,则cos(-α）=__________________。解析:∵cosα=，α∈（,2π）,∴sinα=。∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=×+×()=.答案:4.已知sinα=,sinβ=，则sin(α+β）·sin（α—β)=_______________。解析:sin（α+β)·sin（α—β)=（sinα·cosβ+cosα·sinβ)·（sinα·cosβ-cosα·sinβ)=sin2α·cos2β-cos2α·sin2β=sin2α（1—sin2β)—(1-sin2α)·sin2β=sin2α-sin2β=。答案：5。在△ABC中，sinA=cosB·cosC,且B≠，C≠，求tanB+tanC的值。解:在△ABC中，A+B+C=π,B+C=π—A.sinA=sin（π—A）=sin（B+C）=sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC,即sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC。∵B≠,C≠，∴cosB≠0，cosC≠0。上式两边同除以cosB·cosC，得tanB+tanC=1.6.求证：cos53°+sin53°=2cos7°。证明：左=cos53°+sin53°=2（cos53°+sin53°）=2（sin30°cos53°+cos30°sin53°）=2sin(30°+53°）=2sin83°=2cos7°=右。7。在△ABC中,已知sinA·sinB＜cosA·cosB，试判定三角形的形状。解：∵sinA·sinB＜cosA·cosB，∴cosA·cosB-sinA·sinB=cos（A+B）＞0.∴cosC=cos［π—（A+B)］=—cos（A+B）＜0。∵0＜C＜π，∴角C为钝角,则△ABC为钝角三角形.8。化简下列各式：(1）cosαsinα；(2）sinα-cosα；(3)cos（+φ)—cos（—φ).解:（1)cosα—sinα=2（cosα-sinα)=2（cosαcos—sinαsin)=2cos(α+）.(2）sinα—cosα===。(3)cos(+φ)-cos(-φ）=（coscosφ-sinsinφ）—(coscosφ+sinsinφ）=-2sin·sinφ=sinφ。9