数学优化训练：平面的基本性质与推论

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2点、线、面之间的位置关系1.2。1平面的基本性质与推论5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1。若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（）A.1个B。2个C.1个或无数个D。无数个且在同一条直线上解析:利用公理2可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.答案:D2.如图1-2—1-1所示，请你用符号表示以下各叙述:图1-2-1-1(1）点A、B在直线a上：______________；(2)直线a在平面α内：______________，点C在平面α内：______________；（3）点D不在平面α内：______________；直线b不在平面α内：______________。答案:（1）A∈a，B∈a（2）aαC∈α（3）Dαbα3。木匠师父只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳的固定，为什么？解析：这是公理3的应用：三点确定一个平面。答案：公理3的应用.10分钟训练(强化类训练,可用于课中）1.由四条平行直线最多可以确定（)A.两个平面B。四个平面C。五个平面D。六个平面解析:本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果。由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.答案：D2。正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1CA.三角形B.四边形C。五边形D.六边形解析：如图所示，延长PQ分别交CB、CD的延长线于M、N，连结MR,交BB1于E，交CC1的延长线于H，连结NH，分别交D1D、D1C1答案：D3.下列叙述：①一条直线上有一个点在平面α内,则这条直线上所有的点在这个平面内;②一条直线上有两个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内；③若线段AB平面α,则线段AB延长线上的任何一个点必在平面α内；④一条射线上有两点在同一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内.其中正确的有________________________。解析:①中的直线可能与平面相交;②③④根据公理1知正确.答案：②③④4。如图1—2-1—2，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是BD的中点,对角线AC1与过A1、B、D的平面交于P点，求证：A1图1—2-1-2证明：连结AC、A1C1∵O是BD的中点,∴O是AC的中点，且O∈AC。∴O∈平面ACC1A1∵P∈AC1，∴P∈平面ACC1A1∴A1、P、O都在平面ACC1A1又∵A1、P、O都在平面A1BD内,∴A1、P、O都在平面ACC1A1与面A1BD的交线上,即A15。求证:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.解：已知:四条直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点.求证:a、b、c、d共面。(1)若a、b、c、d四条直线中有三条共点,不妨设a∩b∩c=A，a∩d=B，b∩d=C，c∩d=D,且相交直线a、d所确定的平面为α,如图所示.∵A∈a,aα,∴A∈α.∵C∈d，dα，∴C∈α.∴ACα,即bα。同理，cα。∴a、b、c、d共面于α。（2）若a、b、c、d四直线无三条直线共点,设a∩b=A，a∩c=B，b∩c=C,且相交直线a、b确定的平面为α，如图所示.∵B∈a，aα，∴B∈α.同理C∈α.∴BCα，即cα。同理dα.∴a、b、c、d共面于α.综合（1)(2)可知，a、b、c、d四线共面。30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）1。下列说法正确的是（)A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面必重合C。两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形是平面图形解析：空间四边形不是平面图形,故A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，B也是错误的；C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内，因此选D.答案:D2。与“直线l上两点A、B在平面α内”含义不同的是（）A.lαB.平面α过直线lC。直线l上只有这两个点在α内D。直线l上所有点都在α内解析：据平面的基本性质，一直线上有两点在一个平面内，则这条直线上所有点都在该面内.故A、B、D均与此等价，只有C不正确。答案:C3.下列四种叙述：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面,则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面。其中正确说法的序号是(）A。②③④B.②③C。①②③D。①③解析：四棱锥中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面.答案:B4.下面判断中正确的是()A.任意三点确定一个平面B.两条垂直的直线确定一个平面C。一条直线和任一点确定一个平面D。与一条直线相交的三条平行直线共面答案：D5.三条直线两两平行，它们能确定____________个平面。解析：两条平行直线一定能确定且仅确定一个平面，而与此平行的第三条直线情况怎样不确定，故必须分情况讨论。答案：1个或36。分别根据下列条件画出相应的图形：（1）P∈α，Qα,P∈l，Q∈l；(2）α∩β=l,△ABC顶点A∈l，B∈α，Bl,C∈β，Cl。答案：符合条件的图形如图所示.7。图1—2—1-3是一桌子放倒时的示意图,现有足够长的绳子，如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内？方法画在图上，判断的重要依据是什么？图1-2-1—3解析：判断四条腿的底端是否在同一平面内,即判断四点是否共面，可依据确定平面的条件，且要具有可操作性.答案：操作方法：用两根绳子沿四条腿的对角底端拉直，若绳子相交,则说明四点共面，否则不共面.原理是：两相交直线确定一个平面.8.如图1—2—1—4所示，已知A、B、C是平面α外不共线的三点，并且直线AB、BC、AC分别交α于P、Q、R三点。求证：P、Q、R三点共线.图1—2-1-4证明：∵AB∩α=P，AB面ABC,∴P∈面ABC，P∈α.∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证:Q、R也在平面ABC与α的交线上.∴P、Q、R三点共线.9.如图1—2—1-5,α∩β=l，梯形ABCD的两底分别为AD、BC，且ABα,CDβ，求证：AB与CD的交点在l上.图1-2-1-5证明：因为梯形是平面图形，它的两腰AB与CD不平行,故只能相交，假设交点为M，则M∈AB，又ABα,则M∈α，同理，M∈β,则M∈（α∩β），即M∈l。因此AB与CD的交点在l上。10。若两条平行直线都