常见不等式的解法归纳总结

常见不等式的解法归纳总结知识点精讲一.一元一次不等式（ax>b）（1）若a>0,解集为|xIx>aj.（2）若a<0，解集为|xIx<ajIx>a（1）jx>P（3）若a=0，当b>0时，解集为0；当b<Ix>a（1）jx>P解集为｛x1x>K.（2）jx<p，解集为｛x1x<研（3）x>a（3）x>ax<p，解集为｛xIa<x<p｝（4）x>P，解集为0x<a记忆口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大解不了。三、一元二次不等式元二次不等式ax2+bx+c>0（a丰0），其中A=b2-4ac，x,x是方程ax2+bx+c>0（a丰0）的1 2两个根，且x<x12（1）当a>0时，二次函数图象开口向上.（2）①若A>0，解集为｛xIx>x或x<x｝.2 1②若A=0，解集为jxIxGR且x丰-2aj.③若A<0，解集为R.（2）当a<0时，二次函数图象开口向下.①若A>0，解集为｛xIx<x<x｝12②若A<0，解集为0四、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.例如，解一元高次不等式f（x）>0（1）将f（x）最高次项系数化为正数（2）将f（x）分解为若干个一次因式或二次不可分因式（A<0）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）.(4)根据曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律写出不等式的解集.如：求不等式(x+2)(x+1)2(1—x)3(x—2)<0的解集.解：化原不等式为(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)>0如图7-2所示，在数轴上标出各个根，然后据理画出曲线(x=-2，x=1，x=2为奇次根，需穿；x=-1为偶次根，需切)1 34 2由图7-2可知，所求不等式的解集为{xI-2<x<-1或-1<x<1或x>2}.五、分式不等式⑴f(x)>00f(x)g(x)>0⑵f(x)<00f(x)g(x)<0g(x) g(x)，,、f(x)、c \f(x)g(x)>0,、f(x-\f(x)g(x)<0(3)--->0O《 (4)^—-<0O《g(x) [g(x)中0 g(x) [g(x)中0，六、绝对值不等式(1)|f(x)|>|g(x)|o[f(x)]2>[g(x)]2(2)|f(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；f(x)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)<f(x)<g(x)；(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解题型归纳及思路提醒题型1不等式的解法思路提示解有理不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，写出其解集、含参数的根需对参数分类讨论后再写解集例7.14 (1)解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(aeR)(2)已知集合A={xIx2+3x+2<0}，B={xIx2-4ax+3a2<0}，若A<=B，求实数a的取值范围.分析由于含参不等式中，其原方程的两根大小不确定，故要进行分类讨论.解析由已知得(x-a)(x-a2)>0①当a<a2，得a>1或a<0时，解集为B=lxIx>a2或x<a

②当a=a2，得a=1或a=0，当a=1时，解集为｛xIx丰1｝；当a=0时，解集为｛xIx丰0｝③当a>a2，得0<a<1时，解集为B=lxIx>a或x<a2(2)A=fxIx2+3x+2<0}，即A={xI-2<x<-1}，B=fxIx2-4ax+3a2<0}nB={xI(x-a)(x-3a)<0}.①若a<3a即a①若a<3a即a>0,则3a“1（等号不能同时取得）（如图7-3所示），得a<-2或a"3，此时无解.-2-23a0 1②若3a②若3a<a即a<0，由A<=B，则3a<-2图7-3 2a“1（等号不能同时取得）（如图7-4所示），故一1<a<-33a图7-4综上所述，实数a3a图7-4综上所述，实数a的取值范围是jaI-1<a<-1a评注本题考查一元二次不等式（含参）的解法，需要讨论两根的大小，进而确定不等式的解.TOC\o"1-5"\h\z. 一1 „变式1 （1）若a<-1，则关于x的不等式a（x-a）（x-）<0的解集为（）aB.{xIx>a} C.xxI x>a或x< 1> D.JxI x<1I aIIalx2-2x-3<0（2）若不等式组《 的解集不是空集，则实数a的取值范围（ ）Ix2+4x-（a+1）<0(—8(—8,—4][-4,+8)C.[-4,20] D.[-4,20)例7.15已知关于x的等式ax2+bx+c<0的解集为卜Ix<-2或x>-g卜求关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集.分析解法一：由关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为卜Ix<-2或x>-；1，得a<0，

b5

一ax2—bx-一ax2—bx-c>0,x+x=1 2TOC\o"1-5"\h\zxx— 1,贝叫，得b a,12a c 2--1〔a故解集为\x|2<x故解集为\x|2<x<2关于x的不等式ax2一一x+a>0可变形为2x2一5x+2<0,^2解法二：因为方程ax2+bx+c-0与方程ax2-bx+c-0的根互为相反数，若不等式ax2+bx+c<0的解集为JxIx<-2或x>-1］，所以a<0，且方程ax2+bx+c-0的两根为x--2,x二-1，因此方I 21 1 2 2程ax2—bx+c-0两木艮x'--2,x'--2，不等式ax2程ax2—bx+c-0两木艮x'--2,x'--例7.16变式1已知11ax2+bx+c>。｝=(-3,2)，则关于x的不等式cx2+bx+a<0例7.16已知a>a>a>0，则使得(1-ax)2<1(i-1,2,3)都成立的x的取值范围是(1 2 3 i, 1A(0,—, 1A(0,—)a1B.(0,-)a11C(0,一)a3D.(0,-)

a3解析由解析由(1-ax)2<1,

iTOC\o"1-5"\h\z即-1<ax-1<1得0<ax<2,又a>0(i-1,2,3),则i i i220<x<—(i-1,2,3),不等式均成立，且a>a>a>0，故0<x<—，故选Ba 1 2 3 ai 1变式1若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是变式2设0<b<1+a，若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中整数恰好有3个，则()A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6例7.17解下列不等式(x+1)(1-x)(x-2)>0(x+1)2(x-2)(x+3)>0x(x-1)2(x+1)3(x+2)>0分析利用“穿根法”的基本步骤求解.解析(1)化原不等式为(x+1)(x-1)(x-2)<0，如图7-5所示，在数轴上标出各个根，然后据理画出曲线.x--1,x-1,x-2为奇次根，需穿，可知所求不等式的解集为｛x|x<-1或1<x<211 2 3

(2)化原不等式为(x+3)(x+1)2(x—2)>0如图7-6所示，在数轴上标出各个根，然后画出曲线，x=-3,x=2为奇次根，需穿，x=-1为偶次根，1 3 2需切，可知所求不等式的解集为：{xIx<-3或x>2}(3)化原不等式为(x+2)(x+1)3x(x-1)2>0如图7-7所示，在数轴上标出各个根，然后画出曲线，x=-2,x=-1,x=0为奇次根，需穿，x=1为1 2 3 4偶次根，需切，可知所求不等式的解集为：{xI-2<x<-1或0<x<1或x>1}x2-x-6 -变式1不等式>0的解集为(){x{xIx<-2或x>3}{xIx<-2或1<x<3}C.{xI-2<x<1或x>3} D.{xI-2<x<1或1<x<3}x-1一变式2不等式——->0的解集为()x2-4A.(-2,1) B.(2,+8) C.(-2,1)u(2,+8) D.(-8,-2)u(1,+8)x-1一例7.18不等式-―-<0的解集为( )2x+1

TOC\o"1-5"\h\z11 1 1A.(—-,1] B.[——,1] C.(-8,--)D[1,+8) D.(-8,--]D[1,+8)\o"CurrentDocument"乙 乙 乙 乙分析将分式不等式转化为整式不等式x-1 1(x-1)(2x+1)<0 1解析由药<0得Lx+100 解得-2<x<F^A解析变式1不等式泊变式1不等式泊>1的解集是变式2x+5变式2TOC\o"1-5"\h\z不等式T一丁22的解集是( )(x-1)2111 1A.[-3 ] B.[- 3] C.[1)d(1,3] D.[--,1)d(1,3]乙 乙 乙 乙变式3若f(x)=x2—2x—4lnx,则f'(x)的解集为( )A.(0,+8) B.(-1,0)D(2,+8) C.(2,+8) D.(-1,0)题型2绝对值不等式的解法思路提示求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号的方法有等价转换法、零点分段法和数形结合法等.例7.19若不等式的解集为｛x11<x<3上则实数k=分析利用绝对值不等式的解法求解解析因为忖-4|<2，所以-2<kx-4<2得2<kx<6，又不等式的解集为｛x11<x<3上得k=2.变式1若不等式|3x-b\<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围是例7.20 ⑴若不等式x-4|+|x-3|>a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.(2)若不等式|x-4|+|x-3|<a的解集在R上不是空集，求实数a的取值范围分析若f(x)>a对于一切实数恒成立，只需满足f(x)>a即可；若f(x)<a的解集在R上非空，只min要f(x)<a即可.min解析⑴不等式|x-4|+|x-3|>a对一切实数x恒成立.由绝对值的几何意义可知，|x-4|+|x-3|表示数轴上点x到3和4距离之和，那么对任意xeR恒成立，利用三角不等式可得x-4+x-3>1(x-4)-(x-3)1=1，故(Ix-4|+lx-3) =1，又(Ix-4+x-3)>a，故a<1，min min所以实数a的取值范围是(-8,1)(2)由题意可知只需a>(x-4+x-3)即可，而(x-4+x-3)=1，所以a>1,所以实数a的min 1 min取值范围是(1,+8)评注绝对值的几何意义对于求解含参数的绝对值不等式参数的范围有着化繁为简的作用，体现了数形结合的思想在求解含参不等式方面的应用.变式1 （1）若不等式k-4|-|x-3|>a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.（2）若不等式|x-4|-|x-3卜a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.最有效训练题[X2-1<0i.不等式组< 的解集为()[X2-3X<0A.{xI-1<x<1} B.{x10<x<3) C.{x10<x<1} D.{xI-1<x<3)〃 ⑵』x<12.设函数f(x)=<1 「则满足f(x)<2的x的取值范围是( )11—logx,x>1k2A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+8) D.[0,+8).不等式(x+1)(1-|x|)>0的解集是()A.{x10<x<1} B. {xI x<0且xw-1} C. {xI-1<x<1} D. {xIx< 1且xw-1}TOC\o"1-5"\h\z.若集合A={xIax2-ax+1<0}=0，则实数a的值的集合是( )A.{x10<x<4} B. {x10<x< 4} C. {x