新高考数学二轮复习讲义专题23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）（原卷版）

专题23圆锥曲线的综合问题（定值最值范围）【考点专题】1．解圆锥曲线综合问题的一般步骤第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法)．第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程．第三步：写出根与系数的关系(或求出交点出标)．第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题．第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性．2.求动点的轨迹方程的基本步骤【方法技巧】1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．3.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【核心题型】题型一：弦长问题1．（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0的左、右两支分别交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·福建福州·统考二模）已知抛物线E：SKIPIF1<0（p>0），过点SKIPIF1<0的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．3．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆SKIPIF1<0交于M，N两点，M在N的左侧．(1)若SKIPIF1<0，求l的斜率；(2)记直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为定值．题型二：面积问题4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．105．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，A为垂足且位于第一象限，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形SKIPIF1<0（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知SKIPIF1<0是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为1，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.6．（2023·辽宁·校联考一模）已知椭圆SKIPIF1<0离心率为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0斜率为1的直线与SKIPIF1<0轴正半轴相交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设M，N是SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的两点，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值.题型三：中点弦问题7．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于A，B两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E：SKIPIF1<0的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，SKIPIF1<0轴于点N.若四边形SKIPIF1<0的面积等于8，则E的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·全国·高三专题练习）已知如图，椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：范围问题10．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知点F为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，过点F作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与C交于A，B两点，直线SKIPIF1<0与C交于D，E两点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．64 B．54 C．50 D．4811．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为SKIPIF1<0，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一象限，O为坐标原点．(1)求双曲线E的方程；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．12．（2021·北京·高三校考强基计划）如图，已知抛物线SKIPIF1<0，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线SKIPIF1<0交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设SKIPIF1<0与y轴交于点K．(1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程．(2)连结SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．题型五：定点问题13．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，SKIPIF1<0，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．14．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点SKIPIF1<0在双曲线C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：SKIPIF1<0与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．15．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，左焦点SKIPIF1<0到其渐近线SKIPIF1<0的距离为2，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0于A，B两点，且SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于P，Q两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问：以线段SKIPIF1<0为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．题型六：定值问题16．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，且SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程.(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（异于点SKIPIF1<0）两点，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一点.设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，证明：点SKIPIF1<0的横坐标为定值.17．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，动直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0并延长分别交抛物线SKIPIF1<0于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是定值，并求出该值.18．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点SKIPIF1<0是焦点为F的抛物线SKIPIF1<0上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为SKIPIF1<0.(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；(3)令焦点F到直线AB的距离d，求SKIPIF1<0的最大值.题型七：向量问题19．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C：SKIPIF1<0的短轴长为2，离心率为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．(1)证明：直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于两点，且每一点与SKIPIF1<0的连线都是椭圆的切线；(2)若过点SKIPIF1<0的直线与椭圆交于SKIPIF1<0两点，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．20．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0．(1)设M是C上任意一点，M到直线SKIPIF1<0的距离为d，证明：SKIPIF1<0为定值．(2)过点SKIPIF1<0且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O为坐标原点，证明：SKIPIF1<0．21．（2023·山西大同·校联考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且焦距为10．(1)求C的方程；(2)已知点SKIPIF1<0，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：SKIPIF1<0．【高考必刷】一、单选题22．（2023·陕西安康·统考二模）过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线交抛物线于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则直线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交双曲线的一条渐近线于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过坐标原点并与双曲线交于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在第一象限），过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线与双曲线交于另一个点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0的横坐标为点SKIPIF1<0横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023·福建·统考一模）过抛物线SKIPIF1<0的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段SKIPIF1<0中点的纵坐标为2，则SKIPIF1<0（

）A．10 B．9 C．8 D．7二、多选题26．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，则以下结论中，正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0轴，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0的一条渐近线方程是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0C．若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则等腰SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<027．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右顶点，SKIPIF1<0为椭圆的上顶点.设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点，且不与顶点重合，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则（

）A．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<028．（2023·山西·校联考模拟预测）过抛物线C：SKIPIF1<0的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0可能为锐角三角形B．过点SKIPIF1<0且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<029．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂线，垂足分别为M，N，则（

）A．四边形SKIPIF1<0面积的最大值为2B．四边形SKIPIF1<0周长的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0D．四边形SKIPIF1<0面积的最小值为32三、填空题30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交该抛物线于SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之和为________．31．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）设过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆SKIPIF1<0交于M，N两点，已知点SKIPIF1<0，若直线AM与直线AN的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．32．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对称轴不垂直，SKIPIF1<0交SKIPIF1<