2020-2024年高考数学试题分类汇编：幂指对函数（解析版）

4<04零媚对备裁（虎题3小涔点精灌株+稿送演秋稼）

5年考情•探规律

5年考情

考题示例考点分析

2024年春考1题对数函数的定义域

2022春考5题幕函数的反函数

2021年秋考5题反函数

2021年春考6,13题指数函数、反函数

2020年秋考4题反函数

2020年春考12题反函数

5年真题•分点精准练

一.有理数指数募及根式（共1小题）

1.（2021•上海）若方程组［研+?，=。无解，则%?=0.

（祥解》利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案.

【解答】解：对于方程组［%x+y=q,有?,2=GW

\a2x+b2y=c2a2b2c2b2a2

根据题意，方程组修"+?'=q无解，

［a2x+b2y=c2

所以0=0,即£）=11=0,

a2b2

故答案为：0.

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间

的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式.

二.求对数函数的定义域（共1小题）

2.（2024•上海）log?x的定义域_（0,+oo）_.

K祥解》结合对数函数真数的性质，即可求解.

【解答】解：logzX的定义域为（0,+oo）.

故答案为：(0,+00).

【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题.

三.反函数(共5小题)

3.(2021•上海)已知/(%)=—+2,则尸⑴=_-3_.

X

K祥解工利用反函数的定义，得到〃x)=l,求解X的值即可.

【解答】解：因为/(%)=—+2,

x

令=即3+2=1,解得％=—3,

故广(1)=—3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考

查了运算能力，属于基础题.

4.(2020•上海)已知f(x)=GT,其反函数为广i(x),若/T(X)-〃=/(%+〃)有实数根，则.的取值范围

K祥解』因为y=f~\x)-a与y=/(%+a)互为反函数若y=f~\x)-a与y=f(x+a)有实数根

=>y=/(x+。)与丁二九有交点0方程Jx+a-l=%,有根•进而得出答案•

【解答】解：因为y=/T(x)-a与y=/(元+々)互为反函数，

若y=/T(%)—。与y=/(%+。)有实数根，

贝Iy=/(x+a)与y=x有交点，

所以y/x+a-l=x,

133

即“=X2-X+1=(X——)2+—,

244

【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题.

5.（2020•上海）已知函数/（x）=x3,/T（X）是y（x）的反函数，则=

（祥解》由已知求解x,然后把x与y互换即可求得原函数的反函数.

【解答］解：由>=/（刈=尤3,得x5,

把x与y互换，可得/（X）=V的反函数为尸（尤）=次.

故答案为：近.

【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题.

6.（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）

A./（%）=x2B./（x）=sinxC./（x）=YD./（x）=l

K祥解X根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确.

【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，

选项3：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，3错误，

选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，

选项因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，。错误，

故选：C.

【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题.

7.（2022•上海）设函数/（尤）=尤3的反函数为7T（无），则尸（27）=3.

（祥解』直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值.

【解答】解：函数/（%）=尤3的反函数为/T（X）,

整理得广［（x）=

所以尸（27）=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基

础题.

1年模拟•精选模考题

一.选择题（共1小题）

1.（2024•宝山区二模）已知a>b>0,贝卜）

A.a2>b2B.2"<2〃

22

C.a<bD.logja>logtb

22

K祥解》根据已知条件，结合不等式的性质，以及函数单调性，即可求解.

【解答］解：a>b>0,

则4>6?,故A正确；

2a>2b,故3错误;

a2>体,故C错误;

log1a<logxb,故。错误.

22

故选：A.

【点评】本题主要考查不等式的性质，以及函数单调性，属于基础题.

二.填空题(共28小题)

2.(2024•崇明区二模)己知嘉函数y=f(无)的图象经过点(2,4),则/(3)=9.

K祥解》设出幕函数y=/(x)的解析式，根据其图象经过点(2,4),求函数的解析式，再计算/(3)的值.

【解答】解:设累函数y=/(x)=J(ceR),

其图象经过点(2,4),

:.2a=4,

解得a=2,

fM=x2；

:.f(3)=32=9.

故答案为：9.

【点评】本题考查了求幕函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目.

3.(2024•金山区二模)函数y=log,2±^的定义域是

1-X

(祥解可根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.

【解答】解：y=log—,

21-x

则出>0,解得-2<X<1,

1-x

故函数y的定义域为(-2,1).

故答案为：(-2,1).

【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目.

4.(2024•金山区二模)已知集合用={1,3,5,7,9},N={x|2'=8},则ATN=_{3}_.

(祥解》求解指数方程化简3,再由交集运算的定义得答案.

【解答］解：M={1,3,5,7,9},N={x|2，=8}={3},

,妁］N={3}.

故答案为：{3}.

【点评】本题考查交集及其运算，考查指数方程的解法，是基础题.

5.（2023秋•宝山区期末）函数/（尤）=/gTT1的定义域为_（l,+oo）_.

K祥解》令被开方数大于等于0,同时对数的真数大于0;列出不等式组，求出x的范围即为定义域.

【解答】解：要使函数有意义，需

Jx—1..0

>o

即X>1

故函数的定义域为（1,+00）

故答案为：（1,+00）

【点评】本题考查求函数的定义域需要开偶次方根的被开方数大于等于0,对数的真数大于0,属于基础题.

6.（2023秋•普陀区校级期末）已知/（x）=21og“（x-l）+l（a>0且"1）,函数y=/（x）的图像恒过定点尸,

则点P的坐标为_（2』）_.

（祥解』在函数/（X）的解析式中，令x-l=l,即x=2时，不论。取。>0且awl的任意值，都可得/（2）

=1,即求出函数恒过的点的坐标.

【解答】解：/（x）=21oga（x-l）+l（a>0且a*1）,令x-l=l,即x=2时，不论4取。>0且awl的任意值,

f（2）=1恒成立，

即函数f（x）恒过定点（2,1）.

故答案为：（2,1）.

【点评】本题考查对数型函数恒过定点的求法，属于基础题.

7.（2024•浦东新区三模）已知a=/g5,则/g20=_2—a_（用。表示）.

K祥解X利用对数的运算性质求解.

【解答】解：lg20=lg5+lg4=lg5+2lg2=lg5+2（l-lg5）=2-lg5=2-a.

故答案为：2—a.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

8.（2024•奉贤区三模）若lg2=a,lg；=b,则/g98=_a-26_.（结果用。，匕的代数式表示）

（祥解》由已知结合对数的运算性质即可求解.

【解答】解：若lg2=a,lg；=b,

则值7=-6,

贝！I/g98=lg2+21gl=a-2b.

故答案为：a-2b.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

9.（2024•长宁区二模）若3"=2〃=6,则▲+■1■=1.

ab

（祥解』由已知结合指数与对数的转化公式及对数的运算性质即可求解.

【解答】解：若3"=2"=6,则。=log36,b=log26,

-+y=log3+log2=log6=l.

ab666

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了指数与对数的转化及对数的换底公式及运算性质的应用，属于基础题.

10.（2024•静安区二模）函数y=力上三的定义域为（_2,1）.

2+x—~

（祥解》根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.

【解答】解：由题意得，上三>0,

2+x

即（x-l）（x+2）<0,

解得，-2<x<l.

故答案为：（-2,1）.

【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目.

11.（2024•黄浦区校级模拟）已知集合4=口||尤B={.x|j；=log2x},则8=_（0_1]_.

K祥解》先求出集合A,B,结合交集的定义，即可求解.

【解答】解：集合A={x||x|麴（}={x]-ly?1},B={x|y-log2x}={x|x>0},

则AfB=（0,1].

故答案为：（0,1].

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

12.（2023秋•宝山区期末）设a、6为常数，若a>l,b<-l,则函数y=优+b的图像必定不经过第二

象限.

K祥解》根据指数函数的性质判断即可.

【解答】解：时，函数y=a,过一二象限，

将函数的图像向下平移161s<-1）个单位，则图像不过第二象限.

故答案为：二.

【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题.

13.（2023秋•宝山区校级期末）方程/伙3（f-4.8-5）=。3（尤+1）的解是工=6.

（祥解I根据已知条件，结合真数大于0,即可求解.

【解答】W：log.（x2-4x-5）=log,（x+1）,

—4.x—5>0

贝1]<x+l>0，解得x=6.

x2-4x-5-x+1

故答案为：6.

【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题.

14.（2023秋•虹口区期末）函数、=履。-2）+石！的定义域为_（2,5）_.

K祥解》根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.

【解答】解：由题意得尸一2>°,解得2Vx<5,所以定义域为（2,5）.

[5-%>0

故答案为：（2,5）.

【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题.

53

15.（2024•宝山区校级四模）已知正实数“、。满足log“6+Iog/=5，aa=bb,贝！|a+b=_]—

K祥解》由已知结合对数的运算性质可得a,人的关系，然后结合指数幕的运算性质即可求解.

【解答】解：因为正实数。、。满足1080》+108»=工=10806+—-—,

2logab

解得，log06=2或log0b=g,

所以〃=/或[二/,

当6=时，0a=bb=Q2",

一113

所以24=a,即々=—,b=—,a+b=—,

244

11Q

当〃="时，cf=/，即人=_L,〃=_L,a+b=~,

244

E3

贝!Ja+Z?=—.

4

故答案为：

4

【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题.

16.（2024•浦东新区校级模拟）函数〃x）=log2（2尤）・log8（8尤）的最小值为

（祥解》利用对数的运算性质化简，换元后再由二次函数求最值.

【解答】解：函数的定义域为（0,+00）,

f(x)=log2(2x)-log8(8x)=(l+log2x)(l+1log2x)

124

=~(log?1)+—logzX+1，

令r=log2XJ贝h£R,

原函数化为g«)=32+gf+l,

141

则当％=—2时，g«）有最小值为：x4+gx（—2）+1=—

故答案为：-』.

3

【点评】本题考查导数的运算性质，训练了利用换元法及一次函数求最值，是基础题.

17.（2024•嘉定区校级模拟）已知函数/（尤）=|「则/（/（3））=1

—x+2,x>2,

2

（祥解》结合分段函数解析式，由内向外计算即可.

【解答】解：由题意得"3)=-gx3+2=g,/(1)=|Zog21l=l.

所以/(/(3))=1,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

18.（2024•长宁区校级三模）已知log23=〃，2b=5,贝1Jlog245=_2a+b_（用a、b表示）.

（祥解』由已知结合对数的运算性质即可求解.

【解答】解：因为log23=Q,2"=5,即log25=b,

贝!Jlog245=log25+21og23=2a+Z?.

故答案为：2a+b.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题.

19.（2024•浦东新区校级四模）设根>0,几>0,若直线/:g+乌丁=2过曲线y=Q“T+l（a>0,awl）的定

2

点，则上+工的最小值为2.

mn

K祥解》根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.

【解答】解：因为曲线y="T+l过定点（1,2）,

所以根+〃=2,即"=](m>0,〃>0),

2

m+n=51。「+1y+/n7m、…51*2+2匕几丁m)、=于1(2+-2)=八2,

2

当且仅当即m=〃=1时取“=”，

mn

所以工+工的最小值为2.

mn

故答案为：2.

【点评】本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题.

20.(2024•闵行区三模)方程/0-20=用(3-/)的解集为—{x|x=-l}_.

~~2x=3-尤？

K祥解工依题意得到卜2x>0,解得即可.

3-x2>0

【解答】解：因为/g(-2x)=/g(3-Y),

_2尤=3-f

则<-2x>0,解得x=—1,

3-尤2>0

所以方程/g(-2x)=/g(3-x2)的解集为{x\x=-l].

故答案为：[x\x=-1}.

【点评】本题主要考查了对数运算性质的简单应用，属于基础题.

21.(2024•宝山区二模)将^/^^(其中a>())化为有理数指数幕的形式为

(祥解》利用根式与分数指数塞的互化求解.

【解答】解：=q"

5

故答案为：

【点评】本题主要考查了根式与分数指数幕的互化，属于基础题.

22.(2024•青浦区二模)已知/(x)=/gx-l,g(x)=lgx-3,若I/(x)|+1g(x)|=|/(x)+g(x)|,则满足条件的

x的取值范围是_(0-1叫[1000^+oo)_.

K祥解』由题意可得，f(x)g(x)..O,然后结合对数函数的性质即可求解.

【解答】解：因为/(x)=/g尤-1,g(x)=lgx-3,

若I/(X)I+1g(x)1=1f(x)+g(x)|,则f(x)g(x)..0,

即(/gx-l)(/gx-3)..O,

所以Igx..3或lgx„1,

解得x>1000或。<X,10.

故答案为：(0,10X[1000,+oo).

【点评】本题主要考查了对数函数的性质在不等式求解中的应用，属于基础题.

23.(2024•闵行区校级二模)方程值(2-*)+&(3-幻=这12的解是_%=-1_.

2—x＞0

K祥解』由已知可得/g(2-4)(3-尤)=值12,等价转化为＜3-%＞0,由此解得X的值.

(27)(37)=12

【解答】解：由方程/g(2-x)+/g(3-元)=/gl2,可得/g(2-％)(3-％)=/gl2,

2—x＞0

«3-x＞0,解得x=—1,

、(2-x)(3-x)=12

故答案为x=-l.

【点评】本题主要考查对数方程的解法，注意对数函数的定义域，体现了等价转化的数学思想，属于基础

题.

24.(2023秋•静安区期末)下列幕函数在区间(0,+00)上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是②

(请填入全部正确的序号).

@y=x^^②,=尤3；③y=x§；®y=x^.

K祥解X由题意，利用函数的单调性以及函数的图象的对称性，得出结论.

【解答】解：由于函数＞=炉的定义域为［0,+oo),故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除①；

由于函数＞=)是R上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故②满足条件；

2

由于函数＞=户=次的定义域为尺，且为偶函数，故它的图像关于y轴对称，故排除③;

1

由于函数了=/号在(0,4w)上单调递减，故排除④.

yjx

故答案为：②.

【点评】本题主要考查函数的单调性以及函数的奇偶性，属于基础题.

25.(2023秋•闵行区校级期末)函数y=-3(。＞0,。力1)的图象过定点4,则点人的坐标是_(-2,-2)

(祥解》利用指数函数的性质即可得解.

【解答】解：因为y=屋+2—3(。＞0,a/1)的图象过定点A,

令x+2=0,贝！I尤=—2,y=＜2°—3=—2,

所以点A的坐标为(-2,-2).

故答案为：(-2,-2).

【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于基础题.

26.(2023秋•松江区期末)已知/ga+/g6=l,则口+力的最小值为_4斯

K祥解》根据对数运算求得“，〃的关系，利用基本不等式求得正确答案.

【解答】解：依题意，Iga+Igb=Igab=1,

.56=10且a>0,b>0,

a+2b..2ja.2b=4后,

当a=2。=2^/5时等号成立.

故答案为：4垂：.

【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

27.(2023秋•长宁区期末)在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值y(单位：")定义为

y=10Zg—.其中/为声场中某点的声强度，其单位为卬/://O=1OT2W/〃Z2为基准值.若/=iow/疗，

^0

则其相应的声强级为130dB.

K祥解》将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.

l22

【解答】解：因为/